Джеффрис приор

В байесовской вероятности, Джеффрис приор, названный в честь сэра Гарольда Джеффрис, является неинформативным (объективным) предварительным распределением для пространства параметров; его функция плотности пропорциональна квадратному корню из определителя матрицы информации Фишера :

$p\; (\theta \; \to )\; \propto \; det\; I\; (\theta \; \to ).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; det\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\}\}.\; \backslash ,\}$

Его ключевой особенностью является то, что он инвариантен при изменении координат вектора параметров $\theta \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\}$. То есть относительная вероятность, присвоенная объему вероятностного пространства, использующему априор Джеффри, будет одинаковой независимо от параметризации, используемой для определения априорного значения Джеффри. Это делает его особенно интересным для использования с параметрами шкалы.

• 1 Повторная параметризация
  • 1.1 Однопараметрический случай
  • 1.2 Многопараметрический случай
• 2 Атрибуты
• 3 Минимальное описание длина
• 4 Примеры
  • 4.1 Гауссово распределение со средним параметром
  • 4.2 Гауссово распределение с параметром стандартного отклонения
  • 4.3 Распределение Пуассона с параметром скорости
  • 4.4 Испытание Бернулли
  • 4.5 N-сторонняя матрица со смещением вероятности
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Однопараметрический случай

Для альтернативной параметризации $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$мы можем получить

$p\; (\phi )\; \propto \; I\; (\phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; varphi)\}\}\; \backslash ,\}$

из

$p\; (\; \theta )\; \propto \; I\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; theta)\}\}\; \backslash ,\}$

с использованием теоремы о замене переменных для преобразований и определение информации Фишера:

$p\; (\phi )\; =\; p\; (\theta )\; |\; d\; \theta \; d\; \phi \; |\; \propto \; I\; (\theta )\; (d\; \theta \; d\; \phi )\; 2\; =\; E\; [(d\; ln\; \; L\; d\; \theta )\; 2]\; (d\; \theta \; d\; \phi )\; 2\; =\; E\; [(d\; ln\; \; L\; d\; \theta \; d\; \theta \; d\; \phi )\; 2]\; =\; E\; [(d\; ln\; \; L\; d\; \phi )\; 2]\; =\; I\; (\phi ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\}\; p\; (\backslash \; varphi)\; =\; p\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \backslash \; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; I\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; Left\; [\backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; L\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; L\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; L\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; varphi)\}\}.\; \backslash \; End\; \{выравнивание\}\}\}$

Случай с несколькими параметрами

Для альтернативной параметризации $\phi \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$мы можем получить

$p\; (\phi \; \to )\; \propto \; det\; I\; (\phi \; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; varphi\}\; \})\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; det\; I\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; varphi\}\})\}\; \backslash ,\}$

из

$p\; (\theta \; \to )\; \propto \; det\; I\; (\theta \; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; det\; I\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\})\}\; \backslash ,\}$

с использованием теоремы о замене переменных для преобразований, т Определение информации Фишера, и что произведение определителей является определителем матричного произведения:

