Интеграл Петтиса

редактировать

В математике используется интеграл Петтиса или интеграл Гельфанда – Петтиса, названный в честь Исраэля М. Гельфанда и Билли Джеймса Петтиса, расширяет определение интеграла Лебега на вектор-функции с мерой . пробел, используя двойственность. Интеграл был введен Гельфандом для случая, когда пространство меры является интервалом с мерой Лебега. Интеграл также называется слабым интегралом в отличие от интеграла Бохнера, который является сильным интегралом.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Теорема о среднем значении
- 2.2 Существование
3 Закон больших чисел для интегрируемых по Петтису случайных величин
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

Пусть f: X → V, где $(X, Σ, μ) {\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ $(X, \ Sigma, \ mu)$ - мера пространство, а V - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным двойным пространством $V ′ {\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ $V ^ {{\ prime}}$ , которое разделяет точки (т.е. если x в V не равно нулю, тогда существует $l ∈ V ′ {\ displaystyle l \ in V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle l \ in V ^ {\ prime}}$ такой, что l (x) ≠ 0), например V является нормированным пространством или (в более общем смысле) хаусдорфовым локально выпуклым TVS. Мы запишем оценку функционала как двойную пару: $⟨φ, x⟩ = φ [x] {\ displaystyle \ langle \ varphi, x \ rangle = \ varphi [x]}$ $\ langle \ varphi, x \ rangle = \ varphi [x]$ .

Мы говорим, что f равно интегрируема по Петтису, если $φ ∘ f ∈ L 1 (X, Σ, μ) {\ displaystyle \ varphi \ circ f \ in L ^ {1} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ справа)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ f \ in L ^ {1} \ left (X, \ Sigma, \ mu \ right)}$ и для всех $φ ∈ V ′ {\ displaystyle \ varphi \ in V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in V ^ {\ prime}}$ и $A ∈ Σ {\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ $A \ в \ Sigma$ существует вектор $e A ∈ V {\ displaystyle e_ {A} \ in V}$ ${\ displaystyle e_ {A} \ in V}$ так, что:

∀ φ ∈ V ′ : ⟨Φ, е A⟩ знак равно ∫ A ⟨φ, е (Икс)⟩ d ⁡ μ (x) {\ displaystyle \ forall \ varphi \ in V ^ {\ prime}: \ qquad \ langle \ varphi, e_ {A } \ rangle = \ int _ {A} \ langle \ varphi, f (x) \ rangle \, \ operatorname {d} \ mu (x)}

{\ Displaystyle \ forall \ varphi \ в V ^ {\ pr ime}: \ qquad \ langle \ varphi, e_ {A} \ rangle = \ int _ {A} \ langle \ varphi, f (x) \ rangle \, \ operatorname {d} \ mu (x)}

В этом случае мы называем $e A {\ displaystyle e_ {A}}$ $e_ {A}$ интеграл Петтиса от f на A. Общие обозначения для интеграла Петтиса $e A {\ displaystyle e_ {A}}$ $e_ {A}$ включают

∫ A fd ⁡ μ, ∫ A f (x) d ⁡ μ (x), и в случае, если A = X понятно, μ [f] {\ disp Laystyle \ int _ {A} f \ operatorname {d} \ mu, \ qquad \ int _ {A} f (x) \, \ operatorname {d} \ mu (x), \ quad {\ text {и, в В случае, когда A = X понимается,}} \ quad \ mu [f]}

{\ displaystyle \ int _ {A} f \ operat orname {d} \ mu, \ qquad \ int _ {A} f (x) \, \ operatorname {d} \ mu (x), \ quad {\ text {и, в случае, если A = X понятно,} } \ quad \ mu [f]}

Свойства

Непосредственным следствием определения является то, что интегралы Петтиса совместимы с непрерывными линейными операторами: Если $Φ: V 1 → V 2 {\ displaystyle \ Phi: V_ {1} \ to V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ Phi: V_ {1} \ to V_ {2}}$ линейно и непрерывно, и $f: X → V 1 {\ displaystyle f: X \ to V_ {1}}$ ${\ displaystyle f: X \ to V_ {1}}$ интегрируем по Петтису, тогда $Φ ∘ f {\ displaystyle \ Phi \ circ f}$ ${\ displaystyle \ Phi \ circ f}$ также интегрируем по Петтису и:

∫ X Φ (f (x)) d μ (x) = Φ (∫ X f (x) d μ (x)). {\ Displaystyle \ int _ {X} \ Phi (е (х)) \, d \ mu (x) = \ Phi \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ справа).}

{\ displaystyle \ int _ {X} \ Phi (f (x)) \, d \ mu (x) = \ Phi \ left ( \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right).}

Стандартная оценка

| ∫ X f (x) d μ (x) | ⩽ ∫ X | f (x) | d μ (Икс) {\ Displaystyle \ влево | \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right | \ leqslant \ int _ {X} | f (x) | \, d \ mu (x)}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right | \ leqslant \ int _ {X} | е (х) | \, d \ mu (x)}

