Изменение параметров

В математике, изменение параметров, также известный как изменение констант, представляет собой общий метод решения неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

для первого порядка Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений обычно можно найти решения с помощью интегрирующих коэффициентов или неопределенных коэффициентов с гораздо меньшими усилиями, хотя эти методы используют эвристику, которая предполагает угадывание и выполнение не работает для всех неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

Изменение параметров распространяется также на линейные уравнения в частных производных, в частности, на неоднородные задачи для линейных эволюционных уравнений, таких как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и вибрирующая пластина уравнение. В этом случае метод чаще известен как принцип Дюамеля, названный в честь Жана-Мари Дюамеля (1797–1872), который первым применил этот метод для решения неоднородного уравнения теплопроводности. Иногда саму вариацию параметров называют принципом Дюамеля и наоборот.

• 1 История
• 2 Интуитивное объяснение
• 3 Описание метода
• 4 Примеры
  • 4.1 Уравнение первого порядка
  • 4.2 Конкретное уравнение второго порядка
  • 4.3 Общее второе Уравнение порядка
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Метод изменения параметров был впервые описан швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783), а затем завершен итало-французским математиком Жозефом-Луи Лагранжем (1736–1813).

Предшественник метода изменения элементов орбиты небесного тела появился в работе Эйлера в 1748 году, когда он изучал взаимные возмущения Юпитера и Сатурна. В своем исследовании движения Земли в 1749 году Эйлер получил дифференциальные уравнения для орбитальных элементов. В 1753 году он применил этот метод к изучению движения Луны.

Лагранж впервые применил метод в 1766 году. Между 1778 и 1783 годами он развил метод в двух сериях мемуаров: одна о вариациях. в движениях планет и еще об определении орбиты кометы по трем наблюдениям. В течение 1808–1810 годов Лагранж дал методу изменения параметров его окончательную форму в третьей серии статей.

Рассмотрим уравнение вынужденной бездисперсионной пружины в подходящих единицах:

$х\; ″\; (t)\; +\; x\; (t)\; =\; F\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\text{'}\; (t)\; +\; x\; (t)\; =\; F\; (t).\}$

Здесь x - это смещение пружины из положения равновесия x = 0, а F (t) - внешняя приложенная сила, которая зависит от времени. Когда внешняя сила равна нулю, это однородное уравнение (решения которого представляют собой линейные комбинации синусов и косинусов, соответствующие колебаниям пружины с постоянной полной энергией).

Мы можем построить решение физически следующим образом. Между моментами времени $t\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; s\}$и $t\; =\; s\; +\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; s\; +\; ds\}$, импульс, соответствующий решение имеет чистое изменение $F\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; \backslash ,\; ds\}$(см.: Импульс (физика) ). Решение неоднородного уравнения, в настоящее время t>0, получается путем линейного наложения решений, полученных таким образом, для s, находящегося между 0 и t.

Однородная задача с начальным значением, представляющая небольшой импульс $F\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; \backslash ,\; ds\}$, добавляемый к решению в момент $t\; =\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; s\}$, равно

$x\; ″\; (t)\; +\; x\; (t)\; =\; 0,\; x\; (s)\; =\; 0,\; x\; \prime \; (s)\; =\; F\; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\text{'}\; (t)\; +\; x\; (t)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; x\; (s)\; =\; 0,\; \backslash \; x\; \text{'}(s)\; =\; F\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

Единственное решение этой проблемы Легко видеть, что проблема такова: $x\; (t)\; =\; F\; (s)\; sin\; \; (t\; -\; s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; F\; (s)\; \backslash \; sin\; (ts)\; \backslash ,\; ds\}$. Линейная суперпозиция всех этих решений дается интегралом:

$x\; (t)\; =\; \int \; 0\; t\; F\; (s)\; sin\; \; (t\; -\; s)\; d\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; F\; (s)\; \backslash \; sin\; (ts)\; \backslash ,\; ds.\}$

Чтобы убедиться, что это удовлетворяет требуемому уравнению:

$x\; \prime \; (\; t)\; знак\; равно\; \int \; 0\; t\; F\; (s)\; соз\; \; (t\; -\; s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}(t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; F\; (s)\; \backslash \; cos\; (ts)\; \backslash ,\; ds\}$

$Икс\; ″\; (T)\; =\; F\; (T)\; -\; \int \; 0\; t\; F\; (s)\; грех\; \; (T\; -\; s)\; ds\; =\; F\; (t)\; -\; x\; (t),\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\; \text{'}\text{'}\; (t)\; =\; F\; (t)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; F\; (s)\; \backslash \; sin\; (ts)\; \backslash ,\; ds\; =\; F\; (t)\; -x\; (t),\}$

по мере необходимости (см.: Интегральное правило Лейбница ).

Общий метод изменения параметров позволяет решить неоднородное линейное уравнение

$L\; x\; (t)\; =\; F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; Lx\; (t)\; =\; F\; (t)\}$

по означает рассмотрение линейного дифференциального оператора второго порядка L как результирующую силу, таким образом, полный импульс, сообщаемый решению между временем s и s + ds, равен F (s) ds. Обозначим через $xs\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\}$решение однородной задачи начального значения

$L\; x\; (t)\; =\; 0,\; x\; (s)\; =\; 0,\; x\; \prime \; (s)\; =\; F\; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; Lx\; (t)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; x\; (s)\; =\; 0,\; x\; \text{'}(s)\; =\; F\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

Тогда частным решением неоднородного уравнения является

$x\; (t)\; =\; \int \; 0\; txs\; (t)\; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; x\_\; \{s\}\; (t)\; \backslash ,\; ds,\}$

результат линейного наложения бесконечно малые однородные решения. Есть обобщения на линейные дифференциальные операторы более высокого порядка.

На практике изменение параметров обычно включает фундаментальное решение однородной задачи, бесконечно малые решения $xs\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\}$затем задаются в терминах явных линейные комбинации линейно независимых фундаментальных решений. В случае принудительной бездисперсионной пружины ядро ​​$sin\; \; (t\; -\; s)\; =\; sin\; \; t\; cos\; \; s\; -\; sin\; \; s\; cos\; \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (ts)\; =\; \backslash \; sin\; t\; \backslash \; cos\; s\; -\; \backslash \; sin\; s\; \backslash \; cos\; t\}$- ассоциированное разложение на фундаментальные решения.

Для обычного неоднородного линейного дифференциального уравнения порядка n

$y\; (n)\; (x)\; +\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; ai\; (x)\; y\; (я)\; (х)\; =\; Ь\; (х).\; (я)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; ^\; \{(п)\}\; (х)\; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{п-1\}\; а\_\; \{я\}\; (х)\; у\; ^\; \{(я)\}\; (х)\; =\; б\; (x).\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(i)\}\}\}$

Пусть $y\; 1\; (x),\dots ,\; yn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; (x),\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\}\; (x)\}$быть фундаментальной системой решений соответствующего однородного уравнения

$y\; (n)\; (x)\; +\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; ai\; (x)\; y\; (i)\; (x)\; =\; 0.\; (ii)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{i\}\; (\; x)\; y\; ^\; \{(i)\}\; (x)\; =\; 0.\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(ii)\}\}\}$

Тогда дается частное решение неоднородного уравнения по

$yp\; (x)\; =\; \sum \; я\; =\; 1\; nci\; (x)\; yi\; (x)\; (iii)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{p\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\; \}\; (x)\; y\_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(iii)\}\}\}$

где $ci\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\; (x)\}$- дифференцируемые функции, которые, как предполагается, удовлетворяют условиям

$\sum \; i\; =\; 1\; nci\; \prime \; (x)\; yi\; (j)\; (x)\; =\; 0,\; j\; =\; 0,\dots ,\; n\; -\; 2.\; (iv)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{(j)\}\; (x)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; j\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; n-2.\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(iv)\}\}\}$

Начиная с ( iii) повторное дифференцирование в сочетании с повторным использованием (iv) дает

$yp\; (j)\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nci\; (x)\; yi\; (j)\; (x),\; j\; =\; 0,\dots ,\; n\; -\; 1.\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{p\}\; ^\; \{(j)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; (x)\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{(j)\}\; (\; x),\; \backslash \; quad\; j\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; n-1\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{.\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(v)\}\}\}$

Последнее дифференцирование дает

$yp\; (n)\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; i\; =\; 1\; nci\; \prime \; (x)\; yi\; (n\; -\; 1)\; (x)\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; nci\; (x)\; yi\; (n)\; (x).\; (vi)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{p\}\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{(n-1)\}\; (x)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; (x)\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{.\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\; \backslash \; rm\; \{(vi)\}\}\}$

Подставляя (iii) в (i) и применяя (v) и (vi), получаем, что

$\sum \; i\; =\; 1\; nci\; \prime \; (x)\; yi\; (n\; -\; 1)\; (х)\; =\; Ь\; (х).\; (vii)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; c\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; y\_\; \{i\}\; ^\; \{(n-1)\}\; (x)\; =\; b\; (x).\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; rm\; \{(vii)\}\}\}$

Линейная система (iv и vii) из n уравнений затем может быть решена с использованием правила Крамера, что дает

$ci\; \prime \; (x)\; =\; W\; i\; (х)\; W\; (x),\; я\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\}\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{i\}\; (x)\}\; \{W\; (x)\}\},\; \backslash ,\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$

где $W\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (x)\}$- определитель Вронски фундаментальной системы и $W\; i\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{i\}\; (x)\}$- определитель Вронского фундаментальной системы с заменой i-го столбца на $(0,\; 0,\dots ,\; Ь\; (х)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,0,\; \backslash \; ldots,\; b\; (x)).\}$

Тогда частное решение неоднородного уравнения может быть записано как

$\sum \; i\; =\; 1\; nyi\; (x)\; \int \; W\; i\; (\; x)\; W\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; y\_\; \{i\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{W\_\; \{i\}\; (x)\}\; \{W\; (x)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{\; d\}\; x.\}$

Уравнение первого порядка

$y\; \prime \; +\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}+\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\}$

Общее решение соответствующего однородного уравнения (записанное ниже) является дополнительным решением нашего исходного (неоднородного) уравнения:

$y\; \prime \; +\; p\; (x)\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}+\; p\; (\; x)\; y\; =\; 0\}$.

Это однородное дифференциальное уравнение можно решить разными методами, например, разделением переменных :

$ddxy\; +\; p\; (x)\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dx\}\}\; y\; +\; p\; (x)\; y\; =\; 0\}$

$dydx\; =\; -\; p\; (x)\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; -\; p\; (x)\; y\}$

$dyy\; =\; -\; p\; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; y\}\; =\; -\; \{p\; (x)\; dx\},\}$

$\int \; 1\; ydy\; =\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{y\}\}\; \backslash ,\; dy\; =\; -\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

$ln\; \; |\; y\; |\; Знак\; равно\; -\; \int \; п\; (Икс)\; dx\; +\; C\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; |\; y\; |\; =\; -\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\; +\; C\}$

$y\; =\; \pm \; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; +\; C\; =\; C\; 0\; е\; -\; \int \; п\; (Икс)\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\; +\; C\}\; =\; C\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \}\}$

Таким образом, дополнительное решение к нашему исходному уравнению:

$yc\; =\; C\; 0\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{c\}\; =\; C\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\}\}$

Теперь вернемся к решению неоднородного уравнения:

$y\; \prime \; +\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}+\; p\; (x)\; y\; =\; q\; (x)\}$

Используя метод вариации параметров, частное решение формируется путем умножения дополнительного решения на неизвестную функцию C (x):

$yp\; =\; C\; (x)\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{p\}\; =\; C\; (x)\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\}$

Подставляя частное решение в неоднородное уравнение, мы можем найти C (x):

$C\; \prime \; (x)\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; -\; C\; (x)\; p\; (x)\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; +\; p\; (x)\; C\; (x)\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; знак\; равно\; Q\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; \text{'}(х)\; е\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; -C\; (x)\; p\; (x)\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; +\; p\; (x)\; C\; (x)\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; =\; q\; (\; х)\}$

$C\; \prime \; (x)\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; =\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \text{'}(x)\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; =\; q\; (x)\}$

$C\; \prime \; (x)\; =\; q\; (x)\; e\; \int \; p\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \text{'}(x)\; =\; q\; (x)\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\}$

$С\; (Икс)\; знак\; равно\; \int \; Q\; (Икс)\; е\; \int \; п\; (Икс)\; dxdx\; +\; С\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; (х)\; =\; \backslash \; int\; q\; (x)\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash ,\; dx\; +\; C\_\; \{1\}\}$

Нам нужно только одно конкретное решение, поэтому для простоты мы произвольно выбираем $C\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; =\; 0\}$. Следовательно, конкретное решение таково:

$yp\; =\; e\; -\; \int \; p\; (x)\; dx\; \int \; q\; (x)\; e\; p\; (x)\; dxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{p\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash \; int\; q\; (x)\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash ,\; dx\}$

Окончательное решение дифференциального уравнения:

$y\; =\; yc\; +\; yp\; =\; C\; 0\; e\; -\; \int \; п\; (Икс)\; dx\; +\; е\; -\; \int \; п\; (Икс)\; dx\; \int \; Q\; (Икс)\; е\; \int \; п\; (Икс)\; dxdx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; =\; y\_\; \{c\}\; +\; y\_\; \{p\}\; \backslash \backslash \; =\; C\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; +\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash \; int\; q\; (x)\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; p\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это воссоздает метод интегрирования множителей.

Специальное уравнение второго порядка

Давайте решим

$y\; ″\; +\; 4\; y\; \prime \; +\; 4\; y\; =\; cosh\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; 4y\; \text{'}+\; 4y\; =\; \backslash \; cosh\; x\}$

Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения, то есть мы хотим найти решения однородное дифференциальное уравнение

$y\; ″\; +\; 4\; y\; \prime \; +\; 4\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; 4y\; \text{'}+\; 4y\; =\; 0.\}$

Характеристическое уравнение :

$\lambda \; 2\; +\; 4\; \lambda \; +\; 4\; =\; (\lambda \; +\; 2)\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; +4\; \backslash \; lambda\; +4\; =\; (\backslash \; lambda\; +2)\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

Поскольку $\lambda \; =\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; -2\}$- повторяющийся корень, мы должны ввести множитель x для одного решения, чтобы обеспечить линейную независимость: u 1 = e и u 2 = xe. Вронскиан этих двух функций равен

$W\; =\; |\; e\; -\; 2\; x\; x\; e\; -\; 2\; x\; -\; 2\; e\; -\; 2\; x\; -\; e\; -\; 2\; x\; (2\; x\; -\; 1)\; |\; =\; -\; е\; -\; 2\; х\; е\; -\; 2\; х\; (2\; х\; -\; 1)\; +\; 2\; х\; е\; -\; 2\; х\; е\; -\; 2\; х\; =\; е\; -\; 4\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; xe\; ^\; \{-\; 2x\}\; \backslash \backslash \; -\; 2e\; ^\; \{-\; 2x\}\; -\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; (2x-1)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{\; vmatrix\}\}\; =\; -\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; (2x-1)\; +\; 2xe\; ^\; \{-\; 2x\}\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; =\; e\; ^\; \{-\; 4x\}.\}$

Поскольку вронскианец не равно нулю, две функции линейно независимы, так что это фактически общее решение однородного дифференциального уравнения (а не простое его подмножество).

Мы ищем функции A (x) и B (x), поэтому A (x) u 1 + B (x) u 2 является частным решением неоднородное уравнение. Нам нужно только вычислить интегралы

$A\; (x)\; =\; -\; \int \; 1\; W\; u\; 2\; (x)\; b\; (x)\; dx,\; B\; (x)\; =\; \int \; 1\; W\; u\; 1\; (x)\; b\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\; =\; -\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; over\; W\}\; u\_\; \{2\}\; (x)\; b\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x,\; \backslash ;\; B\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; over\; W\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; b\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$

Напомним, что для этого примера

$b\; (x)\; =\; cosh\; \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\; =\; \backslash \; cosh\; x\}$

То есть

$A\; (x)\; =\; -\; \int \; 1\; e\; -\; 4\; xxe\; -\; 2\; x\; ch\; \; xdx\; =\; -\; \int \; xe\; 2\; x\; ch\; \; xdx\; =\; -\; 1\; 18\; ex\; (9\; (x\; -\; 1)\; +\; e\; 2\; Икс\; (3\; Икс\; -\; 1))\; +\; С\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; А\; (х)\; =\; -\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; над\; e\; ^\; \{-\; 4x\}\}\; xe\; ^\; \{-\; 2x\}\; \backslash \; cosh\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; -\; \backslash \; int\; xe\; ^\; \{2x\}\; \backslash \; cosh\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; -\; \{1\; \backslash \; более\; 18\}\; e\; ^\; \{x\}\; (9\; (x-1)\; +\; e\; ^\; \{2x\}\; (3x-\; 1))\; +\; C\_\; \{1\}\}$

$B\; (x)\; =\; \int \; 1\; e\; -\; 4\; xe\; -\; 2\; x\; ch\; \; xdx\; =\; \int \; e\; 2\; x\; cosh\; \; xdx\; =\; 1\; 6\; ex\; (3\; +\; e\; 2\; x)\; +\; C\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; over\; e\; ^\; \{-\; 4x\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2x\}\; \backslash \; cosh\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{2x\}\; \backslash \; cosh\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 6\}\; e\; ^\; \{x\}\; (3\; +\; e\; ^\; \{2x\})\; +\; C\_\; \{2\}\}$

где $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\; \}\}$и $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\}$- константы интегрирования.

Общее уравнение второго порядка

У нас есть дифференциальное уравнение вида

$u\; ″\; +\; p\; (x)\; u\; \prime \; +\; q\; (x)\; u\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\text{'}\; +\; p\; (x)\; u\; \text{'}+\; q\; (x)\; u\; =\; f\; (x)\}$

, и мы определяем линейный оператор

$L\; =\; D\; 2\; +\; p\; (x)\; D\; +\; q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; D\; ^\; \{2\}\; +\; p\; (x)\; D\; +\; q\; (x)\}$

где D представляет собой дифференциальный оператор. Следовательно, нам нужно решить уравнение $L\; u\; (x)\; =\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Lu\; (x)\; =\; f\; (x)\}$для $u\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x)\}$, где $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$известны.

Сначала мы должны решить соответствующее однородное уравнение:

$u\; ″\; +\; p\; (x)\; u\; \prime \; +\; q\; (x)\; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\text{'}\; +\; p\; (x)\; u\; \text{'}+\; q\; (x)\; u\; =\; 0\}$

по выбранной нами технике. После того, как мы получили два линейно независимых решения этого однородного дифференциального уравнения (поскольку это ОДУ второго порядка) - назовем их u 1 и u 2 - мы можем приступить к вариации параметры.

Теперь мы ищем общее решение дифференциального уравнения $u\; G\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{G\}\; (x)\}$, которое, как мы предполагаем, имеет вид

$u\; G\; (x)\; =\; A\; (x)\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\; 2\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{G\}\; (x)\; =\; A\; (x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x).\}$

Здесь $A\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\}$и $B\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x)\}$неизвестны, а $u\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{\; 1\}\; (x)\}$и $u\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{2\}\; (x)\}$являются решениями однородного уравнения. (Обратите внимание, что если $A\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\}$и $B\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x)\}$являются константами, тогда $L\; u\; G\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lu\_\; \{G\}\; (x)\; =\; 0\}$.) Поскольку приведенное выше является только одним уравнением и у нас есть две неизвестные функции, это разумно наложить второе условие. Мы выбираем следующее:

$A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; (x)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\text{'}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; =\; 0.\}$

Теперь

$u\; G\; \prime \; (x)\; =\; (A\; (x)\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\; 2\; (x))\; \prime \; =\; (A\; (x)\; u\; 1\; (x))\; \prime \; +\; (B\; (x)\; u\; 2\; (x))\; \prime \; =\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; (x)\; +\; A\; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x)\; =\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; (x)\; +\; A\; (x)\; u\; 1).\; \text{'}(Икс)\; +\; В\; (Икс)\; U\; 2\text{'}\; (Икс)\; =\; А\; (Икс)\; U\; 1\; \text{'}(Икс)\; +\; В\; (Икс)\; U\; 2\text{'}\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; и\_\; \{G\}\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; left\; (A\; (x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; right)\text{'}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (A\; (x)\; u\_\; \{1\; \}\; (x)\; \backslash \; right)\; \text{'}+\; \backslash \; left\; (B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; right)\text{'}\; \backslash \backslash \; =\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; A\; (x)\; u\_\; \{\; 1\}\; \text{'}(x)\; +\; B\text{'}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; \backslash \backslash \; =\; A\text{'}\; (x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; +\; A\; (x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; \backslash \backslash \; =\; A\; (x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Повторное дифференцирование (без промежуточных шагов)

$u\; G\; ″\; (x)\; =\; A\; (x)\; u\; 1\; ″\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\; 2\; ″\; (x)\; +\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{G\}\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; A\; (x)\; u\_\; \{1\}\; \text{'}\text{'}\; (x)\; +\; B\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}\text{'}\; (x)\; +\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\; \text{'}(x)\; +\; B\text{'}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x).\}$

Теперь мы можем записать действие L на u G как

$L\; u\; G\; =\; A\; (\; x)\; L\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; (x)\; L\; u\; 2\; (x)\; +\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; Lu\_\; \{G\}\; =\; A\; (x)\; Lu\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\; (x)\; Lu\_\; \{2\}\; (x)\; +\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x).\}$

Поскольку u 1 и u 2 являются решениями, то

$L\; u\; G\; =\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; \prime \; (X)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; Lu\_\; \{G\}\; =\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\text{'}\; (x).\}$

У нас есть система уравнений

$(\; u\; 1\; (x)\; u\; 2\; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x))\; (A\; \prime \; (x)\; B\; \prime \; (x))\; =\; (0\; f).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \backslash \; u\_\; \{1\}\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\; \text{'}(x)\; \backslash \backslash \; B\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Расширяющийся,

$(A\; \prime \; (X)\; u\; 1\; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; (x)\; A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x))\; =\; (0\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; +\; B\text{'}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \backslash \; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Таким образом, указанная выше система точно определяет условия

$А\; \text{'}(Икс)\; и\; 1\; (Икс)\; +\; В\text{'}\; (Икс)\; и\; 2\; (Икс)\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; А\; \text{'}(х)\; u\_\; \{1\}\; (х)\; +\; В\text{'}\; (х)\; и\_\; \{2\; \}\; (x)\; =\; 0.\}$

$A\; \prime \; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; +\; B\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x)\; =\; L\; u\; G\; =\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}(x)\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; +\; B\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\text{'}\; (x)\; =\; Lu\_\; \{G\}\; =\; f.\}$

Мы ищем A (x) и B (x) из этих условий, поэтому, учитывая

$(u\; 1\; (x)\; u\; 2\; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (x))\; (A\; \prime \; (x)\; B\; \prime \; (x))\; =\; (0\; е)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \backslash \; u\_\; \{1\}\; \text{'}(x)\; u\_\; \{2\}\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\; \text{'}(x)\; \backslash \backslash \; B\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

мы можем найти (A ′ (x), B ′ (x)), поэтому

$(A\; \prime \; (x)\; B\; \prime \; (x))\; =\; (u\; 1\; (x)\; u\; 2\; (x)\; u\; 1\; \prime \; (x)\; u\; 2\; \prime \; (Х))\; -\; 1\; (0\; е)\; знак\; равно\; 1\; Вт\; (u\; 2\; \prime \; (x)\; -\; u\; 2\; (x)\; -\; u\; 1\; \prime \; (x)\; u\; 1\; (x))\; (0\; f),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\; \text{'}(x)\; \backslash \backslash \; B\text{'}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \backslash \; u\_\; \{1\}\; \text{'}\; (x)\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{W\}\}\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; -\; u\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \backslash \; -\; u\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\; u\_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{\; pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; f\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

где W обозначает вронскиан для u 1 и u 2. (Мы знаем, что W отлично от нуля, из предположения, что u 1 и u 2 линейно независимы.) Итак,

$A\; \prime \; (x)\; =\; -\; 1\; W\; u\; 2\; (x)\; f\; (x),\; B\; \prime \; (x)\; =\; 1\; W\; u\; 1\; (x)\; f\; (x)\; A\; (x)\; =\; -\; \int \; 1\; W\; u\; 2\; (x)\; f\; (x)\; dx,\; B\; (x)\; =\; \int \; 1\; Вт\; U\; 1\; (Икс)\; е\; (Икс)\; дх\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; А\; \text{'}(х)\; =\; -\; \{1\; \backslash \; над\; W\}\; и\_\; \{2\}\; (х)\; е\; (х),\; \backslash ;\; B\; \text{'}(x)\; =\; \{1\; \backslash \; над\; W\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; f\; (x)\; \backslash \backslash \; A\; (x)\; =\; -\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; over\; W\}\; u\_\; \{2\}\; (x)\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x,\; \backslash ;\; B\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \{1\; \backslash \; over\; W\}\; u\_\; \{1\}\; (x)\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

Хотя однородные уравнения относительно легко решить, этот метод позволяет вычислить коэффициенты общего решения неоднородного уравнения, и, таким образом, можно определить полное общее решение неоднородного уравнения.

Обратите внимание, что $A\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\}$и $B\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x)\}$определяются только с точностью до произвольной аддитивной константы (константа интегрирования ). Добавление константы в $A\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\}$или $B\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x)\}$не меняет значение $L\; u\; G\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Lu\_\; \{G\}\; (x)\}$, потому что дополнительный член представляет собой просто линейную комбинацию u 1 и u 2, который по определению является решением $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$.

• Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. МакГроу-Хилл.
• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард С. (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Вайли. С. 186–192, 237–241.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Американское математическое общество.

• Онлайн-заметки / доказательства Пола Докинза, Университет Ламара.
• Страница PlanetMath.
• ЗАМЕЧАНИЕ ПО МЕТОДУ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛАГРАНЖА