Перфектоидное пространство

редактировать

В математике перфектоидное пространство - это адическое пространство из особого вида, которые возникают при исследовании задач «смешанной характеристики », таких как локальные поля нулевой характеристики, которые имеют поля вычетов характеристического простого числа p.

A перфектоидное поле - это полное топологическое поле K, топология которого индуцирована недискретной оценкой ранга 1, так что эндоморфизм Фробениуса Φ сюръективен на К ° / р, где К ° обозначает кольцо степенно ограниченных элементов.

Перфектоидные пространства могут использоваться (и были изобретены для того, чтобы) сравнивать смешанные характеристические ситуации с чисто конечными характеристическими ситуациями. Технические инструменты для уточнения этой точности - это эквивалентность наклона и теорема почти чистоты. Эти понятия были введены в 2012 году Питером Шольце.

Содержание

1 Эквивалентность наклона
- 1.1 Теорема о почти чистоте
2 См. Также
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Наклон эквивалентность

Для любого перфектоидного поля K существует наклон K, который представляет собой перфектоидное поле конечной характеристики p. В качестве набора его можно определить как

K ♭ = lim ← x ↦ xp ⁡ K {\ displaystyle K ^ {\ flat} = \ varprojlim _ {x \ mapsto x ^ {p}} K}

{\ displaystyle K ^ {\ flat} = \ varprojlim _ {x \ mapsto x ^ {p}} K}

Явно элемент K представляет собой бесконечную последовательность (x 0, x 1, x 2,...) элементов K, таких что x i = x. i + 1. Умножение в K определяется почленно, сложение сложнее. Если K имеет конечную характеристику, то K ≅ K. Если K является p-адическим завершением элемента $Q p (p 1 / p ∞) {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} (p ^ {1 / p ^ {\ infty}})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} (p ^ {1 / p ^ {\ infty}})}$ , тогда K является t-адическим пополнением $F p ((t)) (t 1 / p ∞) {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ((t)) (t ^ {1 / p ^ {\ infty}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ((т)) (t ^ {1 / p ^ {\ infty}})}$ .

Существуют понятия алгебры перфектоидов и перфектоидов пространства над полем перфектоидов K, примерно аналогичные коммутативным алгебрам и схемам над полем. На эти объекты распространяется действие наклона. Если X - перфектоидное пространство над полем перфектоидов K, то можно образовать перфектоидное пространство X над K. эквивалентность наклона - это теорема о том, что наклонный функтор (-) индуцирует эквивалентность категорий между перфектоидными пространствами над K и перфектоидными пространствами над K. Обратите внимание, что хотя перфектоидное поле конечной характеристики может иметь несколько неизоморфных «доц», категории перфектоидных пространств над ними все будут эквивалентны.

Теорема о почти чистоте

Эта эквивалентность категорий учитывает некоторые дополнительные свойства морфизмов. Многие свойства морфизмов схем имеют аналоги для морфизмов адических пространств. Теорема о почти чистоте для перфектоидных пространств касается конечных этальных морфизмов. Это обобщение теоремы о почти чистоте Фалтингса в p-адической теории Ходжа. Название отсылает к почти математике, которая используется в доказательстве, и к далекой классической теореме о чистоте локуса ветвления.

Утверждение состоит из двух частей. Пусть K - перфектоидное поле.

Если X → Y - конечный этальный морфизм адических пространств над K и Y - перфектоид, то X также перфектоид;
Морфизм X → Y перфектоидных пространств над K конечен этален тогда и только если наклон X → Y конечен этален над K.

Поскольку конечные этальные отображения в поле в точности конечны разделимы расширения поля, из теоремы почти чистоты следует, что для любого перфектоида В поле K абсолютные группы Галуа групп K и K изоморфны.

См. Также

Совершенное поле

Ссылки

Внешние ссылки

Бхатт, Бхаргав. "Что такое... Перфектоидное пространство?" (PDF). Бюллетень АПП. Проверено 2 января 2020 г.
«Что такое« перфектоидные пространства »?». MathOverflow.
Основы перфектоидных пространств Мэтью Морроу
Lean perfectoid Spaces. Определение перфектоидных пространств, формализованное в программе доказательства теорем Lean