$p (φ →) = p (θ →) | det ∂ θ i ∂ φ j | ∝ det I (θ →) det 2 ∂ θ i ∂ φ j = det ∂ θ k ∂ φ i det E [∂ ln ⁡ L ∂ θ k ∂ ln ⁡ L ∂ θ l] det ∂ θ l ∂ φ j = det E [∑ k, l ∂ θ k ∂ φ i ∂ ln ⁡ L ∂ θ k ∂ ln ⁡ L ∂ θ l ∂ θ l ∂ φ j] = det E [∂ ln ⁡ L ∂ φ i ∂ ln ⁡ L ∂ φ j] = det I (φ →). {\ displaystyle {\ begin {align} p ({\ vec {\ varphi}}) = p ({\ vec {\ theta}}) \ left | \ det {\ frac {\ partial \ theta _ {i} } {\ partial \ varphi _ {j}}} \ right | \\ \ propto {\ sqrt {\ det I ({\ vec {\ theta}}) \, {\ det} ^ {2} {\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ partial \ varphi _ {j}}}}} \\ = {\ sqrt {\ det {\ frac {\ partial \ theta _ {k}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \, \ det \ operatorname {E} \! \ left [{\ frac {\ partial \ ln L} {\ partial \ theta _ {k}}} {\ frac {\ partial \ ln L} {\ partial \ theta _ {l}}} \ right] \, \ det {\ frac {\ partial \ theta _ {l}} {\ partial \ varphi _ {j}}}}} \\ = {\ sqrt {\ det \ operatorname {E} \! \ left [\ sum _ {k, l} {\ frac {\ partial \ theta _ {k}} {\ partial \ varphi _ {i}}} {\ frac {\ partial \ ln L} {\ partial \ theta _ {k}}} {\ frac {\ partial \ ln L} {\ partial \ theta _ {l}}} {\ frac {\ partial \ theta _ { l}} {\ partial \ varphi _ {j}}} \ right]}} \\ = {\ sqrt {\ det \ operatorname {E} \! \ left [{\ frac {\ partial \ ln L} { \ partial \ varphi _ {i}}} {\ frac {\ partial \ ln L} {\ partial \ varphi _ {j}}} \ right]}} = {\ sqrt {\ det I ({\ vec {\ varphi}})}}. \ end {align}}}$

С практической и математической точки зрения веская причина для использования этого неинформативного априорного значения вместо других, подобных тем, которые получены с помощью предела в сопряженных семействах распределений, заключается в том, что относительная вероятность объема вероятностного пространства не равна зависит от набора переменных параметров, который выбран для описания пространства параметров.

Иногда априор Джеффри не может быть нормализован и, таким образом, является неподходящим априорным. Например, априор Джеффриса для среднего распределения является однородным по всей действительной прямой в случае гауссовского распределения с известной дисперсией.

Использование априорной теории Джеффриса нарушает сильную версию принципа правдоподобия, который принят многими, но далеко не всеми статистиками. При использовании априорного метода Джеффриса выводы о $\theta \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\}$зависят не только от вероятности наблюдаемых данных как функции от $\theta \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\}$, но также и для вселенной всех возможных экспериментальных результатов, как определено в плане эксперимента, потому что информация Фишера вычисляется из ожидания для выбранной вселенной. Соответственно, априор Джеффриса и, следовательно, выводы, сделанные с его использованием, могут быть разными для двух экспериментов с одним и тем же параметром $\theta \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; theta\}\}\}$, даже если параметр Функции правдоподобия для двух экспериментов одинаковы - нарушение принципа сильного правдоподобия.

В подходе к статистике минимальной длины описания цель состоит в том, чтобы описать данные как можно более компактно, когда длина описания измеряется в битах используемый код. Для параметрического семейства распределений сравнивают код с лучшим кодом, основанным на одном из распределений в параметризованном семействе. Основной результат состоит в том, что в экспоненциальных семействах, асимптотически для большого размера выборки, оптимальным является код, основанный на распределении, которое представляет собой смесь элементов в экспоненциальном семействе с априорным методом Джеффри. Этот результат сохраняется, если ограничить набор параметров компактным подмножеством внутри всего пространства параметров. Если используется полный параметр, должна использоваться измененная версия результата.

Априор Джеффри для параметра (или набора параметров) зависит от статистической модели.

Гауссово распределение со средним параметром

Для Гауссовского распределения реального значения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$

$f\; (x\; \mid \; \mu )\; =\; е\; -\; (Икс\; -\; \mu )\; 2/2\; \sigma \; 2\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; /\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

с фиксированным $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, Джеффри до среднее $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$равно

$p\; (\mu )\; \propto \; I\; (\mu )\; =\; E\; [(dd\; \mu \; log\; \; f\; (x\; \mid \; \mu ))\; 2]\; =\; E\; [\; (Икс\; -\; \mu \; \sigma \; 2)\; 2]\; знак\; равно\; \int \; -\; \infty \; +\; \infty \; е\; (Икс\; \mid \; \mu )\; (Икс\; -\; \mu \; \sigma \; 2)\; 2\; dx\; =\; 1\; /\; \sigma \; 2\; \propto \; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; p\; (\backslash \; му)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; mu)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; mu\}\}\; \backslash \; log\; f\; (\; x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu)\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{x-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; dx\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; /\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; propto\; 1.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

То есть Джеффри до $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$не зависит от $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$; это ненормализованное равномерное распределение на реальной прямой - распределение, равное 1 (или некоторой другой фиксированной константе) для всех точек. Это неправильный априорный, и до выбора константы является уникальным инвариантным к переносу распределением для вещественных чисел (мера Хаара по отношению к сложению вещественных чисел), соответствующее к среднему, являющемуся мерой местоположения и инвариантности перевода, соответствующей отсутствию информации о местоположении.

Гауссово распределение с параметром стандартного отклонения

Для Гауссовского распределения реального значения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$

$f\; (x\; \mid \; \sigma )\; знак\; равно\; е\; -\; (Икс\; -\; \mu )\; 2/2\; \sigma \; 2\; 2\; \pi \; \sigma \; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (х\; \backslash \; mid\; \backslash \; sigma)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; ^\; \{-\; (х-\; \backslash \; му)\; ^\; \{2\}\; /\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\},\}$

с фиксированным $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, Джеффри априор для стандартного отклонения $\sigma >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma>0\}$равно

$p\; (\sigma )\; \propto \; I\; (\sigma )\; =\; E\; [(dd\; \sigma \; log\; \; f\; (x\; \mid \; \sigma ))\; 2]\; =\; E\; [\; ((x\; -\; \mu )\; 2\; -\; \sigma \; 2\; \sigma \; 3)\; 2]\; =\; \int \; -\; \infty \; +\; \infty \; f\; (x\; \mid \; \sigma )\; ((x\; -\; \mu )\; 2\; -\; \sigma \; 2\; \sigma \; 3)\; 2\; dx\; =\; 2\; \sigma \; 2\; \propto \; 1\; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; (\backslash \; sigma)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; sigma)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; d\}\; \{d\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; log\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыв\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; +\; \backslash \; infty\}\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; dx\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Эквивалентно априор Джеффриса для $log\; \; \sigma \; =\; \int \; d\; \sigma \; /\; \sigma \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\; =\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; sigma\; /\; \backslash \; sigma\}$является ненормализованным равномерным распределением на действительной строке., и поэтому это распределение также известно как логарифмический априор . Точно так же априор Джеффриса для $log\; \; \sigma \; 2\; =\; 2\; log\; \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; log\; \backslash \; sigma\}$также является однородным. Это единственный (с точностью до нескольких) априор (для положительных действительных чисел), который является масштабно-инвариантным (мера Хаара относительно умножения положительных действительных чисел), что соответствует стандартному отклонению, являющемуся мерой масштаб и масштабная инвариантность, соответствующие отсутствию информации о масштабе. Как и в случае с равномерным распределением для вещественных чисел, это неправильное априорное.

распределение Пуассона с параметром скорости

Для распределения Пуассона неотрицательного целого числа $п\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\}$,

$е\; (N\; \mid \; \lambda )\; =\; е\; -\; \lambda \; \lambda \; NN!,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n\; \backslash \; mid\; \backslash \; lambda)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\},\}$

априор Джеффри для параметра скорости $\lambda \; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; geq\; 0\}$равно

$p\; (\lambda )\; \propto \; I\; (\lambda )\; =\; E\; [(dd\; \lambda \; log\; \; f\; (n\; \mid \; \lambda ))\; 2]\; =\; E\; [(n\; -\; \lambda \; \lambda )\; 2]\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; +\; \infty \; f\; (n\; \mid \; \lambda )\; (n\; -\; \lambda \; \lambda )\; 2\; =\; 1\; \lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; (\backslash \; lambda)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; lambda)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; d\}\; \{d\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; log\; f\; (n\; \backslash \; mid\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n-\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; f\; (n\; \backslash \; середина\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n-\; \backslash \; lambda\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{\; выровнен\}\}\}$

Эквивалентно, априор Джеффри для $\lambda \; =\; \int \; d\; \lambda \; /\; \lambda \; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; =\; \backslash \; int\; d\; \backslash \; lambda\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$- ненормализованное равномерное распределение на неотрицательной действительной прямой.

