Альфапедия

Функция Чебышева

редактировать
Функция Чебышева ψ (x), с x < 50 Функция ψ (x) - x, для x < 10 Функция ψ (x) - x для x < 10

В математике функция Чебышева является одной из двух связанных функций. первая функция Чебышева ϑ (x) или θ (x) задается как

ϑ (x) = ∑ p ≤ x log ⁡ p {\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ { p \ leq x} \ log p}\ vartheta (x) = \ sum _ {{p \ leq x}} \ log p

с суммой, простирающейся по всем простым числам p, которые меньше или равны x.

вторая функция Чебышева ψ (x) определяется аналогично, сумма распространяется по всем степеням простых чисел, не превышающим x

ψ (x) = ∑ k ∈ N ∑ pk ≤ Икс журнал ⁡ п знак равно ∑ N ≤ Икс Λ (N) знак равно ∑ п ≤ Икс ⌊ журнал п ⁡ Икс ⌋ журнал ⁡ п, {\ Displaystyle \ psi (x) = \ сумма _ {к \ in \ mathbb {N}} \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p } x \ right \ rfloor \ log p,}{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x} \ left \ lfloor \ log _ {p} x \ справа \ rfloor \ log p,}

где Λ - функция фон Мангольдта. Функции Чебышева, особенно вторая ψ (x), часто используются в доказательствах, связанных с простыми числами, потому что с ними обычно проще работать, чем с функцией подсчета простых чисел, π (x) (См. точную формулу ниже.) Обе функции Чебышева являются асимптотическими по отношению к x, утверждение эквивалентно теореме о простых числах.

Обе функции названы в честь Пафнутый Чебышев.

Содержание
  • 1 Отношения
  • 2 Асимптотика и границы
  • 3 Точная формула
  • 4 Свойства
  • 5 Отношение к примориалам
  • 6 Отношение к простому счету функция
  • 7 Гипотеза Римана
  • 8 Функция сглаживания
  • 9 Вариационная формулировка
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки
  • 12 Внешние ссылки
Взаимосвязи

Вторая функция Чебышева можно увидеть, что он связан с первым, записав его как

ψ (x) = ∑ p ≤ xk log ⁡ p {\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p }{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p \ leq x} k \ log p}

где k - уникальное целое число такое, что p ≤ x и x OEIS : A206722. Более прямая связь дается формулой

ψ (x) = ∑ n = 1 ∞ ϑ (x 1 n). {\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right).}{\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} { n}} \ right).}

Обратите внимание, что это последняя сумма имеет только конечное количество ненулевых членов, так как

ϑ (x 1 n) = 0 для n>log 2 ⁡ x = log ⁡ x log ⁡ 2. {\ displaystyle \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ right) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n>\ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}{\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}}\right)=0\quad {\text{for}}\quad n>\ log _ {2} x \ = {\ frac {\ log x} {\ log 2}}.}

Вторая функция Чебышева - это логарифм наименьшее общее кратное целых чисел от 1 до n.

lcm ⁡ (1, 2,…, n) = e ψ (n). {\ displaystyle \ operatorname {lcm} (1,2, \ dots, n) = e ^ {\ psi (n)}.}\ operatorname {lcm} (1,2, \ точки, п) = е ^ {{\ psi (n)}}.

Значения lcm (1,2,..., n) для целочисленной переменной n даны в OEIS : A003418.

Асимптотика и границы

Для функций Чебышева известны следующие границы: (в этих формулах p k - k-е простое число p 1 = 2, p 2 = 3 и т. Д.)

ϑ (pk) ≥ k (ln ⁡ k + ln ⁡ ln ⁡ k - 1 + ln ⁡ ln ⁡ k - 2,050735 ln ⁡ k) для k ≥ 10 11, ϑ (pk) ≤ k (ln ⁡ k + ln ⁡ ln ⁡ k - 1 + ln ⁡ ln ⁡ k - 2 ln ⁡ k) для k ≥ 198, | ϑ (x) - x | ≤ 0,006788 x ln ⁡ x для x ≥ 10 544 111, | ψ (x) - x | ≤ 0,006409 x ln ⁡ x для x ≥ e 22, 0,9999 x < ψ ( x) − ϑ ( x) < 1.00007 x + 1.78 x 3 for x ≥ 121. {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right){\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right){\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|\leq 0.006788{\frac {x}{\ln x}}{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|\leq 0.006409{\frac {x}{\ln x}}{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (p_ {k }) \ geq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2.050735} {\ ln k}} \ right) {\ text {for}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) \ leq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2 } {\ ln k}} \ right) {\ text {for}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x) -x | \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ ln x}} {\ text {for}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi (x) -x | \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ ln x}} {\ text {for}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x}} <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} {\ text {for}} x \ geq 121. \ end {align}}}

Кроме того, согласно гипотезе Римана,

| ϑ (x) - x | = O (x 1 2 + ε) | ψ (x) - x | Знак равно О (Икс 1 2 + ε) {\ Displaystyle {\ begin {align} | \ vartheta (x) -x | = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi (x) -x | = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} | \ vartheta (x) -x | = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \\ | \ psi (x) -x | = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ right) \ end {align}}}

для любого ε>0.

