Количество известных терминов | 11 |
---|---|
Предполагаемый нет.условий | Бесконечный |
Первые триместры | 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111 |
Самый большой известный термин | (10 8177207 −1) / 9 |
Индекс OEIS |
В рекреационных математике, A репьюнит этого число, как 11, 111 или 1111, который содержит только одну цифру 1 - более конкретный тип репдигитов. Термин означает повторение eated единицы и был придуман в 1966 годом Альберт Х. Beiler в своей книге воссозданного в теории чисел.
Репьюнитом премьер является репьюнитом, который также является простым числом. Простые числа, являющиеся повторными единицами по основанию 2, являются простыми числами Мерсенна.
В base- б repunits определяется как (это б может быть положительным или отрицательным)
Таким образом, число R n ( b) состоит из n копий цифры 1 в представлении base- b. Первые две репединицы base- b для n = 1 и n = 2 равны
В частности, десятичные повторные единицы (с основанием 10), которые часто называют просто повторными единицами, определяются как
Таким образом, число R n = R n (10) состоит из n копий цифры 1 в десятичном представлении. Последовательность повторных единиц base-10 начинается с
Аналогично, база-2 репюнитов определяется как
Таким образом, число R n (2) состоит из n копий цифры 1 в представлении с основанием 2. Фактически, репединицы с основанием 2 являются хорошо известными числами Мерсенна M n = 2 n - 1, они начинаются с
(Простые множители, окрашенные в красный цвет, означают "новые множители", то есть простой множитель делит R n, но не делит R k для всех k lt; n) (последовательность A102380 в OEIS )
|
|
|
Наименьшие простые множители R n для n gt; 1 равны
Определение повторных единиц было мотивировано математиками-любителями, которые искали простые множители таких чисел.
Легко показать, что если n делится на a, то R n ( b) делится на R a ( b):
где - круговой многочлен, а d пробегает делители числа n. Для p простое,
который имеет ожидаемую форму повторного объединения, когда x заменяется на b.
Например, 9 делится на 3, и, таким образом, R 9 делится на R 3 - фактически, 111111111 = 111 1001001. Соответствующие циклотомические полиномы и равны и, соответственно. Таким образом, чтобы R n было простым, n обязательно должно быть простым, но этого недостаточно, чтобы n было простым. Например, R 3 = 111 = 3 37 не является простым. За исключением этого случая R 3, p может делить R n только на простое n, если p = 2 kn + 1 для некоторого k.
R n является простым числом для n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (последовательность A004023 в OEIS ). R 49081 и R 86453, вероятно, простые. 3 апреля 2007 года Харви Дубнер (который также нашел R 49081) объявил, что 109297 R - вероятное простое число. 15 июля 2007 года Maksym Voznyy объявил R 270343 быть, вероятно, простым. Серж Баталов и Райан Проппер обнаружили, что R 5794777 и R 8177207 являются вероятными простыми числами 20 апреля и 8 мая 2021 года соответственно. На момент открытия каждое из них было самым большим из известных вероятных простых чисел.
Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел повторного объединения, и они, кажется, встречаются примерно так часто, как предсказывает теорема о простых числах : показатель степени N- го простого числа повторного объединения обычно приблизительно равен фиксированному кратному показателю ( N −1) th.
Первичные единицы представляют собой тривиальное подмножество перестановочных простых чисел, т. Е. Простых чисел, которые остаются простыми после любой перестановки их цифр.
Особые свойства
Простые числа перегруппировки по основанию 2 называются простыми числами Мерсенна.
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 3:
соответствует из
Единственное простое число повторного объединения по основанию 4 - 5 ()., и 3 всегда делится, когда n нечетно, и когда n четно. Если n больше 2, оба и больше 3, поэтому удаление множителя 3 по-прежнему оставляет два множителя больше 1. Следовательно, число не может быть простым.
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 5:
соответствует из
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 6:
соответствует из
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 7:
соответствует из
Единственное простое число переупаковки по основанию 8 - 73 ()., и 7 делится, когда n не делится на 3 и когда n делится на 3.
Простые числа с основанием-9 не используются., и оба и равны и больше 4.
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 11:
соответствует из
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 12:
соответствует из
Первые несколько простых чисел повторения с основанием 20:
соответствует из
Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются
Наименьший основание таким образом, что простое (где это е простое) являются
основания так, что первична (перечислены только положительные основы) | Последовательность OEIS | |
2 | 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996,... | A006093 |
3 | 2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993,... | A002384 |
5 | 2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979,... | A049409 |
7 | 2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998,... | A100330 |
11 | 5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973,... | A162862 |
13 | 2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993,... | A217070 |
17 | 2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986,... | A217071 |
19 | 2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992,... | A217072 |
23 | 10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997,... | A217073 |
29 | 6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986,... | A217074 |
31 год | 2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998,... | A217075 |
37 | 61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969,... | A217076 |
41 год | 14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959,... | A217077 |
43 год | 15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981,... | A217078 |
47 | 5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966,... | A217079 |
53 | 24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936,... | A217080 |
59 | 19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995,... | A217081 |
61 | 2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998,... | A217082 |
67 | 46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826,... | A217083 |
71 | 3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981,... | A217084 |
73 | 11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966,... | A217085 |
79 | 22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970,... | A217086 |
83 | 41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930,... | A217087 |
89 | 2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878,... | A217088 |
97 | 12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934,... | A217089 |
101 | 22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979,... | |
103 | 3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839,... | |
107 | 2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999,... | |
109 | 12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945,... | |
113 | 86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946,... | |
127 | 2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936,... | |
131 | 7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953,... | |
137 | 13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833,... | |
139 | 11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902,... | |
149 | 5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855,... | |
151 | 29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863,... | |
157 | 56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960,... | |
163 | 30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924,... | |
167 | 44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957,... | |
173 | 60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663,... | |
179 | 304, 478, 586, 942, 952, 975,... | |
181 | 5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786,... | |
191 | 74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924,... | |
193 | 118, 301, 486, 554, 637, 673, 736,... | |
197 | 33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813,... | |
199 | 156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988,... | |
211 | 46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977,... | |
223 | 183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914,... | |
227 | 72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967,... | |
229 | 606, 725, 754, 858, 950,... | |
233 | 602,... | |
239 | 223, 260, 367, 474, 564, 862,... | |
241 | 115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849,... | |
251 | 37, 246, 267, 618, 933,... | |
257 | 52, 78, 435, 459, 658, 709,... | |
263 | 104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987,... | |
269 | 41, 48, 294, 493, 520, 812, 843,... | |
271 | 6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624,... | |
277 | 338, 473, 637, 940, 941, 978,... | |
281 | 217, 446, 606, 618, 790, 864,... | |
283 | 13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943,... | |
293 | 136, 388, 471,... |
Наименьшее простое число такое, что оно является простым (начните с 0, если такого не существует)
Наименьшее простое число, такое, что оно является простым (начинается с 0, если такового не существует, вопросительный знак, если этот термин в настоящее время неизвестен)
числа, такие как простые (некоторые большие члены соответствуют только вероятным простым числам, они проверяются до 100000) | Последовательность OEIS | |
−50 | 1153, 26903, 56597,... | A309413 |
−49 | 7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149,... | A237052 |
−48 | 2 *, 5, 17, 131, 84589,... | A236530 |
−47 | 5, 19, 23, 79, 1783, 7681,... | A236167 |
−46 | 7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841,... | A235683 |
-45 | 103, 157, 37159,... | A309412 |
-44 | 2 *, 7, 41233,... | A309411 |
−43 | 5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573,... | A231865 |
-42 | 2 *, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663,... | A231604 |
−41 | 17, 691, 113749,... | A309410 |
−40 | 53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959,... | A229663 |
−39 | 3, 13, 149, 15377,... | A230036 |
−38 | 2 *, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591,... | A229524 |
−37 | 5, 7, 2707, 163193,... | A309409 |
−36 | 31, 191, 257, 367, 3061, 110503,... | A229145 |
−35 | 11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623,... | A185240 |
−34 | 3, 294277,... | |
−33 | 5, 67, 157, 12211, 313553,... | A185230 |
−32 | 2 * (других нет) | |
−31 | 109, 461, 1061, 50777,... | A126856 |
−30 | 2 *, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599,... | A071382 |
−29 | 7, 112153, 151153,... | A291906 |
−28 | 3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497,... | A071381 |
−27 | (никто) | |
−26 | 11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043,... | A071380 |
−25 | 3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707,... | A057191 |
−24 | 2 *, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951,... | A057190 |
−23 | 11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053,... | A057189 |
−22 | 3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287,... | A057188 |
−21 | 3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579,... | A057187 |
−20 | 2 *, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257,... | A057186 |
−19 | 17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929,... | A057185 |
−18 | 2 *, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147,... | A057184 |
−17 | 7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259,... | A057183 |
−16 | 3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393,... | A057182 |
−15 | 3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927,... | A057181 |
−14 | 2 *, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401,... | A057180 |
−13 | 3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467,... | A057179 |
−12 | 2 *, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953,... | A057178 |
−11 | 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001,... | A057177 |
−10 | 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787,... | A001562 |
−9 | 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029,... | A057175 |
−8 | 2 * (других нет) | |
−7 | 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033,... | A057173 |
−6 | 2 *, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371,... | A057172 |
−5 | 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147,... | A057171 |
−4 | 2 *, 3 (других нет) | |
−3 | 2 *, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963,... | A007658 |
−2 | 3, 4 *, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399,..., 13347311, 13372531,... | A000978 |
2 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 431605801. ....., 74207281,..., 77232917,..., 82589933,... | A000043 |
3 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303,... | A028491 |
4 | 2 (других нет) | |
5 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279,... | A004061 |
6 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019,... | A004062 |
7 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699,... | A004063 |
8 | 3 (других нет) | |
9 | (никто) | |
10 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343,..., 5794777,... | A004023 |
11 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831,... | A005808 |
12 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543,... | A004064 |
13 | 5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503,... | A016054 |
14 | 3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697,... | A006032 |
15 | 3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833,... | A006033 |
16 | 2 (других нет) | |
17 | 3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523,... | A006034 |
18 | 2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269,... | A133857 |
19 | 19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359,... | A006035 |
20 | 3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709,... | A127995 |
21 год | 3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129,... | A127996 |
22 | 2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823,... | A127997 |
23 | 5, 3181, 61441, 91943, 121949,... | A204940 |
24 | 3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783,... | A127998 |
25 | (никто) | |
26 | 7, 43, 347, 12421, 12473, 26717,... | A127999 |
27 | 3 (других нет) | |
28 год | 2, 5, 17, 457, 1423, 115877,... | A128000 |
29 | 5, 151, 3719, 49211, 77237,... | A181979 |
30 | 2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883,... | A098438 |
31 год | 7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571,... | A128002 |
32 | (никто) | |
33 | 3, 197, 3581, 6871, 183661,... | A209120 |
34 | 13, 1493, 5851, 6379, 125101,... | A185073 |
35 год | 313, 1297,... | |
36 | 2 (других нет) | |
37 | 13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341,... | A128003 |
38 | 3, 7, 401, 449, 109037,... | A128004 |
39 | 349, 631, 4493, 16633, 36341,... | A181987 |
40 | 2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277,... | A128005 |
41 год | 3, 83, 269, 409, 1759, 11731,... | A239637 |
42 | 2, 1319,... | |
43 год | 5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773,... | A240765 |
44 год | 5, 31, 167, 100511,... | A294722 |
45 | 19, 53, 167, 3319, 11257, 34351,... | A242797 |
46 | 2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531,... | A243279 |
47 | 127, 18013, 39623,... | A267375 |
48 | 19, 269, 349, 383, 1303, 15031,... | A245237 |
49 | (никто) | |
50 | 3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521,... | A245442 |
* Реповиты с отрицательной базой и даже n отрицательны. Если их абсолютное значение простое, они включены выше и отмечены звездочкой. Они не включены в соответствующие последовательности OEIS.
Для получения дополнительной информации см.
