Принцип безразличия

редактировать

Принцип безразличия (также называемый принципом недостаточной причины ) - это правило для присвоения эпистемических вероятностей. Принцип безразличия гласит, что при отсутствии каких-либо соответствующих свидетельств агенты должны равномерно распределить свою достоверность (или «степени уверенности») среди всех возможных рассматриваемых исходов.

В байесовской вероятности, это простейший неинформативный априор. Принцип безразличия не имеет смысла при частотной интерпретации вероятности, в которой вероятности - это относительные частоты, а не степени веры в неопределенные утверждения, обусловленные информацией о состоянии.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Монеты
- 1.2 Игральные кости
- 1.3 Карты
2 Применение к непрерывным переменным
3 История
4 См. Также
5 Ссылки

Примеры

Примеры из учебника для применения принципа безразличия: монеты, кости и карты.

в макроскопическом система, по крайней мере, следует предположить, что физические законы, которые управляют системой, недостаточно хорошо известны, чтобы предсказать результат. Как заметил несколько веков назад Джон Арбетнот (в предисловии к «Законам случайности», 1692),

невозможно, чтобы кубик с такой определенной силой и направлением не упал. на такой детерминированной стороне, только я не знаю силы и направления, которые заставляют его падать на такой детерминированной стороне, и поэтому я называю это шансом, который есть не что иное, как недостаток искусства....

При наличии достаточного времени и ресурсов нет фундаментальных оснований полагать, что невозможно провести достаточно точные измерения, которые позволили бы с высокой точностью предсказать исход монет, игральных костей и карт: Перси Диаконис ' s работа с машинами для подбрасывания монет является практическим примером этого.

Монеты

A симметричная Монета имеет две стороны, произвольно обозначенные орлами (на многих монетах голова человека изображена на одной стороне) и решки. Если предположить, что монета должна приземлиться на одной или другой стороне, результаты подбрасывания монеты являются взаимоисключающими, исчерпывающими и взаимозаменяемыми. Согласно принципу безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1/2.

В этом анализе подразумевается, что силы, действующие на монету, неизвестны с какой-либо точностью. Если бы импульс, сообщаемый монете при запуске, был известен с достаточной точностью, полет монеты можно было бы предсказать в соответствии с законами механики. Таким образом, неопределенность результата подбрасывания монеты происходит (по большей части) из неопределенности относительно начальных условий. Этот момент более подробно обсуждается в статье о подбрасывании монеты.

Игра в кости

A симметричная игральная кость имеет n граней, произвольно обозначенных от 1 до n. Обычная кубическая матрица имеет n = 6 граней, хотя можно построить симметричную матрицу с различным количеством граней; см. Dice. Мы предполагаем, что кубик упадёт той или иной лицевой стороной вверх, и других возможных исходов нет. Применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1 / n. Как и в случае с монетами, предполагается, что начальные условия броска кости не известны с достаточной точностью, чтобы предсказать результат в соответствии с законами механики. Кости обычно бросают так, чтобы они отскакивали от стола или другой поверхности (поверхностей). Это взаимодействие значительно затрудняет прогнозирование результата.

Здесь решающее значение имеет предположение о симметрии. Предположим, что нас просят сделать ставку за или против исхода «6». Мы можем предположить, что здесь есть два соответствующих результата «6» или «не 6», и что они являются взаимоисключающими и исчерпывающими. Это предполагает присвоение вероятности 1/2 каждому из двух исходов.

Карты

Стандартная колода содержит 52 карты, каждой из которых присвоена уникальная метка произвольным образом, т.е. в произвольном порядке. Достаем карту из колоды; применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1/52.

Этот пример больше, чем другие, показывает сложность реального применения принципа безразличия в реальных ситуациях. На самом деле, говоря «произвольно заказанный», мы имеем в виду то, что у нас нет никакой информации, которая бы подтолкнула нас к предпочтению определенной карты. На практике это случается редко: новая колода карт, конечно, не в произвольном порядке, как и колода сразу после руки карт. Поэтому на практике мы тасуем карты; это не уничтожает имеющуюся у нас информацию, а вместо этого (надеюсь) делает нашу информацию практически непригодной для использования, хотя в принципе ее можно использовать. Фактически, некоторые опытные игроки в блэкджек могут отслеживать тузов в колоде; для них условие применения принципа безразличия не выполняется.

Применение к непрерывным переменным

Неправильное применение принципа безразличия может легко привести к бессмысленным результатам, особенно в случае многомерных, непрерывных переменных. Типичным случаем неправильного использования является следующий пример:

Предположим, в коробке скрыт куб. На этикетке на коробке указано, что длина стороны куба составляет от 3 до 5 см.
Мы не знаем фактическую длину стороны, но мы можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение. значение 4 см.
Информация на этикетке позволяет нам рассчитать, что площадь поверхности куба составляет от 54 до 150 см². Мы не знаем фактическую площадь поверхности, но можем предположить, что все значения равновероятны, и просто выбрать среднее значение 102 см².
Информация на этикетке позволяет нам рассчитать, что объем куб от 27 до 125 см. Мы не знаем фактический объем, но можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение 76 см.
Однако теперь мы пришли к невозможному выводу, что куб имеет длина стороны 4 см, площадь поверхности 102 см² и объем 76 см!

В этом примере возникают взаимно противоречивые оценки длины, площади поверхности и объема куба, потому что мы предположили три взаимно противоречащих друг другу распределения для этих параметров: равномерное распределение для любой одной из переменных подразумевает неравномерное распределение для двух других. В общем, принцип безразличия не указывает, какая переменная (например, в данном случае длина, площадь поверхности или объем) должна иметь однородное эпистемологическое распределение вероятностей.

Еще один классический пример такого рода злоупотреблений - парадокс Бертрана. Эдвин Т. Джейнс представил принцип групп преобразований, который может дать эпистемологическое распределение вероятностей для этой проблемы. Это обобщает принцип безразличия, говоря, что для человека безразличны эквивалентные проблемы, а не безразличие между предложениями. Это все еще сводится к обычному принципу безразличия, когда кто-то рассматривает перестановку меток как порождение эквивалентных проблем (то есть с использованием группы преобразования перестановки). Чтобы применить это к приведенному выше примеру коробки, у нас есть три случайные величины, связанные геометрическими уравнениями. Если у нас нет причин отдавать предпочтение одному трио значений перед другим, тогда наши априорные вероятности должны быть связаны правилом изменения переменных в непрерывных распределениях. Пусть L - длина, а V - объем. Тогда должно быть

f L (L) = | ∂ V ∂ L | е В (V) знак равно 3 L 2 е В (L 3) {\ Displaystyle f_ {L} (L) = \ влево | {\ частичный V \ над \ частичный L} \ вправо | f_ {V} (V) = 3L ^ {2} f_ {V} (L ^ {3})}

{\ displaystyle f_ {L} (L) = \ left | {\ partial V \ over \ partial L} \ right | f_ {V} (V) = 3L ^ {2} f_ {V} (L ^ {3})}

где $f L, f V {\ displaystyle f_ {L}, \, f_ {V}}$ ${\ displaystyle f_ {L}, \, f_ {V}}$ являются функциями плотности вероятности (pdf) указанных переменных. Это уравнение имеет общее решение: $f (L) = KL {\ displaystyle f (L) = {K \ over L}}$ $f (L) = {K \ over L}$ , где K - нормировочная константа, определяемая диапазоном L, в данном случае равно:

K - 1 = ∫ 3 5 d LL = log ⁡ (5 3) {\ displaystyle K ^ {- 1} = \ int _ {3} ^ {5} {dL \ over L} = \ log \ left ({5 \ over 3} \ right)}

K ^ {- 1} = \ int_ {3} ^ { 5} {dL \ over L} = \ log \ left ({5 \ over 3} \ right)

Чтобы проверить это «на проверку», мы спрашиваем вероятность того, что длина меньше 4. Это имеет вероятность:

P r (L < 4) = ∫ 3 4 d L L log ⁡ ( 5 3) = log ⁡ ( 4 3) log ⁡ ( 5 3) ≈ 0.56 {\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}

Pr (L <4) = \ int _ {{3}} ^ {{4}} {dL \ over L \ log ({5 \ over 3})} = {\ log ({4 \ over 3}) \ over \ log ({5 \ over 3 })} \ приблизительно 0,56

Для объема это должно быть равно вероятности того, что объем меньше 4 = 64. PDF для объема равен

f (V 1 3) 1 3 V - 2 3 знак равно 1 3 V журнал ⁡ (5 3) {\ displaystyle f (V ^ {1 \ over 3}) {1 \ over 3} V ^ {- {2 \ over 3}} = {1 \ over 3V \ log ({5 \ over 3})}}

f (V ^ {{{1 \ over 3}}}) {1 \ over 3} V ^ {{- {2 \ более 3}}} = {1 \ более 3V \ log ({5 \ более 3})}

И тогда вероятность объема меньше 64 равна

P r (V < 64) = ∫ 27 64 d V 3 V log ⁡ ( 5 3) = log ⁡ ( 64 27) 3 log ⁡ ( 5 3) = 3 log ⁡ ( 4 3) 3 log ⁡ ( 5 3) = log ⁡ ( 4 3) log ⁡ ( 5 3) ≈ 0.56 {\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}

Pr (V <64) = \ int _ {{27}} ^ {{64}} {dV \ over 3V \ log ({5 \ over 3})} = {\ log ({64 \ более 27}) \ более 3 \ log ({5 \ более 3})} = {3 \ log ({4 \ более 3}) \ более 3 \ log ({5 \ более 3})} = {\ log ({4 \ over 3}) \ over \ log ({5 \ over 3})} \ приблизительно 0,56

Таким образом, мы достигли инвариантности относительно объема и длины. Можно также показать то же самое инвариантность относительно площади поверхности меньше 6 (4) = 96. Однако обратите внимание, что это вероятностное присвоение не обязательно "правильный". Точное распределение длин, объема или площади поверхности будет зависеть от того, как проводится «эксперимент».