для вещественно- и комплекснозначных функций обобщается на интегралы Петтиса в следующем смысле: для всех непрерывных полунорм

p: V → R {\ displaystyle p: V \ to \ mathbb {R} }

{\ displaystyle p: V \ to \ mathbb {R}}

и все интегрируемые по Петтису

f: X → V, {\ displaystyle f: X \ to V,}

{\ displaystyle f : X \ к V,}

p (∫ X f (x) d μ (x)) ⩽ ∫ Икс _ п (е (Икс)) d μ (Икс) {\ Displaystyle р \ влево (\ int _ {X} е (х) \, d \ му (х) \ вправо) \ leqslant {\ underline {\ int _ {X}}} p (f (x)) \, d \ mu (x)}

{\ displaystyle p \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \ leqslant {\ underline {\ int _ {X}}} п (е (х)) \, d \ му (х)}

выполняется. Правая часть - это нижний интеграл Лебега функции со значением

[0, ∞] {\ displaystyle [0, \ infty]}

{\ displaystyle [0, \ infty]}

, т.е.

∫ X _ gd μ: = sup {∫ X hd µ | h: X → [0, ∞] измеримо и 0 ⩽ h ⩽ g}. {\ displaystyle {\ underline {\ int _ {X}}} g \, d \ mu: = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {X} h \, d \ mu \ right | h: X \ to [0, \ infty] {\ text {измеримо и}} 0 \ leqslant h \ leqslant g \ right \}.}

{\ displaystyle {\ underline {\ int _ {X }}} g \, d \ mu: = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {X} h \, d \ mu \ right | h: X \ to [0, \ infty] {\ text { измеримо и}} 0 \ leqslant h \ leqslant g \ right \}.}

Взять нижний интеграл Лебега необходимо, потому что подынтегральное выражение

p ∘ f { \ displaystyle p \ circ f}

{\ displaystyle p \ circ f}

может быть не поддается измерению. Это следует из теоремы Хана-Банаха, поскольку для каждого вектора

v ∈ V {\ displaystyle v \ in V}

v \ in V

должен существовать непрерывный функционал

φ ∈ V ∗ {\ displaystyle \ varphi \ in V ^ {\ ast}}

{\ displaystyle \ varphi \ in V ^ {\ ast}}

такое, что

φ (v) = p (v) {\ displaystyle \ varphi (v) = p (v)}

{\ displaystyle \ varphi (v) = p (v)}

∀ w ∈ V: | φ (w) | ≤ п (вес) {\ Displaystyle \ forall ш \ в V: | \ varphi (ш) | \ Leq р (ш)}

{\ displaystyle \ forall w \ in V: | \ varphi (w) | \ leq p (w)}

. Применяя это к

v: = ∫ X fd μ {\ displaystyle v: = \ int _ {X} f \, d \ mu}

{\ displaystyle v: = \ int _ {X} f \, d \ mu}

, получаем результат.

Теорема о среднем значении

Важным свойством является то, что интеграл Петтиса относительно конечной меры содержится в замыкании выпуклой оболочки значений, масштабированных мерой области интегрирования:

μ (A) < ∞ ⟹ ∫ A f d μ ∈ μ ( A) ⋅ c o ( f ( A)) ¯ {\displaystyle \mu (A)<\infty \implies \int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {co(f(A))}}}

{\ displaystyle \ mu (A) <\ infty \ подразумевает \ int _ {A} f \, d \ mu \ in \ mu (A) \ cdot {\ overline {co (f (A))}}}

Это следствие теоремы Хана-Банаха и обобщение теоремы о среднем значении для интегралов от действительных функций : Если $V = R, {\ displaystyle V = \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R},}$ тогда замкнутые выпуклые множества являются просто интервалами, а для $f: X → [a, b], {\ displaystyle f: X \ to [a, b],}$ ${\ displaystyle f : Икс \ к [a, b],}$ неравенства

μ (A) a ⩽ ∫ A fd μ ⩽ μ (A) b {\ displaystyle \ mu (A) a \ leqslant \ int _ {A} f \, d \ mu \ leqslant \ mu (A) b}

{\ displaystyle \ mu (A) a \ leqslant \ int _ {A} f \, d \ mu \ leqslant \ mu (A) b}

выполнено.

Существование

Если $V = R n {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ конечномерно, то $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируем по Петтису тогда и только тогда, когда каждая из координат $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируема по Лебегу.

Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируется по Петтису, а $A ∈ Σ {\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ $A \ в \ Sigma$ является измеримым подмножеством $X {\ displaystyle X}$ $X$ , то по определению $f | A: A → V {\ displaystyle f_ {| A}: A \ to V}$ ${\ displaystyle f_ {| A}: A \ to V}$ и $f ⋅ 1 A: X → V {\ displaystyle f \ cdot 1_ {A}: X \ к V}$ ${\ displaystyle f \ cdot 1_ {A}: X \ to V}$ также интегрируемы по Петтису и

∫ A f | A d μ = ∫ X f ⋅ 1 A d μ. {\ displaystyle \ int _ {A} f_ {| A} \, d \ mu = \ int _ {X} f \ cdot 1_ {A} \, d \ mu.}

{\ displaystyle \ int _ {A } f_ {| A} \, d \ mu = \ int _ {X} f \ cdot 1_ {A} \, d \ mu.}

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - топологическое пространство, $Σ = BX {\ displaystyle \ Sigma = {\ mathfrak {B}} _ {X}}$ ${\ displaystyle \ Sigma = {\ mathfrak {B}} _ {X}}$ его Borel- $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -алгебра, $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ a мера Бореля, которая присваивает конечные значения компактным подмножествам, $V {\ displaystyle V}$ $V$ является квазиполным (т.е. каждая ограниченная сеть Коши сходится), и если $f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывно с компактной опорой, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируется по Петтису.

В более общем смысле: если $f {\ displaystyle f}$ $f$ слабо измеримо и существует компактное выпуклое $C ⊆ V {\ displaystyle C \ substeq V}$ ${\ displaystyle C \ substeq V}$ и нулевое множество $N ⊆ X {\ displaystyle N \ substeq X}.$ ${\ displaystyle N \ substeq X}$ так, чтобы $f (X ∖ N) ⊆ C {\ displaystyle f (X \ setminus N) \ substeq C}$ ${\ displaystyle f (X \ setminus N) \ substeq C}$ , затем $f {\ displaystyle f}$ $f$ интегрируем по Петтису.

Закон больших n умера для интегрируемых по Петтису случайных величин

Пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$ - вероятностное пространство, а $V {\ displaystyle V}$ $V$ - топологическое векторное пространство с двойным пространством, разделяющим точки. Пусть $vn: Ω → V {\ displaystyle v_ {n} \ двоеточие \ Omega \ to V}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ двоеточие \ Omega \ to V}$ будет последовательностью интегрируемых по Петтису случайных величин, и напишите $E ⁡ [vn] {\ displaystyle \ operatorname {E} [v_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [v_ {n}]}$ для интеграла Петтиса $vn {\ displaystyle v_ {n}}$ $v_ {n}$ (более $X {\ displaystyle X}$ $X$ ). Обратите внимание, что $E ⁡ [vn] {\ displaystyle \ operatorname {E} [v_ {n}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [v_ {n}]}$ является (неслучайным) вектором в $V {\ displaystyle V}$ $V$ и не является скалярным значением.

Пусть

v ¯ N: = 1 N ∑ n = 1 N vn {\ displaystyle {\ bar {v}} _ {N}: = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} v_ {n}}

{\ bar v} _ {N}: = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {{n = 1}} ^ {N} v_ {n}

обозначает выборочное среднее. По линейности $v ¯ N {\ displaystyle {\ bar {v}} _ {N}}$ ${\ bar v} _ {N}$ интегрируется по Петтису, а

E ⁡ [v ¯ N] = 1 N ∑ n = 1 NE ⁡ [vn] ∈ V. {\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N}] = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ operatorname {E} [ v_ {n}] \ in V.}

{\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N} ] = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ operatorname {E} [v_ {n}] \ in V.}

Предположим, что частичные суммы

1 N ∑ n = 1 NE ⁡ [v ¯ n] {\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {n}]}

{\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {n}]}

абсолютно сходятся в топологии $V {\ displaystyle V}$ $V$ в том смысле, что все перестановки суммы сходятся к одному вектору $λ ∈ V {\ displaystyle \ lambda \ in V}$ $\ lambda \ in V$ . Из слабого закона больших чисел следует, что $⟨φ, E ⁡ [v ¯ N] - λ⟩ → 0 {\ displaystyle \ langle \ varphi, \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N }] - \ lambda \ rangle \ to 0}$ ${\ displaystyle \ langle \ varphi, \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N}] - \ lambda \ rangle \ to 0}$ для каждого функционала $φ ∈ V ∗ {\ displaystyle \ varphi \ in V ^ {*}}$ $\ varphi \ in V ^ {*}$ . Следовательно, $E ⁡ [v ¯ N] → λ {\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N}] \ to \ lambda}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [ {\ bar {v}} _ {N}] \ to \ lambda}$ в слабая топология на $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Без дополнительных предположений возможно, что $E ⁡ [v ¯ N] {\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ bar { v}} _ {N}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ bar {v}} _ {N}] }$ не сходится к $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . Чтобы получить сильную сходимость, необходимы дополнительные предположения.

См. Также

Ссылки

Джеймс К. Брукс, Представления слабых и сильных интегралов в банаховых пространствах, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 63, 1969, 266–270. Полный текст MR 0274697
Исраэль М. Гельфанд, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Математика. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Математика. Харьков, И.В. Сер. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
Мишель Талагранд, Интегральная теория и теория меры Петтиса, Мемуары AMS No. 307 (1984) MR 0756174
Соболев, В.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press