Семейство наборов

редактировать

В теории множеств и связанных разделах математики, коллекция F подмножеств заданный набор S называется семейством подмножеств S или семейством множеств над S. В более общем смысле, совокупность любых наборов вообще называется семейство наборов или набор-семейство или набор-система .

Термин «набор» используется здесь, потому что в некоторых контекстах семейство наборов может может содержать повторяющиеся копии любого заданного члена, а в других контекстах он может образовывать правильный класс, а не набор.

Конечное семейство подмножеств конечного множества S также называется гиперграфом.

Содержание
  • 1 Примеры
  • 2 Специальные типы семейств множеств
  • 3 Свойства
  • 4 Понятия, связанные с данным
  • 5 См. Также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки
Примеры
  • Power set P(S) - это семейство наборов над S.
  • k-подмножества S множества S образуют семейство множеств.
  • Пусть S = {a, b, c, 1, 2}, пример семейства множеств над S (в смысле мультимножество ) дается формулой F = {A 1, A 2, A 3, A 4 }, где A 1 = {a, b, c}, A 2 = {1,2}, A 3 = {1,2} и A 4 = {a, b, 1}.
  • Порядок класса всех порядковых чисел большое семейство наборов; то есть сам по себе не является набором, а вместо этого является надлежащим классом.
Специальные типы семейств множеств

A Семейство Спернера - это семейство наборов, в котором ни один из наборов не содержит ни одного из другие. Теорема Спернера ограничивает максимальный размер семьи Спернер.

A Семейство Хелли - это семейство множеств, такое что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

абстрактный симплициальный комплекс - это семейство множеств F, которое является закрытым вниз, т. Е. Каждое подмножество множества в F является также в F. A матроид - абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым свойством увеличения.

Свойства
  • Любое семейство подмножеств S само по себе является подмножеством набора степеней P (S), если оно не имеет повторяющихся членов.
  • Любое семейство наборы без повторений являются подклассом надлежащего класса V всех наборов (теорема брака вселенной ).
  • Холла, из-за Филипа Холла, дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечное семейство непустых множеств (разрешено повторение) имело систему различных представителей.
Связанные понятия

Определенные типы объектов из других областей математика эквивалентна семействам множеств в том смысле, что их можно описать просто как совокупность множеств объектов определенного типа:

  • A гиперграф, также называемый системой множеств, образован множеством вершин вместе с другим набором гиперребер, каждое из которых может быть произвольным набором. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, имеющий объединение множеств как его ve rtices.
  • абстрактный симплициальный комплекс - это комбинаторная абстракция понятия симплициального комплекса, формы, образованной объединениями отрезков прямых, треугольников, тетраэдров и многомерные симплексы, соединенные лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представлен просто как множество его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторений, в котором подмножества любого множества в семействе также принадлежат семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
  • структура инцидентности состоит из набора точек, набор линий и (произвольное) бинарное отношение, называемое отношением инцидентности, определяющее, какие точки каким линиям принадлежат. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две различные линии содержат один и тот же набор точек), наборы точек, принадлежащие каждой линии, и любое семейство множеств могут быть интерпретированы таким образом как структура инцидентности.
  • Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых представляет собой строку , состоящую из нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большое расстояние Хэмминга, его можно использовать как код с исправлением ошибок. Блочный код также можно описать как семейство наборов, описывая каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
  • A топологическое пространство состоит из пары (X, τ), где X - это множество (называемых точками), а τ - это семейство множеств (называемых открытыми множествами) над X. τ должно содержать как пустое множество, так и само X, и замкнуто при объединении множеств и пересечении конечных множеств.
См. также
Примечания
Ссылки
  • Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
  • Бруальди, Ричард А. (2010), Введение в комбинаторику (5-е изд.), Верхняя Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл, ISBN 0-13-602040-2
  • Робертс, Фред С.; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9
Внешние ссылки
  • Связанные со СМИ на Установить семейства на Wikimedia Commons
Последняя правка сделана 2021-05-20 10:10:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте