Точечный пробел

В математике, a заостренное пространство - это топологическое пространство с выделенной точкой, базовой точкой . Выделенная точка - это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, такое как x 0, которое остается неизменным во время последующего обсуждения и отслеживается во время всех операций.

Карты заостренных пространств (карты на основе ) - это непрерывные карты, сохраняющие базовые точки, то есть карта f между заостренным пространством X с базовой точкой x 0 и заостренное пространство Y с базовой точкой y 0 является базовой картой, если она непрерывна по отношению к топологиям X и Y и если f (x 0) = y 0. Обычно это обозначается

$f:\; (X,\; x\; 0)\; \to \; (Y,\; y\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; (X,\; x\_\; \{0\})\; \backslash \; to\; (Y,\; y\_\; \{0\}).\}$

Точечные пространства важны в алгебраической топологии, особенно в теории гомотопии, где многие конструкции, такие как фундаментальная группа, зависят от выбора базовой точки.

Концепция заостренного множества менее важна; в любом случае это случай дискретного пространства с точками .

. Точечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительной топологии , где подмножество представляет собой одну точку. Таким образом, большая часть теории гомотопий обычно разрабатывается на точечных пространствах, а затем перемещается к относительным топологиям в алгебраической топологии.

Класс всех отмеченных пространств образует категорию Top •с базовой точкой, сохраняющей непрерывные отображения как морфизмы. Другой способ думать об этой категории - это категория с запятой, ({•} ↓ Top ), где {•} - это любой пробел в одну точку, а Top - это категория топологических пространств. (Это также называется категорией кослиц и обозначается {•} / Top .) Объекты в этой категории представляют собой непрерывные отображения {•} → X. Такие морфизмы можно рассматривать как выделение базовая точка в X. Морфизмы в ({•} ↓ Top ) - это морфизмы в Top, для которых следующая диаграмма коммутирует :

. Легко видеть, что коммутативность диаграмма эквивалентна условию, что f сохраняет базовые точки.

В качестве заостренного пробела {•} представляет собой нулевой объект в Top •, тогда как это только конечный объект в Top .

Существует забывчивый функтор Top •→ Top, который «забывает», какая точка является базовой. Этот функтор имеет левое сопряженное, которое назначает каждому топологическому пространству X непересекающееся объединение пространства X и одноточечного пространства {•}, единственный элемент которого берется в качестве базовой точки.

• A подпространство точечного пространства X - это топологическое подпространство A ⊆ X, которое делит свою базовую точку с X, так что карта включения - сохранение базовой точки.
• Можно сформировать фактор заостренного пространства X при любом отношении эквивалентности. Базовая точка частного - это изображение базовой точки в X под картой частного.
• Можно сформировать продукт из двух заостренных пространств (X, x 0), (Y, y 0) как топологическое произведение X × Y с (x 0, y 0), служащая базовой точкой.
• coproduct в категории заостренных пробелов - это сумма клина, которую можно представить как «одноточечное объединение» пробелов.
• произведение разбиения двух заостренных пробелов по существу является частным прямого произведения и сумма клина. Мы хотели бы сказать, что продукт smash превращает категорию заостренных пространств в симметричную моноидальную категорию с заостренной 0-сферой в качестве единичного объекта, но это неверно для общих пространств. : условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно порожденные слабые хаусдорфовы пространства.
• Редуцированная подвеска ΣX отмеченного пространства X (с точностью до гомеоморфизма ) является произведением разбиения X и остроконечной окружности S.
• Приведенная надстройка является функтором из категории заостренных точек. пространства себе. Этот функтор сопряжен слева с функтором $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, принимая заостренный пробел $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$на его пространство цикла $\Omega \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; X\}$.

• Gamelin, Theodore W.; Грин, Роберт Эверист (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• Обсуждение различных базовых точек и группоидов