Гипограф (математика)

В математике, то подграфика или подграф из функции является множество точек, лежащих на или ниже ее график. Связанное с этим определение - это определение эпиграфа такой функции, который представляет собой набор точек на графике функции или над ним. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Домена (а не кообласть ) функция не является особенно важной для этого определения; это может быть произвольный набор вместо. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

• 1 Определение
• 2 свойства
• 3 См. Также
• 4 цитаты
• 5 ссылки

Определение подграфика было вдохновлено, что из графика функции, где график из определяется как множество ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {graph} f: = \ left \ {(x, y) \ in X \ times Y ~: ~ y = f (x) \ right \}.}$

Подграфик или подграф функции оценивается в расширенных действительных чисел есть множество ${\ displaystyle f: X \ to [- \ infty, \ infty]}$ ${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty] = \ mathbb {R} \ чашка \ {\ pm \ infty \}}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {hyp} f amp; = \ left \ {(x, r) \ in X \ times \ mathbb {R} ~: ~ r \ leq f (x) \ right \} \\ amp; = \ left [f ^ {- 1} (\ infty) \ times \ mathbb {R} \ right] \ cup \ bigcup _ {x \ in f ^ {- 1} (\ mathbb {R})} \ {x \} \ times (- \ infty, f (x)]. \ end {alignat}}}$

Точно так же множество точек на функции или над ней является ее надграфиком. Строгая подграфик является подграфик с графиком удалены:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ operatorname {hyp} _ {S} f amp; = \ left \ {(x, r) \ in X \ times \ mathbb {R} ~: ~ r lt;f (x) \ right \} \\ amp; = \ operatorname {hyp} f \ setminus \ operatorname {graph} f \\ amp; = \ bigcup _ {x \ in X} \ {x \} \ times (- \ infty, f ( x)). \ end {alignat}}}$

Несмотря на то, что в качестве значения может приниматься одно (или оба) из (в этом случае его график не будет подмножеством), эпиграф тем не менее определяется как подмножество, а не из${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ pm \ infty}$${\ Displaystyle X \ раз \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle X \ раз \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X \ times [- \ infty, \ infty].}$

Подграфик функции является пустым, если и только если тождественно равна отрицательной бесконечности. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее гипограф является выпуклым множеством. Гипограф вещественной аффинной функции - это полупространство в${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}.}$

Функция полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда ее гипограф замкнут.

• Действующий домен
• Эпиграф (математика)
• Правильная выпуклая функция

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science amp; Business Media. ISBN   9783642024313. OCLC   883392544.

• v
• т
• е