Тензор неметричности

редактировать

В математике используется тензор неметричности в дифференциальной геометрии - это ковариантная производная от метрического тензора. Следовательно, это тензорное поле третьего порядка. Он исчезает в случае римановой геометрии и может быть использован для изучения неримановых пространств-времени.

Содержание

1 Определение
2 Связь с соединением
3 Ссылки
4 Внешние ссылки

Определение

По компонентам оно определяется следующим образом.

Q μ α β = ∇ μ g α β {\ displaystyle Q _ {\ mu \ alpha \ beta} = \ nabla _ {\ mu} g _ {\ alpha \ beta}}

{\ displaystyle Q _ {\ mu \ alpha \ beta} = \ nabla _ {\ mu} g _ {\ alpha \ beta}}

Он измеряет скорость изменения компонентов метрического тензора вдоль потока данного векторного поля, поскольку

∇ μ ≡ ∇ ∂ μ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ Equiv \ nabla _ {\ partial _ {\ mu}}}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ Equiv \ nabla _ {\ partial _ {\ mu}}}

где ${∂ μ} μ = 0, 1, 2, 3 {\ displaystyle \ {\ partial _ {\ mu} \} _ {\ mu = 0,1,2,3}}$ ${\ displaystyle \ {\ partial _ {\ mu} \} _ {\ mu = 0,1,2,3}}$ - координатный базис векторных полей касательного расслоения, в случае наличия 4-мерного многообразие.

Связь с соединением

Мы говорим, что соединение $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ совместимо с метрикой, когда связанная с ней ковариантная производная метрического тензора (назовем его $∇ Γ {\ displ aystyle \ nabla ^ {\ Gamma}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {\ Gamma}}$ , например) равно нулю, т.е.

∇ μ Γ g α β = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} ^ {\ Gamma} g _ {\ alpha \ beta} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} ^ {\ Gamma} g _ {\ alpha \ бета} = 0.}

Если соединение также без кручения (т.е. полностью симметрична), то она известна как связь Леви-Чивита, которая является единственной связью без кручения и совместимой с метрическим тензором. Если мы посмотрим на это с геометрической точки зрения, ненулевой тензор неметричности для метрического тензора $g {\ displaystyle g}$ $g$ подразумевает, что модуль вектора, определенный на касательной bundle в определенную точку $p {\ displaystyle p}$ $p$ многообразия, изменяется, когда он оценивается вдоль направления (потока) другого произвольного вектора.

Ссылки

Внешние ссылки

Иосифидис, Дамианос; Петкоу, Анастасиос Ц.; Цагас, Христос Г. (май 2019 г.). "Двойственность кручения / неметричности в f (R) гравитации". Общая теория относительности и гравитации. 51 (5): 66. arXiv : 1810.06602. DOI : 10.1007 / s10714-019-2539-9. ISSN 0001-7701.