Фундаментальная гипотеза статистической физики о том, что любые два микросостояния системы с одинаковой полной энергией равновероятны в равновесии, в некотором смысле является примером принцип безразличия. Однако, когда микросостояния описываются непрерывными переменными (такими как положения и импульсы), требуется дополнительный физический базис, чтобы объяснить, при какой параметризации плотность вероятности будет однородной. Теорема Лиувилля оправдывает использование канонически сопряженных переменных, таких как позиции и их сопряженные импульсы.

Парадокс вина и воды показывает дилемму со связанными переменными, и какую из них выбрать.

История

Первоначальные авторы теории вероятностей, в первую очередь Якоб Бернулли и Пьер Симон Лаплас, считали принцип безразличия интуитивно очевидным и действительно даже не удосужился дать ему имя. Лаплас писал:

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, о существовании которых мы можем в равной степени не знать, и при определении количества случаев, благоприятных для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.

Авторы, в частности Лаплас, наивно обобщили принцип безразличия на случай непрерывных параметров, дав так называемое «равномерное априорное распределение вероятностей», функцию, которая постоянна для всех действительных чисел. Он использовал эту функцию, чтобы выразить полное незнание значения параметра. Согласно Стиглеру (стр. 135), предположение Лапласа об одинаковых априорных вероятностях не было метафизическим предположением. Это было неявное предположение, сделанное для простоты анализа.

принцип недостаточной причины был его первым названием, данным ему более поздними авторами, возможно, как игра на Лейбница принцип достаточной причины. Эти более поздние авторы (Джордж Буль, Джон Венн и другие) возражали против использования униформы до этого по двум причинам. Первая причина в том, что постоянная функция не нормализуема и, следовательно, не является правильным распределением вероятностей. Вторая причина - это неприменимость к непрерывным переменным, как описано выше. (Однако эти парадоксальные проблемы могут быть разрешены. В первом случае константа или любой более общий конечный многочлен нормализуется в пределах любого конечного диапазона: все, что здесь имеет значение, - это диапазон [0,1]. В качестве альтернативы, функция может быть измененным на ноль вне этого диапазона, как в случае непрерывного равномерного распределения. Во втором случае нет двусмысленности при условии, что проблема «правильно поставлена», так что нельзя делать необоснованные предположения, или должны быть выполнены, тем самым фиксируя соответствующую априорную функцию плотности вероятности или предыдущую функцию генерации момента (с соответствующими фиксированными переменными), которые будут использоваться для самой вероятности. См. Парадокс Бертрана (вероятность) для аналогичного случая.)

«Принцип недостаточного основания» был переименован в «принцип безразличия» экономистом Джоном Мейнардом Кейнсом (1921), который внимательно отметил, что это применимо только тогда, когда нет сведений, указывающих на неравные вероятности.

Попытки поставить это понятие на более прочную философскую почву обычно начинались с концепции равновозможности и переходили от нее к равновероятности.

безразличию можно дать более глубокое логическое обоснование, отметив, что эквивалентным состояниям знания следует приписывать эквивалентные эпистемические вероятности. Этот аргумент был выдвинут E.T. Джейнс : это приводит к двум обобщениям, а именно к принципу групп преобразований, как в априор Джеффриса, и принципу максимальной энтропии.

В более общем смысле, говорят о неинформативных априорных значениях.

См. также

Правило последовательности : формула для оценки основных вероятностей при небольшом количестве наблюдений или для событий, которые вообще не наблюдались в (конечных) образец данных

Ссылки

Diaconis, Persi; Келлер, Джозеф Б. (1989). «Честная игра в кости». Американский математический ежемесячник. 96 (4): 337–339. DOI : 10.2307 / 2324089. JSTOR 2324089.(Обсуждение справедливых игральных костей «по симметрии» и «по непрерывности».)
Джейнс, Эдвин Томпсон (2003). Теория вероятностей: логика науки. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59271-2.
Кейнс, Джон Мейнард (1921). «Глава IV. Принцип безразличия». Трактат о вероятности. 4 . Macmillan and Co., стр. 41–64.
Стиглер, Стивен М. (1986). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года. Кембридж, Массачусетс: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.