Верхние границы существуют как для ϑ (x), так и ψ (x), такие что

ϑ (x) < 1.000028 x ψ ( x) < 1.03883 x {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)<1.000028x\\\psi (x)<1.03883x\end{aligned}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (x) <1.000028x \\\ psi (x) <1.03883x \ end { выровнено}}}

для любого x>0.

Объяснение константы 1.03883 дается в OEIS : A206431.

Точная формула

В 1895 году Ганс Карл Фридрих фон Мангольдт доказал явное выражение для ψ (x) как сумму по нетривиальным нулям дзета-функции Римана :

ψ 0 (x) = x - ∑ ρ x ρ ρ - ζ ′ (0) ζ (0) - 1 2 журнал ⁡ (1 - x - 2). {\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2}).}{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}

(Числовое значение ζ ′ (0) / ζ (0) равно log (2π).) Здесь ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции, а ψ 0 то же самое, что и ψ, за исключением того, что на скачкообразных скачках (степенях простых чисел) он принимает значение на полпути между значениями слева и справа:

ψ 0 (x) = 1 2 (∑ n ≤ x Λ (n) + ∑ n < x Λ ( n)) = { ψ ( x) − 1 2 Λ ( x) x = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, … ψ ( x) otherwise. {\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ sum _ {n <x} \ Lambda (n) \ right) = {\ begin {cases} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16, \ точки \\ [5px] \ psi (x) {\ t_dv {в противном случае.}} \ end {cases}}}

Из ряда Тейлора для логарифм, последний член в явной формуле можно понимать как сумму x / ω по тривиальным нулям дзета-функции, ω = −2, −4, −6,..., т.е.

∑ К знак равно 1 ∞ Икс - 2 К - 2 К знак равно 1 2 журнал ⁡ (1 - Икс - 2). {\ Displaystyle \ Sum _ {к = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {х ^ { -2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1-x ^ {- 2} \ right).}{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = {\ tfrac {1} {2}} \ log \ left (1-x ^ {- 2} \ right).}

Аналогично, первый член, x = x / 1, соответствует простому полюсу дзета-функции в 1. То, что полюс, а не ноль, приводит к противоположному. знак срока.

Свойства

Теорема из Эрхарда Шмидта утверждает, что для некоторой явной положительной константы K существует бесконечно много натуральных чисел x таких, что

ψ (x) - x < − K x {\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}\ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}

и бесконечно много натуральных чисел x таких, что

ψ (x) - x>K x. {\ displaystyle \ psi (x) -x>K {\ sqrt {x}}.}\psi (x)-x>K {\ sqrt {x}}.

В небольшой нотации, можно записать выше как

ψ (x) - x ≠ o (x). {\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}\ psi (x) -x \ neq o \ left ({\ sqrt {x}} \ right).

Харди и Литтлвуд докажи более сильный результат:

ψ (x) - x ≠ o (x log ⁡ log ⁡ log ⁡ x). {\ Displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ left ( {\ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).}\ psi (x) -x \ neq o \ left ({ \ sqrt {x}} \ log \ log \ log x \ right).
Связь с примерами

Первая функция Чебышева - это логарифм примориала числа x, обозначается Икс #:

ϑ (Икс) знак равно ∑ п ≤ Икс журнал ⁡ п = журнал ⁡ ∏ п ≤ Хр = журнал ⁡ (Икс #). {\ Displaystyle \ vartheta (х) = \ сумма _ {р \ Leq х } \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}{\ displaystyle \ vartheta ( x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p = \ log \ prod _ {p \ leq x} p = \ log \ left (x \ # \ right).}

Это доказывает, что примориал x # асимптотически равен e, где "o" является обозначением small-o (см. big O notation ) и вместе с Теорема о простых числах устанавливает асимптотическое поведение p n #.

Связь с функцией подсчета простых чисел

Функция Чебышева может быть связана с функцией подсчета простых чисел следующим образом. Определим

Π (x) = ∑ n ≤ x Λ (n) log ⁡ n. {\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.}\ Pi (x) = \ sum _ {{n \ leq x}} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}.

Тогда

Π (x) = ∑ n ≤ x Λ (n) ∫ nxdtt журнал 2 ⁡ t + 1 журнал ⁡ x ∑ n ≤ x Λ (n) = ∫ 2 x ψ (t) dtt журнал 2 ⁡ t + ψ (x) журнал ⁡ x. {\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt } {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ log x}}.}\ Pi (x) = \ sum _ {{n \ leq x}} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {1} {\ log x}} \ sum _ {{n \ leq x}} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi (t) \, dt} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x) } {\ log x}}.

Переход от Π к функции подсчета простых чисел, π, определяется уравнением

Π (x) = π (x) + 1 2 π (x) + 1 3 π (x 3) + ⋯ {\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3}} \ pi \ left ({\ sqrt [{3} ] {x}} \ right) + \ cdots}{\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) + {\ tfrac {1} {3}} \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {x} } \ right) + \ cdots}

Конечно, π (x) ≤ x, поэтому для приближения это последнее соотношение можно преобразовать в форму

π (x) = Π (x) + О (х). {\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right).}{\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ right). }
Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть 1/2. В этом случае | x | = √x, и можно показать, что

∑ ρ x ρ ρ = O (x log 2 ⁡ x). {\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ left ({\ sqrt {x}} \ log ^ {2} x \ right).}

Из сказанного выше это означает, что

π (x) = li ⁡ (x) + O (x log ⁡ x). {\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}{\ displaystyle \ pi (x) = \ имя оператора {li} (x) + O \ left ({\ sqrt {x}} \ log x \ right).}

Хорошее доказательство того, что гипотеза может быть верной, исходит из факт, предложенный Аленом Конном и другими, что если мы дифференцируем формулу фон Мангольдта по x, мы получаем x = e. Манипулируя, мы получаем «формулу следа» для экспоненты гамильтонова оператора, удовлетворяющего

ζ (1 2 + i H ^) | n ≥ ζ (1 2 + я E N) знак равно 0, {\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}{\ displaystyle \ left. \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + i {\ hat {H}} \ right) \ right | n \ geq \ zeta \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE_ {n} \ right) = 0,}

и

∑ neiu E n = Z (u) = eu 2 - е - u 2 d ψ 0 du - eu 2 e 3 u - eu = Tr ⁡ (eiu H ^), {\ displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}}} {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ { \ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu {\ hat {H}}} \ right),}{\ displaystyle \ sum _ {n} e ^ {iuE_ {n}} = Z (u) = e ^ {\ frac {u} {2}} - e ^ {- {\ frac {u} {2}}} {\ frac {d \ psi _ {0}} {du}} - {\ frac {e ^ {\ frac {u} {2}}} {e ^ {3u} -e ^ {u}}} = \ operatorname {Tr} \ left (e ^ {iu { \ hat {H}}} \ right),}

где «тригонометрическая сумма» может рассматриваться как след оператора (статистическая механика ) e, что верно только в том случае, если ρ = 1/2 + iE (n).

Используя полуклассический подход, потенциал H = T + V удовлетворяет:

Z (u) u 1 2 π ∼ ∫ - ∞ ∞ ei (u V (x) + π 4) dx {\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {я \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}{\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi }}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} \, dx}

с Z (u) → 0 при u → ∞.

решение этого нелинейного интегрального уравнения может быть получено (среди прочего) с помощью

V - 1 (x) ≈ 4 π ⋅ d 1 2 dx 1 2 N (x) {\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ приблизительно {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1} {2}}} {dx ^ {\ frac {1} {2}}}} N (x)}{\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ приблизительно {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {d ^ {\ frac {1 } {2}}} {dx ^ {\ frac {1} {2}}}} N (x)}

для получения обратной величины потенциала:

π N (E) = Arg ⁡ ξ (1 2 + i E). {\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}{\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatorname {Arg} \ xi \ left ({\ tfrac {1} {2}} + iE \ right).}
Функция сглаживания
Разница сглаженных Функция Чебышева и x / 2 для x < 10

Функция сглаживания определяется как

ψ 1 (x) = ∫ 0 x ψ (t) dt. {\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.}\ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, dt.

Можно показать, что

ψ 1 (x) ∼ х 2 2. {\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}\ psi _ {1} (x) \ sim {\ гидроразрыва {x ^ {2}} {2}}.
Вариационная формулировка

Функция Чебышева, вычисленная при x = e, минимизирует функционал

J [f] = ∫ 0 ∞ f (s) ζ ′ (s + c) ζ (s + c) (s + c) ds - ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e - stf (s) f (т) dsdt, {\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) ( s + c)}} \, ds- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (s) f ( t) \, ds \, dt,}J[f]=\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{{0}}^{{\infty }}\!\!\!\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-st}}f(s)f(t)\,ds\,dt,

, поэтому

f (t) = ψ (et) e - ct для c>0. {\ displaystyle f (t) = \ psi \ left (e ^ {t} \ right) e ^ {- ct} \ quad {\ text {for}} c>0.}{\displaystyle f(t)=\psi \left(e^{t}\right)e^{-ct}\quad {\text{for }}c>0.}
, Примечания
  1. ^Россер J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). «Приближенные формулы для некоторых функций от простых чисел». Illinois J. Math. 6 : 64–94.
  • ^Пьер Дюзар, «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442
  • ^Пьер Дюзар, «Более точные оценки для ψ, θ, π, p k ", Rapport de recherche № 1998-06, Université de Limoges. Сокращенная версия появилась как" k-е простое число больше k (ln k + ln ln k - 1) для k ≥ 2 ", Mathematics of Computing, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
  • ^Эрхард Шмидт," Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze ", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
  • ^Дж. Х. Харди и Дж. Литтлвуд, «Вклад в Теория дзета-функции Римана и теория распределения простых чисел », Acta Mathematica, 41 (1916), стр. 119–196.
  • ^Давенпорт, Гарольд (2000). В теории мультипликативных чисел. Springer. п. 104. ISBN 0-387-95097-4. Поиск книг Google.
Список литературы
  • Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Внешние ссылки
Последняя правка сделана 2021-05-14 09:05:33
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте