Эластичность замены

Эластичность замены - это эластичность отношения двух ресурсов к производству (или полезность) по отношению к соотношению их предельных продуктов (или полезностей). На конкурентном рынке он измеряет процентное изменение соотношения двух используемых ресурсов в ответ на процентное изменение их цен. Это дает общее представление о кривизне изокванты, но технически не связано с геометрической кривизной. Таким образом, взаимозаменяемость между ресурсами (или товарами), т.е. насколько легко заменить одни ресурсы (или товар) на другие.

• 1 История концепции
• 2 Определение
• 3 Пример
• 4 Экономическая интерпретация
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Джон Хикс представил концепцию в 1932 году. Джоан Робинсон независимо открыла его в 1933 году, используя математическую формулировку, эквивалентную формуле Хикса, хотя в то время это не было реализовано.

Общее определение эластичности X относительно Y составляет $EYX\; =\%\; изменение\; X\%\; изменение\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{Y\}\; ^\; \{X\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \%\; \backslash \; \{\backslash \; t\_dv\; \{изменение\; X\}\}\}\; \{\; \backslash \%\; \backslash \; \{\backslash \; t\_dv\; \{изменение\; в\; Y\}\}\}\}\}$, что сокращается до $EYX\; =\; d\; X\; d\; YYX\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{Y\}\; ^\; \{X\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; dX\}\; \{dY\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{X\}\}\}$для бесконечно малых изменений и дифференцируемых переменных. Эластичность замещения - это изменение соотношения использования двух товаров по отношению к соотношению их предельной стоимости или цен. Чаще всего используется соотношение капитала (K) и рабочей силы (L) по отношению к соотношению их предельных продуктов $MPK\; \{\backslash \; displaystyle\; MP\_\; \{K\}\}$и $MPL\; \{\backslash \; displaystyle\; MP\_\; \{L\}\}$или стоимости аренды (r) и заработной платы (w). Другое приложение - соотношение потребительских товаров 1 и 2 по отношению к соотношению их предельных полезностей или их цен. Начнем с приложения потребления.

Пусть избыточное потребление полезности определяется как $U\; (c\; 1,\; c\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (c\_\; \{1\},\; c\_\; \{2\})\}$и пусть $U\; ci\; =\; d\; U\; (c\; 1,\; c\; 2)\; /\; dci\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{c\_\; \{i\}\}\; =\; dU\; (c\_\; \{1\},\; c\_\; \{2\})\; /\; d\; \{c\_\; \{i\}\}\}$. Тогда эластичность замены равна:

$E\; 21\; =\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (MRS\; 12)\; =\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (U\; c\; 1\; /\; U\; c\; 2)\; =\; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; c\; 2\; /\; c\; 1\; d\; (U\; c\; 1\; /\; U\; c\; 2)\; U\; c\; 1\; /\; U\; c\; 2\; =\; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; c\; 2\; /\; c\; 1\; d\; (\; p\; 1\; /\; p\; 2)\; p\; 1\; /\; p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (MRS\_\; \{12\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (U\_\; \{c\_\; \{1\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (U\_\; \{c\_\; \{1\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{2\}\})\}\; \{\; U\_\; \{c\_\; \{1\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{2\}\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\}\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (p\_\; \{1\}\; /\; p\_\; \{2\})\}\; \{p\_\; \{1\}\; /\; p\_\; \{2\}\}\}\}\}$

где $MRS\; \{\backslash \; displaystyle\; MRS\}$- предельная норма замещения. Последнее равенство представляет $MRS\; 12\; =\; p\; 1\; /\; p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; MRS\_\; \{12\}\; =\; p\_\; \{1\}\; /\; p\_\; \{2\}\}$, которое является отношением из условия первого порядка для Задача максимизации потребительской полезности во внутреннем равновесии Эрроу – Дебре. Интуитивно мы смотрим на то, как меняется относительный выбор потребителя в отношении предметов потребления по мере изменения их относительных цен.

Также обратите внимание, что $E\; 21\; =\; E\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{21\}\; =\; E\_\; \{12\}\}$:

$E\; 21\; =\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (\; U\; c\; 1\; /\; U\; c\; 2)\; =\; d\; (-\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1))\; d\; (-\; ln\; \; (U\; c\; 1\; /\; U\; c\; 2))\; =\; d\; ln\; \; (c\; 1\; /\; c\; 2)\; d\; ln\; \; (U\; с\; 2\; /\; U\; с\; 1)\; =\; E\; 12\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (U\_\; \{c\_\; \{1\; \}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\; \backslash \; right)\}\; \{d\; \backslash \; left\; (-\; \backslash \; ln\; (U\_\; \{c\_\; \{1\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{2\}\})\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{1\}\; /\; c\_\; \{2\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (U\_\; \{c\_\; \{2\; \}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{1\}\})\}\}\; =\; E\_\; \{12\}\}$

Эквивалентная характеристика эластичности замещения:

$E\; 21\; =\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (MRS\; 12)\; =\; -\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (MRS\; 21)\; =\; -\; d\; ln\; \; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; ln\; \; (U\; c\; 2\; /\; U\; c\; 1)\; =\; -\; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; c\; 2\; /\; c\; 1\; d\; (U\; c\; 2\; /\; U\; c\; 1)\; U\; c\; 2\; /\; U\; c\; 1\; =\; -\; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; c\; 2\; /\; c\; 1\; d\; (p\; 2\; /\; п\; 1)\; п\; 2\; /\; п\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (MRS\_\; \{12\})\}\}\; =\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (MRS\_\; \{21\})\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\; \}\; \{d\; \backslash \; ln\; (U\_\; \{c\_\; \{2\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{1\}\})\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (U\_\; \{c\_\; \{2\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{1\}\})\}\; \{U\_\; \{c\_\; \{2\}\}\; /\; U\_\; \{c\_\; \{1\}\}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\})\}\; \{c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\})\}\; \{p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\}\}\}\}\}$

В моделях с дискретным временем эластичность замещения потребления в периодах $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и $t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; +\; 1\}$известен как эластичность межвременного замещения.

Аналогично, если производственная функция равна $f\; (x\; 1,\; x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\}$, то эластичность замещения равна:

$\sigma \; 21\; =\; d\; ln\; \; (x\; 2\; /\; x\; 1)\; d\; ln\; \; MRTS\; 12\; =\; d\; ln\; \; (x\; 2\; /\; x\; 1)\; d\; ln\; \; (dfdx\; 1\; /\; dfdx\; 2)\; =\; d\; (x\; 2\; /\; x\; 1)\; x\; 2\; /\; x\; 1\; d\; (dfdx\; 1\; /\; dfdx\; 2)\; dfdx\; 1\; /\; dfdx\; 2\; =\; -\; d\; (x\; 2\; /\; x\; 1)\; x\; 2\; /\; x\; 1\; d\; (dfdx\; 2\; /\; dfdx\; 1)\; dfdx\; 2\; /\; dfdx\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; MRTS\_\; \{12\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (\{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{1\}\}\}\; /\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{2\}\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\})\}\; \{x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (\{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{1\}\}\}\; /\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{2\}\}\})\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{1\}\}\}\; /\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{2\}\}\}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\})\}\; \{x\_\; \{2\}\; /\; x\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (\{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{2\}\}\}\; /\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{1\}\}\})\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{2\}\}\}\; /\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\_\; \{1\}\}\}\}\}\}\}$

где $MRTS\; \{\backslash \; displaystyle\; MRTS\}$- предельная скорость технического замещения.

Обратная эластичность замещения: эластичность дополнительности.

Рассмотрим производственную функцию Кобба – Дугласа $f\; (x\; 1,\; x\; 2)\; =\; x\; 1\; ax\; 2\; 1\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\})\; =\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{a\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{1-a\}\}$.

Предельная норма технической замены составляет

$MRTS\; 12\; =\; a\; 1-ax\; 2\; x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; MRTS\_\; \{12\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1-a\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\}\}$

Удобно изменять обозначения. Обозначим

$x\; 2\; x\; 1\; =\; 1\; -\; aa\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{a\}\}\; \backslash \; theta\}$

Тогда эластичность замены равна

$\sigma \; 21\; =\; d\; ln\; \; (x\; 2\; x\; 1)\; d\; ln\; \; MRTS\; 12\; =\; d\; ln\; \; (x\; 2\; x\; 1)\; d\; ln\; \; (a\; 1\; -\; ax\; 2\; Икс\; 1)\; знак\; равно\; d\; пер\; \; (1\; -\; аа\; \theta )\; d\; пер\; \; (\theta )\; =\; d\; 1\; -\; аа\; \theta \; d\; \theta \; \theta \; 1\; -\; аа\; \theta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{21\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; MRTS\_\; \{12\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\})\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{1-a\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{2\}\}\; \{x\_\; \{1\}\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; ln\; (\{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{a\}\}\; \backslash \; theta)\}\; \{d\; \backslash \; ln\; (\backslash \; theta)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{a\}\}\; \backslash \; theta\}\; \{\; d\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{a\}\}\; \backslash \; theta\}\}\; =\; 1\}$

Экономическая интерпретация

Учитывая исходное распределение / комбинацию и конкретной замены при распределении / комбинации для исходной, тем больше величина эластичности замещения (предельная ставка эластичности замещения e относительное распределение) означает, что вероятность замены выше. У рынка всегда есть 2 стороны; здесь мы говорим о получателе, поскольку эластичность предпочтений - это эластичность получателя.

Эластичность замещения также определяет, как изменяются относительные расходы на товары или вводимые факторы при изменении относительных цен. Пусть $S\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{21\}\}$обозначает расходы на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$относительно расходов на $c.\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$. То есть:

$S\; 21\; \equiv \; p\; 2\; c\; 2\; p\; 1\; c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{21\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\; c\_\; \{2\}\}\; \{p\_\; \{1\}\; c\_\; \{1\}\}\}\; \}$

При изменении относительной цены $p\; 2\; /\; p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\}\}$относительные расходы изменяются согласно:

$d\; S\; 21\; d\; (p\; 2\; /\; p\; 1)\; =\; c\; 2\; c\; 1\; +\; p\; 2\; p\; 1\; \cdot \; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; (p\; 2\; /\; p\; 1)\; =\; c\; 2\; c\; 1\; [1\; +\; d\; (c\; 2\; /\; c\; 1)\; d\; (п\; 2\; /\; п\; 1)\; \cdot \; п\; 2\; /\; p\; 1\; c\; 2\; /\; c\; 1]\; =\; c\; 2\; c\; 1\; (1\; -\; E\; 21)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{21\}\}\; \{d\; \backslash \; left\; (p\_\; \{\; 2\}\; /\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\}\; \{p\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; left\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\; \{d\; \backslash \; left\; (p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; left\; (c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\; \{d\; \backslash \; left\; (p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\; /\; p\_\; \{1\}\}\; \{c\_\; \{2\}\; /\; c\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; left\; (1-E\_\; \{21\}\; \backslash \; right)\}$

Таким образом, приводит ли увеличение относительной цены $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$к увеличению или уменьшение относительных расходов на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$зависит от того, длительность замены меньше или больше единицы.

Интуитивно понятно, что прямым следствием повышения относительной цены $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$является увеличение расходов на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$, поскольку заданное количество $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$дороже. С другой стороны, если предположить, что рассматриваемые товары не являются товарами Giffen, повышение относительной цены на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$приводит к падение относительного спроса на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$, так что количество купленных $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$падает, что снижает расходы на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$.

Какой из этих эффектов доминирует, зависит от величины эластичности замещения. Когда эластичность замещения меньше единицы, преобладает первый эффект: относительный спрос на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$падает, но пропорционально меньше, чем рост его относительной цены., так что относительные расходы возрастают. В этом случае товары являются валовыми дополнениями.

И наоборот, когда эластичность замещения больше единицы, преобладает второй эффект: уменьшение относительного количества превышает увеличение относительной цены, так что относительные расходы на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$падает. В этом случае товары являются брутто-заменителями.

. Обратите внимание, что, когда эластичность замещения равна единице (как в случае Кобба – Дугласа), расходы на $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$относительно $c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$не зависит от относительных цен.

См. Также

• Постоянная эластичность замены
• Предельная норма технической замены

Примечания

Ссылки

• Хикс, Дж. Р. (1932). Теория заработной платы. Макмиллан. Впервые определено здесь.
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон; Зеленый (2007). Микроэкономическая теория. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195073409.
• Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). W.W. Нортон и Компания. ISBN 978-0-393-95735-8.
• Кламп, Райнер; Макадам, Питер; Уиллман, Альпо (2007). «Факторное замещение и технический прогресс, увеличивающий фактор в Соединенных Штатах: Нормализованный системный подход на стороне предложения». Обзор экономики и статистики. 89(1): 183–192. doi : 10.1162 / rest.89.1.183. S2CID 57570638.

Внешние ссылки

• Эластичность замещения, Гонсало Л. Фонсекка, эссе, Новая школа социальных исследований.