Неравенство Минковского

редактировать

В математическом анализе неравенство Минковского устанавливает, что L пробелы - это нормированные векторные пространства. Пусть S будет мерным пространством, пусть 1 ≤ p < ∞ and let f and g be elements of L(S). Then f + g is in L(S), and we have the неравенство треугольника

‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ leq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

\ | f + g \ | _p \ le \ | f \ | _p + \ | g \ | _p

с равенством для 1 < p < ∞ if and only if f and g are positively линейно зависимым, т.е. f = λg для некоторого λ ≥ 0 или g = 0. Здесь норма определяется следующим образом:

‖ f ‖ p = (∫ | f | pd μ) 1 p {\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ left ( \ int | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

\ | f \ | _ {p} = \ left (\ int | f | ^ {p} d \ mu \ right) ^ {{{\ frac {1} {p}}}}

, если p < ∞, or in the case p = ∞ by the существенная супремум

‖ f ‖ ∞ = esssupx ∈ S ⁡ | f (x) |. {\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ operatorname {ess \ sup} _ {x \ in S} | f (x) |.}

\ | f \ | _ \ infty = \ operatorname {ess \ sup} _ {x \ в S} | е (х) |.

Неравенство Минковского - это неравенство треугольника в L (S). Фактически, это частный случай более общего факта

‖ f ‖ p = sup ‖ g ‖ q = 1 ∫ | f g | d μ, 1 п + 1 q знак равно 1 {\ Displaystyle \ | е \ | _ {p} = \ sup _ {\ | g \ | _ {q} = 1} \ int | fg | d \ mu, \ qquad {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1}

\ | f \ | _ {p} = \ sup _ {{\ | g \ | _ {q} = 1}} \ int | fg | d \ mu, \ qquad {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1

где, как легко видеть, правая часть удовлетворяет треугольному неравенству.

Как и неравенство Гёльдера, неравенство Минковского может быть специализировано для последовательностей и векторов с помощью счетной меры :

(∑ k = 1 n | xk + yk | p) 1 / п ≤ (∑ К знак равно 1 N | хк | р) 1 / п + (∑ К = 1 N | YK | р) 1 / п {\ Displaystyle {\ biggl (} \ сумма _ {к = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} \ leq {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} + {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p}}

{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} + y_ { k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} \ leq {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p} + {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {p} {\ biggr)} ^ {1 / p}}

для всех вещественных (или комплексных ) чисел x 1,..., x n, y 1,..., y n, и где n - мощность S (количество элементов в S).

Содержание

1 Доказательство
2 Интегральное неравенство Минковского
3 Обратное неравенство
4 Обобщения на другие функции
5 См. Также
6 Ссылки

Доказательство

Сначала мы докажем, что f + g имеет конечную p-норму, если f и g имеют конечную p-норму, что следует из

| f + g | p ≤ 2 p - 1 (| f | p + | g | p). {\ displaystyle | f + g | ^ {p} \ leq 2 ^ {p-1} (| f | ^ {p} + | g | ^ {p}).}

| f + g | ^ p \ le 2 ^ {p-1} (| f | ^ p + | g | ^ p).

Действительно, здесь мы используем факт что $h (x) = xp {\ displaystyle h (x) = x ^ {p}}$ $h (x) = x ^ p$ является выпуклым над R (для p>1), а значит, по определению выпуклости

| 1 2 ж + 1 2 г | p ≤ | 1 2 | f | + 1 2 | г | | p ≤ 1 2 | f | п + 1 2 | г | п. {\ displaystyle \ left | {\ tfrac {1} {2}} f + {\ tfrac {1} {2}} g \ right | ^ {p} \ leq \ left | {\ tfrac {1} {2}} | f | + {\ tfrac {1} {2}} | g | \ right | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | g | ^ {p}.}

\ left | { \ tfrac {1} {2}} f + {\ tfrac {1} {2}} g \ right | ^ {p} \ leq \ left | {\ tfrac {1} {2}} | f | + {\ tfrac {1} {2}} | g | \ right | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | g | ^ {p}.

Это означает, что

| f + g | p ≤ 1 2 | 2 ж | п + 1 2 | 2 г | p = 2 p - 1 | f | p + 2 p - 1 | г | п. {\ Displaystyle | е + г | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | 2f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | 2g | ^ {p} = 2 ^ {p-1} | f | ^ {p} + 2 ^ {p-1} | g | ^ {p}.}

| f + g | ^ {p} \ leq {\ tfrac {1} {2}} | 2f | ^ {p} + {\ tfrac {1} {2}} | 2g | ^ {p} = 2 ^ { {p-1}} | f | ^ {p} +2 ^ {{p-1}} | g | ^ {p}.

Теперь мы можем законно говорить о $‖ f + g ‖ p {\ Displaystyle \ | е + г \ | _ {p}}$ ${\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p}}$ . Если он равен нулю, то неравенство Минковского выполнено. Теперь предположим, что $‖ f + g ‖ p {\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p}}$ ${\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p}}$ не равно нулю. Используя неравенство треугольника и затем неравенство Гёльдера, находим, что

‖ f + g ‖ p p = ∫ | f + g | p d μ = ∫ | f + g | ⋅ | f + g | p - 1 d μ ≤ ∫ (| f | + | g |) | f + g | p - 1 d μ = ∫ | f | | f + g | p - 1 d μ + ∫ | г | | f + g | p - 1 d μ ≤ ((∫ | f | pd μ) 1 p + (∫ | g | pd μ) 1 p) (∫ | f + g | (p - 1) (pp - 1) d μ) 1 - 1 п неравенство Гёльдера = (‖ е ‖ p + ‖ g ‖ p) ‖ е + g ‖ pp ‖ f + g ‖ p {\ displaystyle {\ begin {align} \ | f + g \ | _ {p} ^ {p} = \ int | f + g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \\ = \ int | f + g | \ cdot | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ \ leq \ int (| f | + | g |) | f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \\ = \ int | f || f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu + \ int | g || f + g | ^ {p-1} \, \ mathrm {d} \ mu \ \ \ leq \ left (\ left (\ int | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} + \ left (\ int | g | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ right) \ left (\ int | f + g | ^ {(p-1) \ left ({\ frac {p} {p-1}} \ right)} \, \ mathrm {d} \ mu \ right) ^ {1 - {\ frac {1} {p}}} {\ text {Hölder's неравенство}} \\ = \ left (\ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p} \ right) {\ frac {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p }} {\ | f + g \ | _ {p}}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,{\mathrm {d}}\mu \\=\int |f+g|\cdot |f+g|^{{p-1}}\,{\mathrm {d}}\mu \\\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{{p-1}}\,{\mathrm {d}}\mu \\=\int |f||f+g|^{{p-1}}\,{\mathrm {d}}\mu +\int |g||f+g|^{{p-1}}\,{\mathrm {d}}\mu \\\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,{\mathrm {d}}\mu \right)^{{{\frac {1}{p}}}}+\left(\int |g|^{p}\,{\mathrm {d}}\mu \right)^{{{\frac {1}{p}}}}\right)\left(\int |f+g|^{{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}}\,{\mathrm {d}}\mu \right)^{{1-{\frac {1}{p}}}}{\text{ Hölder's inequality}}\\=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}

Мы получаем неравенство Минковского, умножая обе части на

‖ f + g ‖ p ‖ f + g ‖ pp. {\ displaystyle {\ frac {\ | f + g \ | _ {p}} {\ | f + g \ | _ {p} ^ {p}}}.}

\ frac {\ | f + g \ | _p} {\ | f + g \ | _p ^ p}.

Интегральное неравенство Минковского

Предположим, что (S 1, μ 1) и (S 2, μ 2) - два пространства с σ-конечной мерой и F: S 1 × S 2→ Rизмерим. Тогда интегральное неравенство Минковского имеет вид (Stein 1970, §A.1), (Hardy, Littlewood Pólya 1988, Theorem 202) harv error: no target: CITEREFHardyLittlewoodPólya1988 (help ):

[∫ S 2 | ∫ S 1 F (x, y) μ 1 (d x) | п μ 2 (dy)] 1 п ≤ ∫ S 1 (∫ S 2 | F (x, y) | p μ 2 (dy)) 1 п μ 1 (dx), {\ displaystyle \ left [\ int _ { S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ { 2} (\ mathrm {d} y) \ right] ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F ( x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d } x),}

{\ displaystyle \ left [\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d } x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right] ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} { p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x),}

с очевидными изменениями в случае p = ∞. Если p>1 и обе стороны конечны, то равенство выполняется, только если | F (x, y) | = φ (x) ψ (y) п.в. для некоторых неотрицательных измеримых функций φ и ψ.

Если μ 1 является счетной мерой на двухточечном множестве S 1 = {1,2}, то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: если положить f i (y) = F (i, y) для i = 1, 2, интегральное неравенство дает

‖ f 1 + f 2 ‖ p = (∫ S 2 | ∫ S 1 F (x, y) μ 1 (dx) | p μ 2 (dy)) 1 p ≤ S 1 (∫ S 2 | F (x, y) | p μ 2 (dy)) 1 p μ 1 (dx) знак равно ‖ f 1 ‖ p + ‖ f 2 ‖ p. {\ displaystyle \ | f_ {1} + f_ {2} \ | _ {p} = \ left (\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p }} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ {S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d } y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) = \ | f_ {1} \ | _ {p} + \ | f_ {2 } \ | _ {p}.}

{\ displaystyle \ | f_ {1} + f_ {2} \ | _ {p} = \ left (\ int _ {S_ {2}} \ left | \ int _ {S_ {1}} F (x, y) \, \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) \ right | ^ {p} \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ leq \ int _ {S_ {1}} \ left (\ int _ { S_ {2}} | F (x, y) | ^ {p} \, \ mu _ {2} (\ mathrm {d} y) \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \ mu _ {1} (\ mathrm {d} x) = \ | f_ {1} \ | _ {p} + \ | f_ {2} \ | _ {p}.}

Это обозначение было обобщено на

‖ f ‖ p, q = (∫ R m [∫ R n | f (x, y) | qdy] pqdx) 1 p {\ displaystyle \ | е \ | _ {p, q} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} \ left [\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | f (x, y) | ^ {q} \ mathrm {d} y \ right] ^ {\ frac {p} {q}} \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p} }}

{\ displaystyle \ | е \ | _ {p, q} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {m}} \ left [\ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} | f (x, y) | ^ {q} \ mathrm {d} y \ right] ^ {\ frac {p} {q}} \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1 } {p}}}

для $f: R m + n → E {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m + n} \ to E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m + n} \ to E}$ , с $L p, q (R m + n, E) = {f ∈ ER m + n: ‖ f ‖ p, q < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {p, q} (\ mathbb {R} ^ {m + n}, E) = \ {f \ in E ^ {\ mathbb {R} ^ {m + n}}: \ | f \ | _ {p, q} <\ infty \}}$ . Используя эту нотацию, манипуляции с показателями степени показывают, что если $p>q {\ displaystyle p>q}$ $p>q$ , затем $‖ f ‖ p, q ≤ ‖ f ‖ q, p {\ displaystyle \ | f \ | _ {p, q} \ leq \ | f \ | _ {q, p}}$ ${\ displaystyle \ | f \ | _ {p, q} \ leq \ | е \ | _ {q, p}}$ .

Обратное неравенство

Когда $p < 1 {\displaystyle p<1}$ ${\ displaystyle p <1}$ выполняется обратное неравенство:

‖ f + g ‖ p ≥ ‖ Е ‖ п + ‖ g ‖ p {\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ geq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ {p}}

{\ displaystyle \ | f + g \ | _ {p} \ geq \ | f \ | _ {p} + \ | g \ | _ { p}}

Далее нужно ограничение, что и $f {\ displaystyle f}$ $f$ , и $g {\ displaystyle g}$ $g$ неотрицательны, как мы можем видеть из примера $е = - 1, g = 1 {\ displaystyle f = -1, g = 1}$ ${\ displaystyle f = -1, g = 1}$ и $p = 1 {\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ : $‖ f + g ‖ 1 = 0 < 2 = ‖ f ‖ 1 + ‖ g ‖ 1 {\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}}$ ${\ displaystyle \ | f + g \ | _ {1} = 0 <2 = \ | f \ | _ {1} + \ | g \ | _ {1}}$ .

Обратное неравенство следует из того же аргумента, что и стандартное неравенство Минковского, но использует то, что неравенство Холдера также обращено в этом диапазоне. См. Также главу о неравенстве Минковского в.

Использование реверса Се Минковски, мы можем доказать, что силовые средства с $p ≤ 1 {\ displaystyle p \ leq 1}$ ${\ displaystyle p \ leq 1}$ , такие как среднее гармоническое и среднее геометрическое вогнутые.

Обобщения на другие функции

Неравенство Минковского может быть обобщено на другие функции $ϕ (x) {\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ сверх власти функция $xp {\ displaystyle x ^ {p}}$ ${\ displaystyle x ^ {p}}$ . Обобщенное неравенство имеет вид

ϕ - 1 (∑ i = 1 n ϕ (xi + yi)) ≤ ϕ - 1 (∑ i = 1 n ϕ (xi)) + ϕ - 1 (∑ i = 1 n ϕ (yi)) {\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i} + y_ {i})) \ leq \ phi ^ {- 1 } (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i})) + \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (y_ {i }))}

{\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i} + y_ {i})) \ leq \ phi ^ {- 1} (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi (x_ {i})) + \ phi ^ {- 1 } (\ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ phi (y_ {i}))}

Различные достаточные условия для $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ были найдены Малхолландом и другими.

См. Также

Ссылки

Харди, Г. Х. ; Литтлвуд, Дж. Э. ; Pólya, G. (1952). Неравенство. Кембриджская математическая библиотека (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9.
Минковский, Х. (1953). "Geometrie der Zahlen". Челси. Цитировать журнал требуется | journal =() CS1 maint: ref = harv (link ).
Stein, Elias (1970). «Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций». Princeton University Press. Для цитирования журнала требуется | journal =() CS1 maint: ref = harv (link ).
М.И. Войцеховский (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенства». Отсутствует или пусто | url =()

^Буллен, Питер С. Справочник по средствам и их неравенству. Том 560. Springer Science Business Media, 2013.
^Mulholland, HP (1949). Обобщения неравенства Минковского в форме треугольного неравенства ». Труды Лондонского математического общества. S2-51 (1): 294–307. doi : 10.1112 / plms / s2-51.4. 294.