Число Пелла

Стороны квадратов, используемых для построения серебряной спирали, - это числа Пелла

В математике, числа Пелла представляют собой бесконечную последовательность целых чисел, известных с древних времен, которые составляют знаменатели ближайшего рационального приближения к квадратному корню из 2. Эта последовательность приближений начинается с 1/1, 3/2, 7/5, 17/12 и 41/29, поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители тех же последовательность приближений составляет половину сопутствующих чисел Пелла или чисел Пелла – Лукаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с 2, 6, 14, 34 и 82.

И числа Пелла, и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения аналогично тому, как это происходит для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально пропорционально степеням отношения серебра 1 + √2. Числа Пелла не только используются для вычисления квадратного корня из двух, но и для нахождения квадратных треугольных чисел, для построения целочисленных приближений к правильному равнобедренному треугольнику и для решения некоторых комбинаторные задачи перечисления.

Как и в случае с уравнением Пелла, название чисел Пелла происходит от ошибочной атрибуции Леонарда Эйлера этого уравнения и числа, полученные от него до Джона Пелла. Числа Пелла – Лукаса также названы в честь Эдуарда Люка, который изучал последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие им числа Пелла - это последовательности Люка.

• 1 Числа Пелла
• 2 Аппроксимация квадратного корня из двух
• 3 простых чисел и квадратов
• 4 троек Пифагора
• 5 Числа Пелла – Лукаса
• 6 Вычисления и связи
  • 6.1 Определения
    • 6.1.1 Возведение в степень
    • 6.1.2 Парные повторения
    • 6.1.3 Формулировки матриц
  • 6.2 Аппроксимации
  • 6.3 H - 2P = ± 1
  • 6.4 Квадратные треугольные числа
  • 6.5 Пифагоровы тройки
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Числа Пелля являются определяется рекуррентным соотношением :

$P\; n\; =\; \{0,\; если\; n\; =\; 0;\; 1,\; если\; n\; =\; 1;\; 2\; P\; n\; -\; 1\; +\; P\; n\; -\; 2\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \backslash \; 1\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; 2P\_\; \{n-1\}\; +\; P\_\; \{n-2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{в\; противном\; случае.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

На словах последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелла является суммой удвоенных предыдущих Число Пелла и число Пелла перед этим. Первые несколько членов последовательности:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,… (последовательность A000129 в OEIS ).

Числа Пелла также можно выразить формулой закрытой формы

$P\; n\; =\; (1\; +\; 2)\; n\; -\; (1-2)\; n\; 2\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\; \}\}\}.\}$

Для больших значений n член (1 + √2) доминирует в этом выражении, поэтому числа Пелла приблизительно пропорциональны степеням отношения серебра 1 + √2, аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотого сечения.

Третье определение возможно из формулы матрицы

$(P\; n\; +\; 1\; P\; n\; P\; n\; P\; n\; -\; 1)\; =\; (2\; 1\; 1\; 0)\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; P\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{n\}\; P\_\; \{n-1\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 2\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{n\}.\}$

Многие идентичности могут быть получены или подтверждены из этих определений; например идентичность, аналогичная идентичности Кассини ж или числа Фибоначчи,

$P\; n\; +\; 1\; P\; n\; -\; 1\; -\; P\; n\; 2\; =\; (-\; 1)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; P\_\; \{n-1\}\; -P\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\},\}$

является непосредственным следствием матричной формулы (найденной с учетом определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы).

Рациональных приближений к правильным восьмиугольникам с координатами, полученными из чисел Пелла.

Числа Пелла возникли исторически и наиболее заметно в рациональное приближение к √2. Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелла

$x\; 2\; -\; 2\; y\; 2\; =\; \pm \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -2y\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; pm\; 1,\}$

, то их отношение x / y дает близкое приближение к √2. Последовательность приближений этой формы:

$1\; 1,\; 3\; 2,\; 7\; 5,\; 17\; 12,\; 41\; 29,\; 99\; 70,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{5\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{17\}\; \{12\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{41\}\; \{29\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{99\}\; \{70\}\},\; \backslash \; точки\}$

, где знаменатель каждой дроби - это число Пелла, а числитель - это сумма числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид

$P\; n\; -\; 1\; +\; P\; n\; P\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n-1\}\; +\; P\_\; \{n\}\}\; \{P\_\; \{n\}\}\}.\}$

Приближение

$2\; \approx \; 577\; 408\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{577\}\; \{408\}\}\}$

этого типа был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры. Греческие математики V века до нашей эры. также знал об этой последовательности приближений: Платон называет числители рациональными диаметрами . Во II веке н. Э. Теон Смирнский использовал термин стороны и числа диаметра для описания знаменателей и числителей этой последовательности.

Эти приближения могут быть получены из непрерывная дробь расширение $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$:

$2\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; \ddots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2+\; \{)\; \backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2+\; \backslash \; ddots\; \backslash ,\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.\}$

Усечение этого расширения до любого числа членов дает одно из приближений на основе числа Пелла в этой последовательности; например,

$577\; 408\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{577\}\; \{408\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{\; 2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.\}$

Как Кнут ( 1994) описывает тот факт, что числа Пелла аппроксимируют √2, что позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин (± P i, ± P i + 1) и (± P i + 1, ± P i). Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. В качестве альтернативы точки $(\pm \; (P\; i\; +\; P\; i\; -\; 1),\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; pm\; (P\_\; \{i\}\; +\; P\_\; \{i-1\}),\; 0)\}$, $(0,\; \pm \; (п\; я\; +\; п\; я\; -\; 1))\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,\; \backslash \; pm\; (P\_\; \{i\}\; +\; P\_\; \{i-1\}))\}$и $(\pm \; P\; i,\; \pm \; P\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; pm\; P\_\; \{i\},\; \backslash \; pm\; P\_\; \{i\})\}$образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют равномерные углы.

A Простое число Пелла - это число Пелла, которое является простым. Первые несколько простых чисел Пелла:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469,... (последовательность A086383 в OEIS ).

Индексы этих простые числа в последовательности всех чисел Пелла:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093,... (последовательность A096650 в OEIS )

Эти индексы сами по себе простые. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелла P n может быть простым, только если n само простое, потому что если d является делителем n, то P d является делителем P n.

Единственные числа Пелла, которые являются квадратами, кубами, или любая более высокая степень целого числа равна 0, 1 и 169 = 13.

Однако, несмотря на такое небольшое количество квадратов или других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратными треугольными числами В частности, эти числа возникают из следующего тождества чисел Пелла:

$((P\; k\; -\; 1\; +\; P\; k)\; \cdot \; P\; k)\; 2\; =\; (P\; k\; -\; 1\; +\; P\; k)\; 2\; \cdot \; ((\; P\; k\; -\; 1\; +\; P\; k)\; 2\; -\; (-\; 1)\; k)\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; left\; (P\_\; \{k-1\}\; +\; P\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; P\_\; \{k\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (P\_\; \{\; k-1\}\; +\; P\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (P\_\; \{k-1\}\; +\; P\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; \}\; \backslash \; right)\}\; \{2\}\}.\}$

Левая часть этого тождества описывает квадратное число, а правая часть описывает треугольное число, поэтому результат квадратное треугольное число.

Сантана и Диас-Барреро (2006) доказали другое тождество, связав числа Пелла с квадратами и показав, что сумма чисел Пелла до P 4n + 1 всегда является квадратом:

$\sum \; я\; знак\; равно\; 0\; 4\; N\; +\; 1\; P\; я\; знак\; равно\; (\sum \; R\; =\; 0\; N\; 2\; R\; (2\; N\; +\; 1\; 2\; R))\; 2\; знак\; равно\; (P\; 2\; N\; +\; P\; 2\; N\; +\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{4n\; +\; 1\}\; P\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; 2\; ^\; \{r\}\; \{2n\; +\; 1\; \backslash \; choose\; 2r\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (P\_\; \{2n\}\; +\; P\_\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Например, сумма чисел Пелла до P 5, 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49, это квадрат P 2 + P 3 = 2 + 5 = 7. Числа P 2n + P 2n + 1, образующие квадратные корни из этих сумм,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321,… (последовательность A002315 в OEIS ),

известны как числа Ньюмана-Шанкса-Вильямса (NSW).

Целочисленные прямоугольные треугольники с почти равными сторонами, полученные из чисел Пелла.

Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a, b, c (обязательно удовлетворяющий теореме Пифагора a + b = c), то (a, b, c) известно как пифагорова тройка. Как описывает Мартин (1875), числа Пелля можно использовать для образования пифагоровых троек, в которых a и b отстоят на одну единицу, что соответствует прямоугольным треугольникам, которые почти равнобедренны. ch тройка имеет вид

$(2\; P\; n\; P\; n\; +\; 1,\; P\; n\; +\; 1\; 2\; -\; P\; n\; 2,\; P\; n\; +\; 1\; 2\; +\; P\; n\; 2\; =\; P\; 2\; n\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (2P\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\; +\; 1\},\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{2\}\; -P\_\; \{n\}\; ^\; \{2\},\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{2\}\; +\; P\_\; \{\; n\}\; ^\; \{2\}\; =\; P\_\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \; right).\}$

Последовательность пифагоровых троек, образованная таким образом, равна

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

сопутствующие числа Пелла или числа Пелла – Лукаса определяются рекуррентное соотношение

$Q\; n\; =\; \{2,\; если\; n\; =\; 0;\; 2,\; если\; n\; =\; 1;\; 2\; Q\; n\; -\; 1\; +\; Q\; n\; -\; 2\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 2\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \backslash \; 2\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; 2Q\_\; \{n-1\}\; +\; Q\_\; \{n-2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{в\; противном\; случае.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Словами: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число формируется путем двойного сложения предыдущего числа Pell –Число Лукаса к предшествующему числу Пелла – Лукаса или, что эквивалентно, добавлением следующего числа Пелла к предыдущему числу Пелла: таким образом, 82 является сопутствующим 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478,…

Подобно взаимосвязи между числами Фибоначчи и числами Люка,

$Q\; n\; =\; P\; 2\; n\; P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{2n\}\}\; \{P\_\; \{n\; \}\}\}\}$

для всех натуральных чисел n.

Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой замкнутого вида

$Q\; n\; =\; (1\; +\; 2)\; n\; +\; (1-2)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}.\}$

Все эти числа четные; каждое такое число в два раза больше числителя в одном из рациональных приближений к $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$, рассмотренному выше.

Подобно последовательности Люка, если число Пелл – Лукаса 1 / 2Q n является простым, необходимо, чтобы n было либо простым, либо степенью двойки. Простые числа Пелл – Лукаса равны

3, 7, 17, 41, 239, 577,… (последовательность A086395 в OEIS ).

Для этих n

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421,… (последовательность A099088 в OEIS ).

Следующая таблица дает первые несколько степеней отношения серебра δ = δ S = 1 + √2 и его сопряженного δ = 1 - √2.

n	(1 + √2)	(1 - √2)
0	1 + 0√2 = 1	1 - 0√2 = 1
1	1 + 1√2 = 2,41421…	1 - 1√2 = −0,41421…
2	3 + 2√2 = 5,82842…	3–2√2 = 0,17157…
3	7 + 5√2 = 14,07106…	7 - 5√2 = -0,07106…
4	17 + 12√2 = 33,97056…	17-12√2 = 0,02943…
5	41 + 29√2 = 82,01219…	41 - 29√2 = −0,01219…
6	99 + 70√2 = 197,9949…	99-70√2 = 0,0050…
7	239 + 169√2 = 478,00209…	239 - 169√2 = −0,00 209…
8	577 + 408√2 = 1153,99913…	577 - 408√2 = 0,00086…
9	1393 + 985√2 = 2786,00035…	1393 - 985√2 = −0,00035…
10	3363 + 2378√2 = 6725.99985…	3363 - 2378√2 = 0,00014…
11	8119 + 5741√2 = 16238.00006…	8119 - 5741√2 = −0.00006…
12	19601 + 13860√2 = 39201.99997…	19601 - 13860√2 = 0.00002…

Коэффициенты - это полусопутствующие числа Пелла H n и числа Пелла P n, которые являются (неотрицательными) решениями для H - 2P = ± 1. A квадратное треугольное число - это число

$N\; =\; t\; (t\; +\; 1)\; 2\; =\; s\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; (t\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; =\; s\; ^\; \{2\},\}$

, которое является одновременно t-м треугольным числом и s-м квадратным числом. Почти равнобедренная пифагорова тройка - это целое решение уравнения a + b = c, где a + 1 = b.

Следующая таблица показывает, что разделение нечетного числа H n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четно, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно. Все решения возникают таким образом.

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Определения

Полусопутствующие числа Пелла H n и числа Пелла P n могут быть получены рядом легко эквивалентных способов.

Возведение в степень

$(1\; +\; 2)\; n\; =\; H\; n\; +\; P\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; H\_\; \{\; n\}\; +\; P\_\; \{n\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$

$(1-2)\; n\; =\; H\; n\; -\; P\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; H\_\; \{n\}\; -P\_\; \{n\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}.\}$

Отсюда следует, что там являются закрытыми формами:

$H\; n\; =\; (1\; +\; 2)\; n\; +\; (1-2)\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\; \}\}\; \{2\}\}.\}$

и

$P\; n\; 2\; =\; (1\; +\; 2)\; n\; -\; (1-2)\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\; \{2\}\}.\}$

Парные повторы

$H\; n\; =\; \{1,\; если\; n\; =\; 0;\; H\; n\; -\; 1\; +\; 2\; P\; n\; -\; 1\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \backslash \; H\_\; \{n-1\}\; +\; 2P\_\; \{n-1\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{в\; противном\; случае\}\}.\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

$P\; n\; =\; \{0,\; если\; n\; =\; 0;\; H\; n\; -\; 1\; +\; P\; n\; -\; 1\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; =\; 0;\; \backslash \backslash \; H\_\; \{n-1\}\; +\; P\_\; \{n-1\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{в\; противном\; случае\}\}.\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Формулировки матрицы

$(H\; n\; P\; n)\; =\; (1\; 2\; 1\; 1)\; (H\; n\; -\; 1\; P\; n\; -\; 1)\; =\; (1\; 2\; 1\; 1)\; n\; (1\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; H\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; H\_\; \{\; n-1\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{n-1\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Итак,

$(H\; n\; 2\; P\; n\; P\; n\; H\; n)\; =\; (1\; 2\; 1\; 1)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; H\_\; \{n\}\; 2P\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; P\_\; \{n\}\; H\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{n\}.\}$

Приближение

Разница между H n и P n √2 составляет

$(1-2)\; n\; \approx \; (\; -\; 0,41421)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; приблизительно\; (-0,41421)\; ^\; \{n\},\}$

который быстро стремится к нулю. Итак,

$(1\; +\; 2)\; n\; =\; H\; n\; +\; P\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; =\; H\_\; \{n\}\; +\; P\_\; \{n\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash ,\}$

чрезвычайно близко к 2H n.

Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения H n/Pnбыстро приближаются к √2; и H n/Hn-1 и P n/Pn-1 быстро приближаются к 1 + √2.

H - 2P = ± 1

Поскольку √2 иррационально, мы не можем иметь H / P = √2, то есть

$H\; 2\; P\; 2\; =\; 2\; P\; 2\; P\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{H\; ^\; \{2\}\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2P\; ^\; \{2\}\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Лучшее, что мы можем достичь равно

$H\; 2\; P\; 2\; =\; 2\; P\; 2\; -\; 1\; P\; 2\; или\; H\; 2\; P\; 2\; =\; 2\; P\; 2\; +\; 1\; P\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{H\; ^\; \{2\}\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2P\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{или\}\; \}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{H\; ^\; \{2\}\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2P\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{P\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

(не -отрицательными) решениями H - 2P = 1 являются в точности пары (H n, P n) с четными n, а решениями H - 2P = −1 в точности являются пар (H n, P n) с нечетным n. Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что

$H\; n\; +\; 1\; 2\; -\; 2\; P\; n\; +\; 1\; 2\; =\; (H\; n\; +\; 2\; P\; n)\; 2\; -\; 2\; (H\; n\; +\; P\; n)\; 2\; =\; -\; (H\; n\; 2\; -\; 2\; P\; n\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{2\}\; -2P\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (H\_\; \{n\}\; +\; 2P\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; 2\; \backslash \; left\; (H\_\; \{n\}\; +\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (H\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; -2P\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

так что эти разности, начиная с H. 0- 2P. 0= 1, поочередно равны 1 и -1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку

$(2\; P\; -\; H)\; 2\; -\; 2\; (H\; -\; P)\; 2\; =\; -\; (H\; 2\; -\; 2\; P\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (2P-H)\; ^\; \{2\}\; -2\; (HP)\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (H\; ^\; \{2\}\; -2P\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Меньшее решение также имеет положительные целые числа, за одним исключением: H = P = 1, которое происходит от H 0 = 1 и P 0 = 0.

Квадратные треугольные числа

Требуемое уравнение

$t\; (t\; +\; 1)\; 2\; =\; s\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\; (t\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; =\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

является эквивалентно: $4\; t\; 2\; +\; 4\; t\; +\; 1\; =\; 8\; s\; 2\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4t\; ^\; \{2\}\; +\; 4t\; +\; 1\; =\; 8s\; ^\; \{2\}\; +1,\}$который становится H = 2P + 1 с заменами H = 2t + 1 и P = 2s. Следовательно, n-е решение:

$t\; n\; =\; H\; 2\; n\; -\; 1\; 2\; и\; s\; n\; =\; P\; 2\; n\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{2n\}\; -1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; s\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{2n\}\}\; \{2\; \}\}.\}$

Заметьте, что t и t + 1 взаимно просты, так что t (t + 1) / 2 = s происходит именно тогда, когда они являются смежными целыми числами, одно из которых представляет собой квадрат H, а другое дважды квадрат 2P. Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем

$t\; n\; =\; \{2\; P\; n\; 2,\; если\; n\; четно;\; H\; n\; 2,\; если\; n\; нечетное.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 2P\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{четно\}\};\; \backslash \backslash \; H\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; t\_dv\; \{нечетное.\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

и $sn\; =\; H\; n\; P\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\; =\; H\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}.\}$

Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

Пифагоровы тройки

Равенство c = a + (a + 1) = 2a + 2a + 1 происходит именно тогда, когда 2c = 4a + 4a + 2, что становится 2P = H + 1 с заменами H = 2a + 1 и P = c. Следовательно, n-е решение - это a n = H 2n + 1 - 1/2 и c n = P 2n + 1.

Таблица выше показывает, что в том или ином порядке a n и b n = a n + 1 являются H nHn + 1 и 2P nPn + 1, тогда как c n = H n + 1 Pn+ P n + 1 Hn.

1. ^Например, Продавцы (2002) доказывает, что количество точных соответствий в декартовом произведении графа путей и графа K 4 - e может рассчитывается как произведение числа Пелла на соответствующее число Фибоначчи.
2. ^Относительно матричной формулы и ее следствий см. Ercolano (1979) и Kilic and Tasci (2005). Дополнительные тождества для чисел Пелла перечислены Хорадамом (1971) и Бикнеллом (1975).
3. ^Как записано в Сутрах Шульбы ; см. например Дутка (1986), который цитирует Тибо (1875) для этой информации.
4. ^См. Кнорр (1976) для даты пятого века, которая соответствует утверждению Прокла, что числа сторон и диаметра были открыты пифагорейцами. Для более подробного изучения более поздних греческих знаний об этих числах см. Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) и Filep (1999).
5. ^Например, как отмечается в нескольких ссылках из предыдущего примечания, в Платон Республика есть ссылка на «рациональный диаметр 5», где Платон означает 7, числитель аппроксимации 7/5, из которых 5 - знаменатель.
6. ^Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики: от Фалеса до Евклида, Courier Dover Publications, стр. 112, ISBN 9780486240732.
7. ^Pethő (1992); Кон (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются повторением, очень похожим на числа Пелла, Кон пишет, что аналогичный результат для чисел Фибоначчи доказать гораздо труднее. (Однако это было доказано в 2006 году Бюжо и др.)
8. ^Сесскин (1962). См. Статью квадратное треугольное число для более подробной информации.

• Вайсштейн, Эрик У. «Число Пелла». MathWorld.
• OEISпоследовательность A001333 (Числители непрерывной дроби, сходящейся к sqrt (2)) - числители той же последовательности приближений