Если b - совершенная степень (может быть записана как m n, с m, n целыми числами, n gt; 1) отличается от 1, то в base- b может быть не более одного повторного объединения. Если n - степень простого числа (может быть записано как p r, с p простым, r целым, p, r gt; 0), то все повторные единицы в base- b не будут простыми, кроме R p и R 2. R p может быть простым или составным, первые примеры, b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256 и т. Д., Последние примеры, b = −243, - 125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289 и т.д., а R 2 может быть Первичный (при р отличается от 2), только если б отрицательный, степень -2, например, Ь = -8, -32, -128, -8192 и т.д., на самом деле, R 2 также может быть составным, например, b = −512, −2048, −32768 и т. д. Если n не является степенью простого числа, тогда не существует простого числа с перегруппировкой по основанию b, например, b = 64, 729 (с n = 6), b = 1024 ( n = 10) и b = −1 или 0 ( n - любое натуральное число). Другая особая ситуация - b = −4 k 4, с положительным целым числом k, которое имеет внебиржевую факторизацию, например, b = −4 (при k = 1, тогда R 2 и R 3 - простые числа) и b = −64, −324, −1024, −2500, −5184,... (с k = 2, 3, 4, 5, 6,...), тогда не существует простого числа переупаковки с основанием b. Также высказывается предположение, что когда b не является ни совершенной степенью, ни −4 k 4 с k положительным целым числом, то существует бесконечное множество базовых b переупорядоченных простых чисел.
Гипотеза, связанная с обобщенными числами повторного объединения: (Гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна, если гипотеза верна, то существует бесконечно много простых чисел повторного объединения для всех оснований)
Для любого целого числа, удовлетворяющего условиям:
имеет обобщенные простые числа повторного объединения вида
для простых чисел простые числа будут распределены рядом с наиболее подходящей линией
где предел,
и есть около
base- б простых числа репьюнита меньше, чем N.
У нас также есть следующие 3 объекта недвижимости:
Хотя в то время они еще не были известны под этим названием, повторные единицы по основанию 10 изучались многими математиками в течение девятнадцатого века в попытке разработать и предсказать циклические модели повторяющихся десятичных знаков.
Очень рано было обнаружено, что для любого простого числа p, большего 5, период десятичного разложения 1 / p равен длине наименьшего числа повторного объединения, которое делится на p. Таблицы периода взаимных простых чисел до 60000 были опубликованы 1860 и разрешили факторизацию таких математик, как Reuschle всех repunits до R 16 и многих крупных. К 1880 году, даже R 17 до R 36 были учтены, и любопытно, что, хотя Эдуар Лукас не показал прайм ниже трех миллионов был период девятнадцати, не было никаких попыток протестировать любой репьюнитом для простоты, пока в начале двадцатого века. Американский математик Оскар Хоппе доказал, что R 19 является простым числом в 1916 году, а Лемер и Крайчик независимо обнаружили, что R 23 является простым числом в 1929 году.
Дальнейшие успехи в изучении повторных объединений не происходили до 1960-х годов, когда компьютеры позволили найти множество новых факторов повторных объединений и исправить пробелы в более ранних таблицах простых периодов. Примерно в 1966 году было обнаружено, что R 317 является вероятным простым числом, и было доказано, что оно простое одиннадцать лет спустя, когда было показано, что R 1031 - единственное возможное повторное объединение простого числа с менее чем десятью тысячами цифр. Было доказано, что в 1986 году он стал основным, но поиски новых основных единиц в следующем десятилетии неизменно терпели неудачу. Тем не менее, в области обобщенных повторных единиц произошли важные побочные разработки, которые привели к появлению большого количества новых простых и вероятных простых чисел.
С 1999 года было обнаружено еще четыре, вероятно, основных подразделения, но маловероятно, что какое-либо из них окажется основным в обозримом будущем из-за их огромного размера.
Проект Каннингема пытается задокументировать целочисленные факторизации (среди других чисел) повторных единиц по основанию 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 и 12.
Д.Р. Капрекар определил числа Демло как конкатенацию левой, средней и правой части, где левая и правая части должны быть одинаковой длины (до возможного ведущего нуля слева) и должны складываться в число повторных цифр, и средняя часть может содержать любое дополнительное число этой повторяющейся цифры. Они названы в честь железнодорожной станции Демло (теперь называемой Домбивили) в 30 милях от Бомбея на тогдашней железной дороге GIP, где Капрекар начал расследование. Он называет Чудные числа Демло числами вида 1, 121, 12321, 1234321,..., 12345678987654321. Тот факт, что это квадраты перегруппировок, побудил некоторых авторов называть числа Демло бесконечной последовательностью этих, 1, 121, 12321,..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321,..., (последовательность A002477 в OEIS ), хотя можно проверить, что это не числа Демло для p = 10, 19, 28,...
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка )