Функция Мертенса

Функция Мертенса до n = 10,000 Функция Мертенса до n = 10 000 000

В теории чисел, то функция Мертенс определена для всех положительных целых чисел п, как

${\ Displaystyle М (п) = \ сумма _ {к = 1} ^ {п} \ му (к)}$

где μ (k) - функция Мёбиуса. Функция названа в честь Франца Мертенса. Это определение может быть расширено до положительных действительных чисел следующим образом:

${\ Displaystyle M (x) = M (\ lfloor x \ rfloor).}$

Менее формально это подсчет целых чисел без квадратов до x, которые имеют четное количество простых множителей, за вычетом количества тех, которые имеют нечетное число. ${\ Displaystyle М (х)}$

Первые 143 M ( n): (последовательность A002321 в OEIS )

М ( п)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2
12+	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2
24+	−2	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1
36+	−1	−2	−1	0	0	−1	−2	−3	−3	−3	−2	−3
48+	−3	−3	−3	−2	−2	−3	−3	−2	−2	−1	0	−1
60+	−1	−2	−1	−1	−1	0	−1	−2	−2	−1	−2	−3
72+	−3	−4	−3	−3	−3	−2	−3	−4	−4	−4	−3	−4
84+	−4	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−1	−1	0	1	2
96+	2	1	1	1	1	0	−1	−2	−2	−3	−2	−3
108+	−3	−4	−5	−4	−4	−5	−6	−5	−5	−5	−4	−3
120+	−3	−3	−2	−1	−1	−1	−1	−2	−2	−1	−2	−3
132+	−3	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1

Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, осциллируя явно хаотическим образом, переходя через ноль, когда n имеет значения

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428,... (последовательность A028442 в OEIS ).

Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно и не существует x такого, что | M ( x) | gt;  х. Гипотеза Мертенса пошла дальше, заявив, что не будет x, где абсолютное значение функции Мертенса превышает квадратный корень из x. Гипотеза Мертенса была доказана в 1985 году Эндрю Одлыжко и Германом те Риле. Однако гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M ( x), а именно M ( x) = O ( x ^{1/2 + ε}). Поскольку высокие значения M ( x) растут по крайней мере так же быстро, как, это накладывает довольно жесткие ограничения на скорость его роста. Здесь O относится к Big O нотации. ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$

Истинная скорость роста M ( x) неизвестна. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека гласит, что

${\ displaystyle 0 lt;\ limsup _ {x \ to \ infty} {\ frac {| M (x) |} {{\ sqrt {x}} (\ log \ log \ log x) ^ {5/4}} } lt;\ infty.}$

Вероятное свидетельство этой гипотезы дает Натан Нг. В частности, Ng дает условное доказательство того, что функция имеет предельное распределение на. То есть для всех ограниченных липшицевых функций на вещественных числах имеем ${\ Displaystyle е ^ {- у / 2} М (е ^ {у})}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ lim _ {Y \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {Y}} \ int _ {0} ^ {Y} f \ left (e ^ {- y / 2} M (e ^ { y}) \ right) dy = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) d \ nu (x).}$

• 1 Представления
  • 1.1 Как интеграл
  • 1.2 В виде суммы по последовательностям Фарея
  • 1.3 В качестве детерминанта
  • 1.4 Как сумма количества точек под n-мерными гиперболоидами ^{[ необходима ссылка ]}
• 2 Расчет
• 3 Известные верхние границы
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Как неотъемлемая часть

Используя произведение Эйлера, обнаруживаем, что

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {\ mu (n)} {n ^ {s}}}}$

где - дзета-функция Римана, а произведение берется по простым числам. Затем, используя этот ряд Дирихле с формулой Перрона, получаем: ${\ displaystyle \ zeta (s)}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {x ^ {s}} {s \ zeta (s)} } \, ds = M (x)}$

где c gt; 1.

Наоборот, есть преобразование Меллина

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {M (x)} {x ^ {s + 1}}} \, dx}$

что справедливо для. ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (s)gt; 1}$

Любопытное соотношение, приведенное самим Мертенсом со второй функцией Чебышева, имеет вид

${\ displaystyle \ psi (x) = M \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ log (2) + M \ left ({\ frac {x} {3}} \ right) \ log (3) + M \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) \ log (4) + \ cdots.}$

Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, мы получаем "точную формулу" по теореме о вычетах :

${\ Displaystyle M (x) = \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho \ zeta '(\ rho)}} - 2+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} (2 \ pi) ^ {2n}} {(2n)! n \ zeta (2n + 1) x ^ {2n}}}.}.}$

Вейль предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

${\ displaystyle {\ frac {y (x)} {2}} - \ sum _ {r = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2r}} {(2r)!}} D_ {t} ^ {2r-1} y \ left ({\ frac {x} {t + 1}} \ right) + x \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {y (u)} {u ^ {2 }}} \, du = x ^ {- 1} H (\ log x)}$

где H ( x) - ступенчатая функция Хевисайда, B - числа Бернулли, а все производные по t вычисляются при t = 0.

Существует также формула следа, включающая сумму по функции Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в виде

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {\ sqrt {n}}} g (\ log n) = \ sum _ {\ gamma} {\ frac {h (\ gamma)} {\ zeta '(1/2 + i \ gamma)}} + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2 \ pi) ^ {2n}} {(2n)! \ Zeta (2n + 1)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) e ^ {- x (2n + 1) / 2)} \, dx,}$

где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а ( g, h) связаны преобразованием Фурье таким образом, что

${\ displaystyle 2 \ pi g (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (u) e ^ {iux} \, du.}$

В виде суммы по последовательностям Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

${\ Displaystyle M (n) = - 1+ \ sum _ {a \ in {\ mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 \ pi ia}}$   где     - последовательность Фарея порядка n.${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$

Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля – Ландау.

В качестве определяющего

М ( п) является определяющим фактором в п  ×  п матрица редхеффера, в (0,1) матрицы, в которой IJ равен 1, если либо J = 1 или я делит J.

Как сумма количества точек под n-мерными гиперболоидами

${\ Displaystyle М (Икс) = 1- \ сумма _ {2 \ Leq a \ Leq x} 1 + {\ underset {ab \ leq x} {\ sum _ {a \ geq 2} \ sum _ {b \ geq 2}}} 1 - {\ underset {abc \ leq x} {\ sum _ {a \ geq 2} \ sum _ {b \ geq 2} \ sum _ {c \ geq 2}}} 1 + {\ underset {abcd \ leq x} {\ sum _ {a \ geq 2} \ sum _ {b \ geq 2} \ sum _ {c \ geq 2} \ sum _ {d \ geq 2}}} 1- \ cdots}$

Эта формулировка, расширяющая функцию Мертенса, предлагает асимптотические оценки, полученные при рассмотрении проблемы делителей Пильца, которая обобщает проблему делителей Дирихле для вычисления асимптотических оценок сумматорной функции функции делителей.

Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам вычисления функции Мертенса. Используя методы сита, аналогичные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел вплоть до возрастающего диапазона x.

Человек	Год	Предел
Мертенс	1897 г.	10 4
фон Стернек	1897 г.	1,5 × 10 5
фон Стернек	1901 г.	5 × 10 5
фон Стернек	1912 г.	5 × 10 6
Neubauer	1963 г.	10 8
Коэн и платье	1979 г.	7,8 × 10 9
Платье	1993 г.	10 12
Лиоэн и ван де Люн	1994 г.	10 13
Котник и ван де Люн	2003 г.	10 14
Hurst	2016 г.	10 16

Функция Мертенса для всех целочисленных значений до x может быть вычислена за время O (x log log x). Комбинаторные алгоритмы могут вычислять изолированные значения M (x) за время O (x ^2/3 (log log x) ^1/3), также известны более быстрые некомбинаторные методы.

См. OEIS :  A084237 для значений M ( x) при степени 10.

Нг отмечает, что гипотеза Римана (RH) эквивалентна

${\ Displaystyle M (x) = O \ left ({\ sqrt {x}} \ exp \ left ({\ frac {C \ cdot \ log x} {\ log \ log x}} \ right) \ right), }$

для некоторой положительной константы. Другие верхние границы были получены Майером, Монтгомери и Саундараджаном, предполагая, что RH включает ${\ displaystyle Cgt; 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} | M (x) | amp; \ ll {\ sqrt {x}} \ exp \ left (C_ {2} \ cdot (\ log x) ^ {\ frac {39} {61 }} \ right) \\ | M (x) | amp; \ ll {\ sqrt {x}} \ exp \ left ({\ sqrt {\ log x}} (\ log \ log x) ^ {14} \ right). \ end {выравнивается}}}$

Другие явные оценки сверху даны Котником как

${\ displaystyle {\ begin {align} | M (x) | amp; lt;{\ frac {x} {4345}}, \ {\ text {for}} xgt; 2160535 \\ | M (x) | amp; lt;{ \ frac {0.58782 \ cdot x} {\ log ^ {11/9} (x)}}, \ {\ text {for}} xgt; 685. \ end {align}}}$

• Формула Перрона
• Функция Лиувилля

• Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN   0-486-41740-9.
• Мертенс, Ф. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
• Одлызко AM ; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса». MathWorld.
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса)». Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
• Делеглиз, М. и Риват, Дж. «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментируйте. Математика. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv : 1610.08551 [ math.NT ].
• Натан Нг, "Распределение сумматорной функции функции Мебиуса", Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf