Постоянная Гаусса

В математике, постоянная Гаусса, обозначим через G, определяется как обратной из арифметико-геометрического среднего 1 и квадратный корень из 2 :

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {\ operatorname {agm} \ left (1, {\ sqrt {2}} \ right)}} = 0,8346268 \ точек.}$

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что

${\ displaystyle G = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {1-x ^ {4}}}}}$

и что

${\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {4}}, {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}$

где Β обозначает бета-функцию.

• 1 Связь с другими константами
  • 1.1 Константы лемнискаты
• 2 Другие формулы
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Константа Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе  1/4:

${\ displaystyle \ Gamma {\ bigl (} {\ tfrac {1} {4}} {\ bigr)} = {\ sqrt {2G {\ sqrt {2 \ pi ^ {3}}}}}}$

В качестве альтернативы,

${\ displaystyle G = {\ frac {\ Gamma {\ bigl (} {\ tfrac {1} {4}} {\ bigr)} {} ^ {2}} {2 {\ sqrt {2 \ pi ^ {3 }}}}}}$

а так как π и Γ (1/4) алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют эквивалент

${\ displaystyle \ varpi = \ pi G}$

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию - в своей статье числа и называются константами лемнискаты, первая из которых - ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ pi G = {\ tfrac {1} {2}} \ varpi = {\ tfrac {1} {4}} \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {4}}, {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}$

и вторая константа:

${\ displaystyle B = {\ frac {1} {2G}} = {\ tfrac {1} {4}} \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {4}} {\ bigr)}.}$

Они возникают при нахождении длины дуги в виде лемнискаты Бернулли. и были признаны трансцендентными Теодором Шнайдером в 1937 и 1941 годах соответственно. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Формула для G в терминах тета-функций Якоби имеет вид

${\ Displaystyle G = \ vartheta _ {01} ^ {2} \ left (e ^ {- \ pi} \ right)}$

а также быстро сходящийся ряд

${\ displaystyle G = {\ sqrt [{4}] {32}} e ^ {- {\ frac {\ pi} {3}}} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} e ^ {- 2n \ pi (3n + 1)} \ right) ^ {2}.}$

Константа также дается бесконечным произведением

${\ displaystyle G = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ tanh ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi m} {2}} \ right).}$

Он появляется при оценке интегралов

${\ displaystyle {\ frac {1} {G}} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {\ sin (x)}} \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {\ cos (x)}} \, dx}$

${\ displaystyle G = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {\ sqrt {\ cosh (\ pi x)}}}}$

Постоянная Гаусса в виде непрерывной дроби равна [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14,...]. (последовательность A053002 в OEIS )

• Лемнискатическая эллиптическая функция

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Гаусса». MathWorld.
• Последовательности A014549 и A053002 в OEIS