Серия Ламберта

Функция $S\; (q)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; qn\; 1\; -\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\}$, представленный как Matplotlib построить график с использованием версии метода раскраски домена

. В математике, серия Ламберта, названная в честь Иоганна Генриха Ламберта, представляет собой серию , имеющую вид

$S\; (q)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; anqn\; 1\; -\; qn.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}.\}$

Его можно пересуммировать формально, расширив знаменатель:

$S\; (q)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; an\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; qnk\; =\; \sum \; m\; =\; 1\; \infty \; bmqm\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{nk\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{m\}\; q\; ^\; \{m\}\}$

, где коэффициенты нового ряда задаются сверткой Дирихле из n с постоянной функцией 1 (n) = 1:

$bm\; =\; (a\; \ast \; 1)\; (m)\; =\; \sum \; n\; \mid \; man.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; =\; (a\; *\; 1)\; (m)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; mid\; m\}\; a\_\; \{n\}.\; \backslash ,\}$

Этот ряд можно инвертировать с помощью Möbius формула инверсии и является примером преобразования Мёбиуса.

• 1 Примеры
• 2 Альтернативная форма
• 3 Текущее использование
• 4 Теоремы факторизации
• 5 Повторяющиеся отношения
• 6 Производные
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Поскольку эта последняя сумма является типичной теоретико-числовой суммой, почти любая натуральная мультипликативная функция будет быть точно суммируемым при использовании в ряду Ламберта. Так, например, имеется

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; qn\; \sigma \; 0\; (n)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; qn\; 1\; -\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\}$

где $\sigma \; 0\; (n)\; =\; d\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; (n)\; =\; d\; (n)\}$- количество положительных делителей числа число n.

Для функций суммы делителей высшего порядка,

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; qn\; \sigma \; \alpha \; (n)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; \alpha \; qn\; 1\; -\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- любое комплексное число и

$\sigma \; \alpha \; (n)\; =\; (Id\; \alpha \; \ast \; 1)\; (n)\; =\; \sum \; d\; \mid \; nd\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (n)\; =\; (\{\backslash \; textrm\; \{Id\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; *\; 1)\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; mid\; n\}\; d\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\}$

- функция делителя.

Дополнительные серии Ламберта, относящиеся к предыдущей идентичности, включают те, которые для вариантов функции Мёбиуса, приведенных ниже $\mu \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (n)\}$

$\sum \; n\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \mu \; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; (n)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; q.\}$

Связанные ряды Ламберта по функции Мебиуса включают следующие тождества для любого простого $\alpha \; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$:

$\sum \; n\; \ge \; 1\; \mu \; (n)\; qn\; 1\; +\; qn\; =\; q\; -\; 2\; q\; 2\; \sum \; n\; \ge \; 1\; \mu \; (\alpha \; n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; -\; \sum \; n\; \ge \; 0\; q\; \alpha \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1\; +\; q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; q-2q\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \backslash \backslash \; сумма\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; (\backslash \; alpha\; n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; q\; ^\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Доказательство первого тождества выше следует из многосекционного (или пополам) тождества этих производящих функций ряда Ламберта в следующем форма, где мы обозначаем $L\; f\; (q):\; =\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{f\}\; (q):\; =\; q\}$как производящую функцию ряда Ламберта арифметической функции f:

$\sum \; n\; \ge \; 1\; f\; (n)\; qn\; 1\; +\; qn\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; f\; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; -\; \sum \; n\; \ge \; 1\; 2\; f\; (n)\; q\; 2\; n\; 1\; -\; q\; 2\; n\; =\; L\; f\; (q)\; -\; 2\; \cdot \; L\; f\; (q\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1\; +\; q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{2f\; (n)\; q\; ^\; \{2n\}\; \}\; \{1-q\; ^\; \{2n\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; L\_\; \{f\}\; (q)\; -2\; \backslash \; cdot\; L\_\; \{f\}\; (q\; ^\; \{2\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Второй тождество в предыдущих уравнениях следует из того факта, что коэффициенты левой суммы равны

$\sum \; d\; |\; n\; \mu \; (\alpha \; d)\; =\; \sum \; d\; |\; n\; (n,\; \alpha )\; \mu \; (d)\; знак\; равно\; \epsilon \; (n\; (n,\; \alpha ))\; =\; 1\; ⟺\; n\; =\; (n,\; \alpha )\; ⟺\; n\; =\; \alpha \; k,\; для\; некоторых\; k\; \ge \; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; \backslash \; mu\; (\backslash \; alpha\; d)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{(n,\; \backslash \; alpha)\}\}\}\; \backslash \; mu\; (d)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{(n,\; \backslash \; alpha)\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; \backslash \; iff\; n\; =\; (n,\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; iff\; n\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{k\},\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; некоторых\}\}\; k\; \backslash \; geq\; 1,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где функция $\epsilon \; (n)\; =\; \delta \; n,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (n)\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; 1\}\}$является мультипликативным тождеством относительно операции свертки Дирихле арифметических функций.

Для функции Эйлера $\phi \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (n)\}$:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \phi \; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; q\; (1\; -\; q)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; varphi\; (n)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{(1-q)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Для функции Фон Мангольдта $\Lambda \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (n)\}$:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \Lambda \; (N)\; qn\; 1\; -\; qn\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; журнал\; \; (n)\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Lambda\; (n)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; log\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}$

Для функции Лиувилля $\lambda \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; (n)\}$:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \lambda \; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; qn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; (n)\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}\}$

с суммой справа, аналогичной тета-функции Рамануджана или тета-функции Якоби $\vartheta \; 3\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vartheta\; \_\; \{3\}\; (q)\}$. Обратите внимание, что ряд Ламберта, в котором a n являются тригонометрическими функциями, например, a n = sin (2n x), можно оценивать различными комбинациями логарифмические производные тета-функций Якоби .

Вообще говоря, мы можем расширить предыдущее разложение производящей функции, позволив $\chi \; m\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{m\}\; (\; n)\}$обозначают характеристическую функцию $mth\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; ^\; \{th\}\}$степеней, $n\; =\; km\; \in \; Z\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; k\; ^\; \{m\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{+\}\}$, для положительных натуральных чисел $m>2\; \{\backslash \; displaystyle\; m>2\}$и определение обобщенной лямбда-функции m-Liou beville арифметическая функция, удовлетворяющая $\chi \; m\; (n):\; =\; (1\; \ast \; \lambda \; m)\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{m\}\; (n):\; =\; (1\; \backslash \; ast\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\})\; (n)\}$. Это определение $\lambda \; m\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; (n)\}$явно подразумевает, что $\lambda \; m\; (n)\; =\; \sum \; d\; m\; |\; n\; \mu \; (ndm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; ^\; \{m\}\; |\; n\}\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\}$, что, в свою очередь, показывает, что

$\sum \; n\; \ge \; 1\; \lambda \; m\; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; qnm,\; для\; m\; \ge \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{m\}\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{\; m\}\},\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; m\; \backslash \; geq\; 2.\}$

У нас также есть несколько более обобщенное разложение в ряд Ламберта, генерирующее функцию суммы квадратов $r\; 2\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{2\}\; (n)\}$в виде

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 4\; \cdot \; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; q\; 2\; n\; +\; 1\; 1\; -\; q\; 2\; n\; +\; 1\; знак\; равно\; \sum \; m\; =\; 1\; \infty \; r\; 2\; (m)\; qm.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; q\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{1-q\; ^\; \{2n\; +\; 1\; \}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; r\_\; \{2\}\; (m)\; q\; ^\; \{m\}.\}$

В общем, если мы запишем ряд Ламберта по $f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\}$, который генерирует арифметические функции $g\; (m)\; =\; (f\; \ast \; 1)\; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (m)\; =\; (f\; \backslash \; ast\; 1)\; (m)\}$, следующие пары функций соответствуют другим хорошо известным сверткам, выраженным их производящими функциями ряда Ламберта в виде

$(f,\; g)\; =\; (\mu ,\; \epsilon ),\; (\; \phi ,\; Id\; 1),\; (\lambda ,\; \chi \; sq),\; (\Lambda ,\; log),\; (|\; \mu \; |,\; 2\; \omega ),\; (J\; t,\; Id\; t),\; (d\; 3,\; (d\; \ast \; 1)\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (е,\; г)\; =\; (\backslash \; му,\; \backslash \; varepsilon),\; (\backslash \; varphi,\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{1\}),\; (\backslash \; lambda,\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{sq\}\}),\; (\backslash \; Lambda,\; \backslash \; log),\; (|\; \backslash \; mu\; |,\; 2\; ^\; \{\backslash \; omega\}),\; (J\_\; \{t\},\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{t\}),\; (d\; ^\; \{3\},\; (d\; \backslash \; ast\; 1)\; ^\; \{\; 2\}),\}$

где $\epsilon \; (n)\; =\; \delta \; n,\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (n)\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; 1\}\}$- мультипликативное тождество для свертки Дирихле, $Id\; k\; \; (n)\; =\; n\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Id\}\; \_\; \{k\}\; (n)\; =\; n\; ^\; \{k\}\}$- это функция идентичности для $kth\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{\; th\}\}$мощности, $\chi \; sq\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{sq\}\}\}$обозначает характеристическую функцию для квадратов, $\omega \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (n)\}$который подсчитывает количество различных простых множителей $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$(см. простая функция омега ), $J\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{t\}\}$- функция Джордана, и $d\; (n)\; =\; \sigma \; 0\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (n)\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; (n)\}$- это функция делителя (см. свертки Дирихле ).

Традиционное использование буквы q в суммировании - это историческое употребление, относящееся к ее истокам в теории эллиптических кривых и тета-функций, как ном.

Подставляя $q\; =\; e\; -\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; e\; ^\; \{-\; z\}\}$, получаем другую общую форму для ряда, как

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; anezn\; -\; 1\; Знак\; равно\; \sum \; м\; знак\; равно\; 1\; \infty \; bme\; -\; mz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{e\; ^\; \{zn\}\; -1\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{m\}\; e\; ^\; \{-\; mz\}\}$

где

$bm\; =\; (a\; \ast \; 1)\; (m)\; =\; \sum \; d\; \mid \; mad\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; =\; (\; a\; *\; 1)\; (m)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; mid\; m\}\; a\_\; \{d\}\; \backslash ,\}$

как и раньше. Примеры ряда Ламберта в этой форме с $z\; =\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 2\; \backslash \; pi\}$встречаются в выражениях для дзета-функции Римана для нечетных целочисленных значений. ; см. Дзета-константы для получения подробной информации.

В литературе мы находим ряды Ламберта, применяемые к широкому спектру сумм. Например, поскольку $qn\; /\; (1\; -\; qn)\; =\; L\; я\; 0\; (qn)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{n\}\; /\; (1-q\; ^\; \{n\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; \_\; \{0\}\; (\; q\; ^\; \{n\})\}$- функция полилогарифма, мы можем ссылаться на любую сумму вида

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \xi \; n\; L\; iu\; (\alpha \; qn)\; ns\; Знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \alpha \; N\; L\; является\; (\xi \; qn)\; nu\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; \_\; \{\; u\}\; (\backslash \; alpha\; q\; ^\; \{n\})\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Li\; \}\; \_\; \{s\}\; (\backslash \; xi\; q\; ^\; \{n\})\}\; \{n\; ^\; \{u\}\}\}\}$

как ряд Ламберта, предполагая, что параметры соответствующим образом ограничены. Таким образом,

$12\; (\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 2\; L\; i\; -\; 1\; (qn))\; 2\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 2\; L\; i\; -\; 5\; (qn)\; -\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; n\; 4\; L\; i\; -\; 3\; (\; qn),\; \{\backslash \; displaystyle\; 12\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; \_\; \{-\; 1\}\; (q\; ^\; \{n\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash !\; 2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; \_\; \{-\; 5\}\; (q\; ^\; \{n\})\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; ^\; \{4\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{Li\}\; \_\; \{-\; 3\}\; (q\; ^\; \{n\}),\}$

, которое выполняется для всех комплексных q не на единичной окружности, считаться тождеством ряда Ламберта. Это тождество прямо следует из некоторых тождеств, опубликованных индийским математиком С. Рамануджан. Очень подробное исследование работ Рамануджана можно найти в работах Брюса Берндта.

Несколько более новая конструкция, недавно опубликованная в 2017–2018 годах, относится к так называемым теоремам факторизации рядов Ламберта форма

$\sum \; N\; \ge \; 1\; anqn\; 1\; \pm \; qn\; =\; 1\; (\mp \; q;\; q)\; \infty \; \sum \; n\; \ge \; 1\; ((так\; (n,\; k)\; \pm \; se\; (n,\; k))\; ak)\; qn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1\; \backslash \; pm\; q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\backslash \; mp\; q;\; q)\; \_\; \{\; \backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; ((s\_\; \{o\}\; (n,\; k)\; \backslash \; pm\; s\_\; \{e\}\; (n,\; k))\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; q\; ^\; \{n\; \},\}$

где $so\; (n,\; k)\; \pm \; se\; (n,\; k)\; =\; [qn]\; (\mp \; q;\; q)\; \infty \; qk\; 1\; \pm \; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{o\}\; (n,\; k)\; \backslash \; pm\; s\_\; \{e\}\; (n,\; k)\; =\; [q\; ^\; \{n\}]\; (\backslash \; mp\; q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{k\}\}\; \{1\; \backslash \; pm\; q\; ^\; \{k\}\; \}\}\}$- соответствующая сумма или разность ограниченных функций разделения $se\; /\; o\; (n,\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{e\; /\; o\}\; (n,\; k)\}$, которые обозначают количество $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$во всех разделах $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$на четные (соответствующие лы, нечетное) количество отдельных частей. Пусть $sn,\; k:\; =\; se\; (n,\; k)\; -\; так\; (n,\; k)\; =\; [qn]\; (q;\; q)\; \infty \; qk\; 1\; -\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n,\; k\}:\; =\; s\_\; \{e\; \}\; (n,\; k)\; -s\_\; \{o\}\; (n,\; k)\; =\; [q\; ^\; \{n\}]\; (q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{k\}\}\; \{1-q\; ^\; \{\; k\}\}\}\}$обозначают обратимую нижнюю треугольную последовательность, первые несколько значений которой показаны в таблице ниже.

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	-1	-1	1	0	0	0	0	0
4	-1	0	-1	1	0	0	0	0
5	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0
6	0	0	1	-1	-1	1	0	0
7	0	0	-1	0	-1	-1	1	0
8	1	0	0	1	0	-1	-1	1

Другая характерная форма разложений теоремы факторизации в ряд Ламберта дается выражением

$L\; f\; (q):\; =\; \sum \; n\; \ge \; 1\; f\; (n)\; qn\; 1\; -\; qn\; =\; 1\; (q;\; q)\; \infty \; \sum \; N\; \ge \; 1\; (sn,\; kf\; (k))\; qn,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{f\}\; (q):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\; \}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (s\_\; \{n,\; k\}\; f\; (k)\; \backslash \; right)\; q\; ^\; \{n\},\}$

где $(q;\; q)\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$- (бесконечное) символ q-Поххаммера. Обратимые матричные произведения в правой части предыдущего уравнения соответствуют обратным матричным произведениям, чьи нижние треугольные элементы заданы в терминах статистической суммы и функции Мёбиуса посредством

$sn,\; k\; (-\; 1)\; =\; \sum \; d\; |\; np\; (d\; -\; k)\; \mu \; (nd)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n,\; k\}\; ^\; \{(-\; 1)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; p\; (dk)\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\})\; \{d\}\}\; \backslash \; right)\}$

В следующей таблице перечислены первые несколько строк этих соответствующих обратных матриц.

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	1	1	1	0	0	0	0	0
4	2	1	1	1	0	0	0	0
5	4	3	2	1	1	0	0	0
6	5	3	2	2	1	1	0	0
7	10	7	5	3	2	1	1	0
8	12	9	6	4	3	2	1	1

Мы полагаем $G\; j:\; =\; 1\; 2\; \lceil \; j\; 2\; \rceil \; \lceil \; 3\; j\; +\; 1\; 2\; \rceil \; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{j\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \{\backslash \; frac\; \{j\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\; \backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \{\backslash \; frac\; \{3j\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\}$обозначают последовательность чередующихся пятиугольных чисел, т.е. так, что теорема о пятиугольных числах раскрывается в виде

$(q;\; q)\; \infty \; =\; \sum \; n\; \ge \; 0\; (-\; 1)\; \lceil \; n\; 2\; \rceil \; q\; G\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; (q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 0\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\}\; q\; ^\; \{G\_\; \{n\}\}.\}$

Тогда для любого ряда Ламберта $L\; f\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{f\}\; (q)\}$генерируя последовательность $g\; (\; n)\; =\; (f\; \ast \; 1)\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (n)\; =\; (f\; \backslash \; ast\; 1)\; (n)\}$, у нас есть соответствующее отношение инверсии теоремы факторизации, расширенное выше, заданное формулой

$f\; (n)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; \sum \; d\; |\; n\; p\; (d\; -\; k)\; \mu \; (n\; /\; d)\; \times \; j:\; k\; -\; G\; j>0\; (-\; 1)\; \lceil \; j\; 2\; \rceil \; b\; (k\; -\; G\; j).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (п)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 1\}\; ^\; \{п\}\; \backslash \; сумма\; \_\; \{д\; |\; п\}\; р\; (дк)\; \backslash \; му\; (п\; /\; д)\; \backslash \; раз\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j:\; к-G\_\; \{j\}>0\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lceil\; \{\backslash \; frac\; \{j\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rceil\}\; b\; (k-G\_\; \{j\}).\}$

Эта работа над теоремами факторизации рядов Ламберта расширена до более общих расширений формы

$\sum \; N\; \ge \; 1\; anqn\; 1\; -\; qn\; знак\; равно\; 1\; C\; (q)\; \sum \; N\; \ge \; 1\; (\sum \; K\; =\; 1\; nsn,\; k\; (\gamma )\; a\; ~\; k\; (\gamma ))\; qn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\; (q)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; s\_\; \{n,\; k\}\; (\backslash \; gamma)\; \{\backslash \; widetilde\; \{a\}\}\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\; \backslash \; right)\; q\; ^\; \{n\},\}$

где $C\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (q)\}$- любая (связанная с разбиением) обратная производящая функция, $\gamma \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (n)\}$- любая арифметическая функция, и где модифицированные коэффициенты расширяются на

$a\; ~\; k\; (\gamma )\; =\; \sum \; d\; |\; k\; \sum \; r\; |\; к\; д\; а\; д\; \gamma \; (г).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{a\}\}\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; k\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; |\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{d\}\}\}\; a\_\; \{d\}\; \backslash \; gamma\; (r).\}$

Соответствующие обратные матрицы в приведенном выше разложении удовлетворяют условию

$sn,\; k\; (-\; 1)\; (\gamma )\; =\; \sum \; d\; |\; n\; [qd\; -\; k]\; 1\; С\; (q)\; \gamma \; (nd),\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n,\; k\}\; ^\; \{(-\; 1)\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; [q\; ^\; \{dk\; \}]\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\; (q)\}\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; \backslash \; right),\}$

так, чтобы, как и в первом варианте теоремы факторизации Ламберта выше мы получаем соотношение обращения для правых коэффициентов вида

$a\; ~\; k\; (\gamma )\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; nsn,\; k\; (-\; 1)\; (\gamma )\; \times \; [qk]\; (\sum \; d\; =\; 1\; kadqd\; 1\; -\; qd\; C\; (q)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{a\}\}\; \_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; s\_\; \{n,\; k\}\; ^\; \{(-\; 1)\}\; (\backslash \; gamma)\; \backslash \; раз\; [q\; ^\; \{k\}]\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{d\}\; q\; ^\; \{d\}\}\; \{1-q\; ^\; \{d\}\}\}\; C\; (q)\; \backslash \; right).\}$

В этом разделе мы определяем следующие функции для натуральных чисел $n,\; x\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\; x\; \backslash \; geq\; 1\}$:

$gf\; (\; n):\; знак\; равно\; (е\; *\; 1)\; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{f\}\; (n):\; =\; (f\; \backslash \; ast\; 1)\; (n),\}$

$\Sigma \; f\; (x):\; =\; \sum \; 1\; \le \; n\; \le \; xgf\; (п).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; (x):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; leq\; x\}\; g\_\; \{f\}\; (n).\}$

Мы также принимаем обозначения из предыдущего раздела, что

$sn,\; k\; =\; [qn]\; (q;\; q)\; \infty \; qk\; 1\; -\; qk,\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n,\; k\}\; =\; [q\; ^\; \{n\}]\; (q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{k\}\}\; \{1-q\; ^\; \{k\}\}\},\}$

где $(q;\; q)\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; (q;\; q)\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \}$- бесконечный символ q-Поххаммера. Тогда у нас есть следующие рекуррентные соотношения для включения этих функций и пятиугольных чисел, доказанных в:

$gf\; (n\; +\; 1)\; =\; \sum \; b\; =\; \pm \; 1\; \sum \; k\; =\; 1\; \lfloor \; 24\; n\; +\; 1\; -\; b\; 6\; \rfloor \; (-\; 1)\; к\; +\; 1\; gf\; (n\; +\; 1\; -\; k\; (3\; k\; +\; b)\; 2)\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; +\; 1\; sn\; +\; 1,\; kf\; (k),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{f\}\; (n\; +1)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\; =\; \backslash \; pm\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{24n\; +\; 1\}\}\; -\; b\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; g\_\; \{f\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; (3k\; +\; b)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; s\_\; \{n\; +\; 1,\; k\}\; f\; (k),\}$

$\Sigma \; f\; (x\; +\; 1)\; =\; \sum \; b\; =\; \pm \; 1\; \sum \; k\; =\; 1\; \lfloor \; 24\; x\; +\; 1\; -\; b\; 6\; \rfloor \; (-\; 1)\; к\; +\; 1\; \Sigma \; f\; (n\; +\; 1\; -\; k\; (3\; k\; +\; b)\; 2)\; +\; \sum \; n\; знак\; равно\; 0\; x\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; +\; 1\; sn\; +\; 1,\; kf\; (k).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; (x\; +\; 1)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\; =\; \backslash \; pm\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{24x\; +\; 1)\; \}\}\; -\; b\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; (3k\; +\; b)\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{x\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; s\_\; \{n\; +\; 1,\; k\}\; f\; (k).\}$

Производные ряда Ламберта могут быть получены путем почленного дифференцирования ряда по $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$. У нас есть следующие тождества для почтовых $sth\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{th\}\}$производных ряда Ламберта для любого $s\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; geq\; 1\}$

$qs\; \cdot \; D\; (s)\; [qi\; 1\; -\; qi]\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; s\; \sum \; k\; =\; 0\; m\; [sm]\; \{mk\}\; (-\; 1)\; s\; -\; kk!\; им\; (1\; -\; ци)\; к\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{s\}\; \backslash \; cdot\; D\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{i\}\}\; \{1-q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; s\; \backslash \backslash \; m\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; m\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{sk\}\; k!\; i\; ^\; \{m\}\}\; \{(1-q\; ^\; \{\; i\})\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}\}\}$

$qs\; \cdot \; D\; (s)\; [qi\; 1\; -\; qi]\; =\; \sum \; r\; =\; 0\; s\; [\sum \; m\; =\; 0\; s\; \sum \; k\; =\; 0\; m\; [sm]\; \{mk\}\; (s\; -\; kr)\; (-\; 1)\; s\; -\; k\; -\; rk!\; им\; (1\; -\; ци)\; к\; +\; 1]\; q\; (г\; +\; 1)\; я,\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{s\}\; \backslash \; cdot\; D\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{i\}\}\; \{1\; -q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 0\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m\; \}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; s\; \backslash \backslash \; m\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; m\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; binom\; \{sk\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{skr\}\; k!\; i\; ^\; \{m\}\}\; \{(1-q\; ^\; \{i\})\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right]\; q\; ^\; \{(r\; +\; 1)\; i\},\}$

где треугольные коэффициенты в квадратных скобках в предыдущих уравнениях обозначают числа Стирлинга первого и второго видов. У нас также есть следующее тождество для извлечения индивидуальных коэффициентов членов, неявных для предыдущих разложений, заданных в форме

$[q\; n]\; (\sum \; i\; \ge \; t\; a\; i\; q\; m\; i\; (1\; -\; q\; i)\; k\; +\; 1)\; =\; \sum \; d\; |\; n\; t\; \le \; d\; \le \; n\; m\; \rfloor \; (n\; d\; -\; m\; +\; k\; k)\; и\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; [q\; ^\; \{n\}]\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; t\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{i\}\; q\; ^\; \{mi\}\}\; \{(1-q\; ^\; \{i\})\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; d\; |\; n\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \; leq\; d\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; end\; \{matrix\; \}\}\; \{\backslash \; binom\; \{\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; -\; m\; +\; k\}\; \{k\}\}\; a\_\; \{d\}.\}$

Теперь, если мы определим функции $A\; t\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{t\}\; (n)\}$для любого $n,\; t\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n,\; t\; \backslash \; geq\; 1\}$по

$A\; t\; (n)\; :\; =\; \sum \; 0\; \le \; k\; \le \; m\; \le \; t\; 0\; \le \; r\; \le \; t\; \sum \; d\; |\; п\; [т\; м]\; \{м\; к\}\; (т\; -\; к\; р)\; (п\; д\; -\; 1\; -\; г\; +\; к\; к)\; (-\; 1)\; т\; -\; к\; -\; р\; к!\; дм\; \cdot \; объявление\; \cdot \; [t\; \le \; d\; \le \; \lfloor \; nr\; +\; 1\; \rfloor ]\; \delta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{t\}\; (n):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; leq\; r\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; |\; n\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; t\; \backslash \backslash \; m\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{матрица\}\; m\; \backslash \backslash \; k\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \{\backslash \; binom\; \{tk\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{d\}\}\; -\; 1-r\; +\; k\}\; \{k\; \}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{tkr\}\; k!\; D\; ^\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; a\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [t\; \backslash \; leq\; d\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{r\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; delta\},\}$

где $[\cdot ]\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; cdot]\; \_\; \{\backslash \; delta\}\}$обозначает соглашение Айверсона, тогда у нас есть коэффициенты для $tth\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{th\}\}$производных ряда Ламберта, заданных как

$A\; t\; (n)\; =\; [qn]\; (\; qt\; \cdot \; D\; (t)\; [\sum \; i\; \ge \; taiqi\; 1\; -\; qi])\; =\; [qn]\; (\sum \; n\; \ge \; 1\; (A\; t\; \ast \; \mu )\; (n)\; qn\; 1\; -\; qn).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; A\_\; \{t\}\; (n)\; =\; [q\; ^\; \{n\}]\; \backslash \; left\; (q\; ^\; \{t\}\; \backslash \; cdot\; D\; ^\; \{(t)\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; geq\; t\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{i\}\; q\; ^\; \{i\}\}\; \{1-q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; [q\; ^\; \{n\}]\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(A\_\; \{t\}\; \backslash \; ast\; \backslash \; mu)\; (n)\; q\; ^\; \{n\}\}\; \{1-q\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\; \}$

Конечно, с помощью типичного аргумента, чисто операций с формальными степенными рядами, мы также имеем, что

$[qn]\; (qt\; \cdot \; D\; (t)\; [\sum \; i\; \ge \; 1\; f\; (i)\; qi\; 1\; -\; qi])\; =\; п!\; (п\; -\; т)!\; \cdot \; (f\; \ast \; 1)\; (n).\; \{\backslash \; Displaystyle\; [д\; ^\; \{п\}]\; \backslash \; влево\; (д\; ^\; \{т\}\; \backslash \; CDOT\; D\; ^\; \{(т)\}\; \backslash \; влево\; [\backslash \; сумма\; \_\; \{я\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; (я)\; д\; ^\; \{\; i\}\}\; \{1-q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nt)!\}\}\; \backslash \; cdot\; (f\; \backslash \; ast\; 1)\; (n).\}$

• Константа Эрдеша – Борвейна
• Арифметическая функция
• Свертка Дирихле

• Берри, Майкл В. (2010). Функции теории чисел. КЕМБРИДЖСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРЕСС. С. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Ламберт, Престон А. (1904). «Разложения алгебраических функций в особых точках». Proc. Am. Филос. Soc. 43 (176): 164–172. JSTOR 983503.
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. «Серия Ламберта». MathWorld.
• Шмидт, Макси Дион (2020-04-06). «Каталог интересных и полезных тождеств серии Ламберта». arXiv :2004.02976 [math.NT impression.