Частичная изометрия

В функциональном анализе частичная изометрия является линейным отображением между гильбертовыми пространствами, что это изометрический на ортогональном дополнении своего ядра.

Ортогональное дополнение его ядра называется начальным подпространством, а его диапазон называется конечным подпространством.

В полярном разложении появляются частичные изометрии.

• 1 Общие
• 2 операторные алгебры
• 3 C * -Алгебры
• 4 специальных класса
  • 4.1 Прогнозы
  • 4.2 Вложения
  • 4.3 Унитары
• 5 примеров
  • 5.1 Нильпотенты
  • 5.2 Левое и правое смещение
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Понятие частичной изометрии можно определить другими эквивалентными способами. Если U является изометрическим отображение, определенное на замкнутом подмножестве Н 1 гильбертова пространства H, то мы можем определить расширение W из U на все H условием, что W быть равна нулю на ортогональном дополнении H 1. Таким образом, частичная изометрия также иногда определяется как замкнутая частично определенная изометрическая карта.

Частичные изометрии (и проекции) могут быть определены в более абстрактном контексте полугруппы с инволюцией ; определение совпадает с приведенным здесь.

Для операторных алгебр вводятся начальное и конечное подпространства:

${\ displaystyle {\ mathcal {I}} W: = {\ mathcal {R}} W ^ {*} W, \, {\ mathcal {F}} W: = {\ mathcal {R}} WW ^ {* }}$

Для C * -алгебр имеется цепочка эквивалентностей благодаря C * -свойству:

${\ displaystyle (W ^ {*} W) ^ {2} = W ^ {*} W \ iff WW ^ {*} W = W \ iff W ^ {*} WW ^ {*} = W ^ {*} \ iff (WW ^ {*}) ^ {2} = WW ^ {*}}$

Таким образом, каждый определяет частичные изометрии любым из вышеперечисленных и объявляет начальную соотв. окончательная проекция будет W * W соотв. WW *.

Пара проекций разделяется отношением эквивалентности :

${\ Displaystyle P = W ^ {*} W, \, Q = WW ^ {*}}$

Он играет важную роль в K-теории для C * -алгебр и в теории проекторов Мюррея - фон Неймана в алгебре фон Неймана.

Прогнозы

Любая ортогональная проекция - это проекция с общим начальным и конечным подпространствами:

${\ displaystyle P: {\ mathcal {H}} \ rightarrow {\ mathcal {H}}: \ quad {\ mathcal {I}} P = {\ mathcal {F}} P}$

Вложения

Любое изометрическое вложение - это вложение с полным начальным подпространством:

${\ Displaystyle J: {\ mathcal {H}} \ hookrightarrow {\ mathcal {K}}: \ quad {\ mathcal {I}} J = {\ mathcal {H}}}$

Унитарные

Любой унитарный оператор - это оператор с полным начальным и конечным подпространством:

${\ Displaystyle U: {\ mathcal {H}} \ leftrightarrow {\ mathcal {K}}: \ quad {\ mathcal {I}} U = {\ mathcal {H}}, \, {\ mathcal {F}} U = {\ mathcal {K}}}$

(Помимо них существует гораздо больше частичных изометрий.)

Нильпотентс

На двумерном комплексном гильбертовом пространстве матрица

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 \ end {pmatrix}}}$

частичная изометрия с начальным подпространством

${\ Displaystyle \ {0 \} \ oplus \ mathbb {C}}$

и последнее подпространство

${\ displaystyle \ mathbb {C} \ oplus \ {0 \}.}$

Левое и правое смещение

На последовательностях, суммируемых с квадратом, операторы

${\ Displaystyle R: \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}) \ to \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}):( x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) \ mapsto (0, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots)}$

${\ Displaystyle L: \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}) \ to \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}):( x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) \ mapsto (x_ {2}, x_ {3}, \ ldots)}$

которые связаны

${\ Displaystyle R ^ {*} = L}$

частичные изометрии с начальным подпространством

${\ Displaystyle LR (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots)}$

и последнее подпространство:

${\ Displaystyle RL (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots) = (0, x_ {2}, \ ldots)}$.

• Джон Б. Конвей (1999). «Курс теории операторов», Книжный магазин AMS, ISBN   0-8218-2065-6
• Кэри, RW; Пинкус, JD (май 1974 г.). «Инвариант для некоторых операторных алгебр». Труды Национальной академии наук. 71 (5): 1952–1956.
• Алан LT Патерсон (1999). « Группоиды, обратные полугруппы и их операторные алгебры », Springer, ISBN   0-8176-4051-7
• Марк В. Лоусон (1998). « Обратные полугруппы: теория частичных симметрий ». Мировой научный ISBN   981-02-3316-7

• Важные свойства и доказательства
• Альтернативные доказательства