Испытание Бернулли

Для монеты, которая является «орлом» с вероятностью $\gamma \; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; in\; [0,1]\}$и является "хвостом" с вероятностью $1\; -\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; gamma\}$, для данного $(H,\; T)\; \in \; \{(0,\; 1),\; (1,\; 0)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (H,\; T)\; \backslash \; in\; \backslash \; \{(0,1),\; (1,0)\; \backslash \}\}$вероятность $\gamma \; H\; (1\; -\; \gamma )\; Т\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; гамма\; ^\; \{Н\}\; (1-\; \backslash \; гамма)\; ^\; \{T\}\}$. Априор Джеффри для параметра $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$равен

$p\; (\gamma )\; \propto \; I\; (\gamma )\; =\; E\; [(dd\; \gamma \; log\; \; f\; (x\; \mid \; \gamma ))\; 2]\; =\; E\; [(H\; \gamma \; -\; T\; 1\; -\; \gamma )\; 2]\; =\; \gamma \; (1\; \gamma \; -\; 0\; 1\; -\; \gamma )\; 2\; +\; (1\; -\; \gamma )\; (0\; \gamma \; -\; 1\; 1\; -\; \gamma )\; 2\; =\; 1\; \gamma \; (1\; -\; \gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; (\backslash \; gamma)\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; sqrt\; \{I\; (\backslash \; gamma)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; d\}\; \{d\; \backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; log\; f\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{H\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; (1-\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{0\}\; \{\backslash \; gamma\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; gamma\; (1-\; \backslash \; gamma)\}\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это арксинусное распределение и бета-распределение с $\alpha \; =\; \beta \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; beta\; =\; 1/2\}$. Кроме того, если $\gamma \; =\; sin\; 2\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\}$, то

$Pr\; [\theta ]\; =\; Pr\; [\gamma ]\; d\; \gamma \; d\; \theta \; \propto \; 1\; (грех\; 2\; \; \theta )\; (1\; -\; грех\; 2\; \; \theta )\; 2\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; =\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pr\; [\backslash \; theta]\; =\; \backslash \; Pr\; [\backslash \; gamma]\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; gamma\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; propto\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta)\; (1-\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta)\}\}\}\; ~\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; 2\; \backslash ,.\}$

То есть априор Джеффри для $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$равномерно в интервале $[0,\; \pi \; /\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; pi\; /\; 2]\}$. Эквивалентно, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$равномерно по всему кругу $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$.

N-сторонний кубик со смещенными вероятностями

Аналогично, для броска $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$-стороннего кубика с вероятностями исхода $\gamma \; \to \; =\; (\gamma \; 1,\dots ,\; \gamma \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; gamma\}\}\; =\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; gamma\; \_\; \{N\})\}$, каждый неотрицательный и удовлетворяющий $\sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \gamma \; я\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\; =\; 1\}$, Джеффри априор для $\gamma \; \to \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; gamma\}\}\}$- это распределение Дирихле со всеми (альфа) параметрами, равными половине. Это равносильно использованию псевдосчета половины для каждого возможного результата.

Эквивалентно, если мы запишем $\gamma \; i\; =\; \phi \; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$для каждого $я\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, то априор Джеффриса для $\phi \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; varphi\}\}\}$одинаков по (N - 1) -мерная единичная сфера (т.е. она однородна на поверхности N-мерного единичного шара ).

• Jeffreys, H. (1946). «Инвариантная форма для априорной вероятности в задачах оценивания». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки. 186 (1007): 453–461. doi : 10.1098 / rspa.1946.0056. JSTOR 97883. PMID 20998741.

• Джеффрис, Х. (1939). Теория вероятностей. Oxford University Press.