Теорема о перехвате

редактировать

На соотношениях отрезков линии, образованных, когда 2 пересекающиеся линии разрезаны парой параллелей

Теорема о перехвате, также известная как теорема Фалеса или основная теорема пропорциональности, является важной теоремой в элементарной геометрии о соотношениях различных линий сегменты, которые создаются, если две пересекающиеся линии пересекаются парой параллелей. Это эквивалентно теореме о соотношениях в подобных треугольниках. Традиционно его приписывают греческому математику Фалесу.

Содержание

1 Формулировка
2 Понятия, связанные с данным
- 2.1 Сходство и похожие треугольники
- 2.2 Скалярное умножение в векторных пространствах
3 Приложения
- 3.1 Алгебраическая формулировка конструкций компаса и линейки
- 3.2 Разделение отрезка прямой с заданным соотношением
- 3.3 Измерение и съемка
  - 3.3.1 Высота пирамиды Хеопса
  - 3.3.2 Измерение ширины река
- 3.4 Параллельные линии в треугольниках и трапециях
4 Доказательство
- 4.1 Утверждение 1
- 4.2 Утверждение 2
- 4.3 Утверждение 3
- 4.4 Утверждение 4
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Формулировка

Предположим, что S - точка пересечения двух прямых, а A, B - точки пересечения первой линии с двумя параллелями, так что B находится дальше от S, чем A и аналогично C, D являются пересечениями второй линии с двумя параллелями, так что D находится дальше от S, чем C.

Соотношения любых двух сегментов на первой линии eq uals соотношения соответствующих сегментов во второй строке: $| S A | : | A B | = | S C | : | C D | {\ displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$ $|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$ , $| S B | : | A B | = | S D | : | C D | {\ displaystyle | SB |: | AB | = | SD |: | CD |}$ $| SB |: | AB | = | SD |: | CD |$ , $| S A | : | S B | = | S C | : | S D | {\ displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD |}$ $| SA |: | SB | = | SC |: | SD |$
Отношение двух сегментов на одной прямой, начинающейся с S, равно отношению сегментов на параллелях: $| S A | : | S B | = | S C | : | S D | = | A C | : | B D | {\ displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD | = | AC |: | BD |}$ $| SA |: | SB | = | SC |: | SD | = | AC |: | BD |$
Верно и обратное к первому утверждению, т.е. если две пересекающиеся линии перехватываются две произвольные строки и $| S A | : | A B | = | S C | : | C D | {\ displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$ $|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$ удерживается, тогда две пересекающие линии параллельны. Однако обратное второму утверждению неверно.
Если у вас есть более двух пересекающихся в S прямых, то соотношение двух сегментов на параллели равно отношению соответствующих сегментов на другой параллели: $| A F | : | B E | = | F C | : | E D | {\ displaystyle | AF |: | BE | = | FC |: | ED |}$ ${\ displaystyle | AF |: | BE | = | FC |: | ED |}$ , $| A F | : | F C | = | B E | : | E D | {\ displaystyle | AF |: | FC | = | BE |: | ED |}$ ${\ displaystyle | AF |: | FC | = | BE |: | ED |}$

Пример для случая трех строк приведен на втором рисунке ниже.

Первая теорема о пересечении показывает отношения сечения от линий, второй - отношения сечений от линий, а также сечений от параллелей, наконец, третий показывает отношения сечений от параллелей.

Понятия, связанные с данным

Сходство и похожие треугольники

Расположение двух похожих треугольников, чтобы можно было применить теорему о перехвате

Теорема о перехвате тесно связана с подобием. Это эквивалентно концепции похожих треугольников, то есть может использоваться для доказательства свойств подобных треугольников, а похожие треугольники могут использоваться для доказательства теоремы о перехвате. Сопоставляя одинаковые углы, вы всегда можете поместить два одинаковых треугольника друг в друга, чтобы получить конфигурацию, в которой применяется теорема о пересечении; и , наоборот, конфигурация теоремы о перехвате всегда содержит два одинаковых треугольника.

Скалярное умножение в векторных пространствах

В нормированном векторном пространстве аксиомы , касающиеся скалярного умножения (в частности $λ ⋅ (a → + b →) знак равно λ ⋅ a → + λ ⋅ b → {\ displaystyle \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) = \ lambda \ cdot {\ vec {a}} + \ lambda \ cdot {\ vec {b}}}$ $\ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) = \ lambda \ cdot {\ vec {a}} + \ lambda \ cdot {\ vec {b}}$ и $‖ λ a → ‖ = | λ | ⋅ ‖ a → ‖ {\ displaystyle \ | \ lambda {\ vec {a}} \ | = | \ lambda | \ cdot \ \ | {\ vec {a}} \ |}$ $\ | \ lambda {\ vec {a}} \ | = | \ lambda | \ cdot \ \ | {\ vec {a}} \ |$ ) убедитесь, что выполняется теорема о перехвате. Имеем $‖ λ ⋅ a → ‖ ‖ a → ‖ = ‖ λ ⋅ b → ‖ ‖ b → ‖ = ‖ λ ⋅ (a → + b →) ‖ ‖ a → + b → ‖ = | λ | {\ displaystyle {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {a}} \ |} {\ | {\ vec {a}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {b}} \ |} {\ | {\ vec {b}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}})) \ |} {\ | {\ vec {a}} + {\ vec {b}} \ |}} = | \ lambda |}$ ${\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {a}} \ |} {\ | {\ vec {a}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {b}} \ |} {\ | {\ vec {b}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) \ |} {\ | {\ vec {a}} + {\ vec {b}} \ |}} = | \ lambda |$

Приложения

Алгебраическая формулировка конструкций компаса и линейки

Есть три известные проблемы элементарной геометрии, которые были поставлены греками в терминах построения циркуля и линейки :

Это потребовалось более 2000 лет, пока все три из них не были окончательно продемонстрированы в XIX веке с использованием данных инструментов, с использованием алгебраических методов, которые стали доступными в тот период времени. Чтобы переформулировать их в алгебраических терминах с использованием расширений полей, необходимо сопоставить полевые операции с конструкциями компаса и линейки (см. конструктивное число ). В частности, важно гарантировать, что для двух данных сегментов линии можно построить новый сегмент, длина которого равна произведению длин двух других. Точно так же нужно иметь возможность построить для отрезка линии длиной $a {\ displaystyle a}$ $a$ новый отрезок линии длиной $a - 1 {\ displaystyle a ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ . Теорема о перехвате может использоваться, чтобы показать, что в обоих случаях такая конструкция возможна.

Построение продукта

Построение инверсии

Разделение отрезка прямой с заданным соотношением

Чтобы разделить произвольный отрезок линии $AB ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ overline {AB}}$ в соотношении $m: n {\ displaystyle m: n}$ $m: n$ , нарисуйте произвольный угол в A с помощью $AB ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB} }}$ ${\ overline {AB}}$ одной ногой. На другой ноге постройте $m + n {\ displaystyle m + n}$ $m + n$ равноудаленных точек, затем проведите линию через последнюю точку и B и параллельную линию через m-ю точку. Эта параллельная линия делит $A B ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ overline {AB}}$ в нужном соотношении. На рисунке справа показано разбиение отрезка $AB ¯ {\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ overline {AB}}$ в $5: 3 {\ displaystyle 5: 3}$ $5: 3$ соотношение.

Измерение и исследование

Высота пирамиды Хеопса

измерительные элементы

вычисление C и D

Согласно некоторым историческим источникам греческий математик Фалес применил теорему о перехвате, чтобы определить высоту пирамиды Хеопса. Следующее описание иллюстрирует использование теоремы о перехвате для вычисления высоты пирамиды. Однако в нем не упоминается оригинальная работа Фалеса, которая была утеряна.

Фалес измерил длину основания пирамиды и высоту своего столба. Затем в то же время дня он измерил длину тени пирамиды и длину тени столба. Это дало следующие данные:

высота столба (A): 1,63 м
тень столба (B): 2 м
длина основания пирамиды: 230 м
тень пирамиды: 65 м

Из этого он вычислил

C = 65 м + 230 м 2 = 180 м {\ displaystyle C = 65 ~ {\ text {m}} + {\ frac {230 ~ {\ text {m}}} {2}} = 180 ~ {\ text {m}}}

C = 65 ~ {\ text {m}} + {\ frac {230 ~ {\ text {m}}} {2}} = 180 ~ {\ text {m}}

Зная A, B и C, он теперь мог применить теорему о перехвате для вычисления

D знак равно C ⋅ AB знак равно 1,63 м ⋅ 180 м 2 м = 146,7 м {\ displaystyle D = {\ frac {C \ cdot A} {B}} = {\ frac {1,63 ~ {\ text {m}} \ cdot 180 ~ {\ text {m}}} {2 ~ {\ text {m}}}} = 146.7 ~ {\ text {m}}}

D = {\ frac {C \ cdot A} {B}} = {\ frac {1.63 ~ {\ text {m}} \ cdot 180 ~ {\ text {m}}} {2 ~ {\ text {m}}}} = 146.7 ~ {\ text {m}}

Измерение ширины реки

Теорема о перехвате может быть используется для определения расстояния, которое нельзя измерить напрямую, например ширины реки или озера, высоты высоких зданий и т. д. График справа показывает измерение ширины реки. Сегменты $| C F | {\ displaystyle | CF |}$ $| CF |$ , $| C A | {\ displaystyle | CA |}$ $| CA |$ , $| F E | {\ displaystyle | FE |}$ $| FE |$ измеряются и используются для вычисления желаемого расстояния $| A B | = | A C | | F E | | F C | {\ displaystyle | AB | = {\ frac {| AC || FE |} {| FC |}}}$ $| AB | = {\ frac {| AC || FE |} {| FC |}}$ .

Параллельные прямые в треугольниках и трапециях

Теорема о перехвате может использоваться для доказательства того, что некоторая конструкция дает параллельную линию (отрезок) s.

Если середины двух сторон треугольника соединены, полученный отрезок параллелен третьей стороне треугольника (теорема о средней точке треугольников).

Если середины двух непараллельных сторон трапеции соединены, то результирующий отрезок прямой параллелен двум другим сторонам трапеции.

Доказательство

В элементарном доказательстве теоремы используются треугольники одинаковой площади для вывода основных утверждений о соотношениях (п.1). Затем следуют другие утверждения с применением первого утверждения и противоречия.

Пункт 1

Начиная с $CA ∥ BD {\ displaystyle CA \ parallel BD}$ $CA \ paralle l BD$ , высоты $△ CDA {\ Displaystyle \ треугольник CDA}$ $\ треугольник CDA$ и $△ CBA {\ displaystyle \ треугольник CBA}$ $\ треугольник CBA$ имеют одинаковую длину. Поскольку эти треугольники имеют одинаковую базовую линию, их площади идентичны. Итак, у нас есть $| △ C D A | = | △ C B A | {\ Displaystyle | \ треугольник CDA | = | \ треугольник CBA |}$ $| \ треугольник CDA | = | \ треугольник CBA |$ и, следовательно, $| △ S C B | = | △ S D A | {\ Displaystyle | \ треугольник SCB | = | \ треугольник SDA |}$ $| \ треугольник SCB | = | \ треугольник SDA |$ . Это дает

$| △ S C A | | △ C D A | = | △ S C A | | △ C B A | {\ Displaystyle {\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник CDA |}} = {\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник CBA |}}}$ ${\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник CDA |}} = {\ frac {| \ треугольник SCA | } {| \ треугольник CBA |}}$ и $| △ S C A | | △ S D A | = | △ S C A | | △ S C B | {\ Displaystyle {\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник SDA |}} = {\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник SCB |}}}$ ${\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник SDA |}} = {\ frac {| \ треугольник SCA |} {| \ треугольник SCB |}}$

Вставка формулы для треугольника области ( $базовая линия ⋅ высота 2 {\ displaystyle {\ tfrac {{\ text {baseline}} \ cdot {\ text {altitude}}} {2}}}$ ${\ tfrac {{\ text {baseline}} \ cdot {\ text {altitude}}} {2}}$ ) преобразует это в

$| S C | | A F | | C D | | A F | = | S A | | E C | | A B | | E C | {\ displaystyle {\ frac {| SC || AF |} {| CD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| AB || EC |}}}$ ${\ frac {| SC || AF |} {| CD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| AB || EC |}}$ и $| S C | | A F | | S D | | A F | = | S A | | E C | | S B | | E C | {\ displaystyle {\ frac {| SC || AF |} {| SD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| SB || EC |}}}$ ${\ frac {| SC || AF |} {| SD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| SB || EC |}}$

Отмена общие факторы приводят к:

(a) $| S C | | C D | = | S A | | A B | {\ displaystyle \, {\ frac {| SC |} {| CD |}} = {\ frac {| SA |} {| AB |}}}$ $\, {\ frac {| SC |} {| CD |}} = {\ frac {| SA |} {| AB |}}$ и (b) $| S C | | S D | = | S A | | S B | {\ displaystyle \, {\ frac {| SC |} {| SD |}} = {\ frac {| SA |} {| SB |}}}$ $\, {\ frac {| SC |} {| SD |}} = {\ frac {| SA |} {| SB |}}$

Теперь используйте (b) для замены $| S A | {\ displaystyle | SA |}$ $|SA|$ и $| S C | {\ displaystyle | SC |}$ $| SC |$ в (a): $| S A | | S D | | S B | | C D | = | S B | | S C | | S D | | A B | {\ displaystyle {\ frac {\ frac {| SA || SD |} {| SB |}} {| CD |}} = {\ frac {\ frac {| SB || SC |} {| SD |}} {| AB |}}}$ ${\ frac {\ frac {| SA || SD |} {| SB |}} {| CD |}} = {\ frac {\ frac {| SB || SC |} {| SD | }} {| AB |}}$

Снова использование (b) упрощает до: (c) $| S D | | C D | = | S B | | A B | {\ displaystyle \, {\ frac {| SD |} {| CD |}} = {\ frac {| SB |} {| AB |}}}$ $\, {\ frac {| SD |} {| CD |}} = {\ frac {| SB |} {| AB |}}$ $◻ {\ displaystyle \, \ square}$ $\, \ квадрат$

Пункт 2

Проведите дополнительную параллель к $SD {\ displaystyle SD}$ $SD$ через A. Эта параллель пересекает $BD {\ displaystyle BD}$ $BD$ в G. Тогда один имеет $| A C | = | D G | {\ displaystyle | AC | = | DG |}$ $| AC | = | DG |$ и по п.1 $| S A | | S B | = | D G | | B D | {\ displaystyle {\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| DG |} {| BD |}}}$ ${\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| DG |} {| BD |}}$ и, следовательно, $| S A | | S B | = | A C | | B D | {\ displaystyle {\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| AC |} {| BD |}}}$ ${\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| AC |} { | BD |}}$

$◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Утверждение 3

Допустим, $AC {\ displaystyle AC}$ $AC$ и $BD {\ displaystyle BD}$ $BD$ не параллельны. Затем параллельная линия от $AC {\ displaystyle AC}$ $AC$ до $D {\ displaystyle D}$ $D$ пересекает $SA {\ displaystyle SA}$ $SA$ в $B 0 ≠ B {\ displaystyle B_ {0} \ neq B}$ $B_ {0} \ neq B$ . Начиная с $| S B | : | S A | = | S D | : | S C | {\ displaystyle | SB |: | SA | = | SD |: | SC |}$ $|SB|:|SA|=|SD|:|SC|$ верно, мы имеем. $| S B | = | S D | | S A | | S C | {\ displaystyle | SB | = {\ frac {| SD || SA |} {| SC |}}}$ $| SB | = {\ frac {| SD || SA | } {| SC |}}$ . и, с другой стороны, из пункта 2 мы имеем. $| S B 0 | = | S D | | S A | | S C | {\ displaystyle | SB_ {0} | = {\ frac {| SD || SA |} {| SC |}}}$ $| SB_ {0} | = {\ frac {| SD || SA |} {| SC |}}$ .. Итак, $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $B 0 {\ displaystyle B_ {0}}$ $B_ {0}$ находятся на одной стороне от $S {\ displaystyle S}$ $S$ и находятся на одинаковом расстоянии от $S {\ displaystyle S}$ $S$ , что означает $B = B 0 {\ displaystyle B = B_ {0}}$ $B = B_ {0}$ . Это противоречие, поэтому предположение не могло быть верным, что означает, что $AC {\ displaystyle AC}$ $AC$ и $BD {\ displaystyle BD}$ $BD$ действительно параллельны $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Утверждение 4

Утверждение 4 можно показать, применив теорему о перехвате для двух строк.

Примечания

^ Никаких оригинальных работ Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, приписывающие ему теорему о перехвате или связанные с ним знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртий и Плиний дают описание, которое, строго говоря, не требует теоремы о перехвате, но может полагаться только на простое наблюдение, а именно, что в определенный момент дня продолжительность тень объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 век до н.э.) о Фалесе: «Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, делая наблюдение в тот час, когда наша тень имеет ту же длину, что и мы (т.е. наш собственный рост). ". Плиний пишет: «Фалес открыл, как получить высоту пирамид и всех других подобных объектов, а именно, измерив тень от объекта в то время, когда тело и его тень равны по длине». Однако Плутарх дает отчет, который может свидетельствовать о том, что Фалес знал теорему о перехвате или, по крайней мере, ее частный случай: «... без проблем или помощи какого-либо инструмента [он] просто подставил палку в крайняя часть тени, отбрасываемой пирамидой, и, таким образом образовав два треугольника на пересечении солнечных лучей,... показал, что пирамида имеет такое же отношение к палке, что и тень [пирамиды] к тени [ палки] ". (Источник: биография Фалеса из MacTutor, (переведенные) оригинальные работы Плутарха и Лаэртия: Моралия, Ужин семи мудрецов, 147A и Жизни выдающихся философов, Глава 1. Фалес, параграф 27 )
^Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Правитель и Круг, Довер, стр. 3, ISBN 0-486-42515-0
^Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Vieweg. Pp. 5–7. ISBN 3-528-07243- 1.
^Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории. Springer. Стр. 7. ISBN 978-3-642-29163-0.(онлайн-копия, стр. 7, в Google Books )
^Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). UTB Schöningh. Pp. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.

Ссылки

Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). UTB Schöningh. Pp. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.
Леппиг, Манфред (1981). Lernstufen Mathematik (на немецком языке). Girardet. Pp. 157–170. ISBN 3-7736-200 5-5.
Агрикола, Илка ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия. AMS. С. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.(онлайн-копия, стр. 10, в Google Книги )
Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии. Springer. п. 34. ISBN 978-0-387-25530-9.(онлайн-копия, стр. 34, в Google Книги )
Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия в истории. Springer. Стр. 3 –7. ISBN 978-3-642-29163-0.(онлайн-копия, стр. 3, в Google Книги )

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с теоремой о перехвате.

теоремой о перехвате в PlanetMath
Александр Богомольный: Теоремы Фалеса и, в частности, Теоремы Фалеса на Вырезать-Узел