Эллиптические функции Диксона

Эллиптические функции Диксона cm, sm, примененные к вещественному аргументу x. Обе функции периодические с реальным периодом${\ displaystyle \ pi _ {3} \ приблизительно 5,29991625}$

В математике эллиптические функции Диксона sm и cm представляют собой две эллиптические функции ( двоякопериодические мероморфные функции на комплексной плоскости ), которые отображаются из каждого правильного шестиугольника в гексагональной мозаике на всю комплексную плоскость. Поскольку эти функции удовлетворяют тождеству, как действительные функции они параметризуют кубическую кривую Ферма, точно так же, как тригонометрические функции синус и косинус параметризуют единичную окружность. ${\ displaystyle \ operatorname {cm} ^ {3} z + \ operatorname {sm} ^ {3} z = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Они были названы sm и cm Альфредом Диксоном в 1890 году по аналогии с тригонометрическими функциями синус и косинус и эллиптическими функциями Якоби sn и cn; Горан Диллнер описал их ранее в 1873 году.

• 1 Определение
• 2 Параметризация кубической кривой Ферма
• 3 симметрии
  • 3.1 Основные отражения, вращения и переводы
  • 3.2 Конкретные значения
• 4 Суммарные и разностные тождества
• 5 Расширение серии Power
• 6 Выражение с использованием эллиптической функции Вейерштрасса
• 7 проекций карты мира
• 8 Обобщенная тригонометрия
• 9 См. Также
• 10 Внешние ссылки
• 11 Примечания
• 12 Ссылки

Функции sm и cm можно определить как решения задачи начального значения :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {cm} z = - \ operatorname {sm} ^ {2} z, \ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {sm} z = \ operatorname {cm} ^ {2} z, \ \ operatorname {cm} (0) = 1, \ \ operatorname {sm} (0) = 0}$

Или, как обратное отображение Шварца – Кристоффеля из комплексного единичного круга в равносторонний треугольник, абелев интеграл :

${\ displaystyle z = \ int _ {0} ^ {\ operatorname {sm} z} {\ frac {dw} {(1-w ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {\ имя оператора {cm} z} ^ {1} {\ frac {dw} {(1-w ^ {3}) ^ {2/3}}}}$

Функция параметризует кубическую кривую Ферма с площадью сектора, равной половине аргумента.${\ Displaystyle т \ mapsto (\ OperatorName {cm} t, \ operatorname {sm} t)}$${\ displaystyle t}$

Оба см и см имеют период вдоль действительной оси с в бета - функции : ${\ displaystyle \ pi _ {3} = \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {1} {3}} {\ bigr)} \ приблизительно 5,29991625}$${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} \\ [8mu] amp; \ приблизительно 1,76663875 \ end {выровнено}}}$

Они удовлетворяют личность. Параметрическая функция параметризует кубическую Ферма кривую с представляющим подписанной областью, лежащей между сегментом от начала координат до, сегмента от начала координат до, а кривого Ферма, аналогичной взаимосвязи между аргументом тригонометрических функций и площадями сектор единичной окружности. Чтобы понять, почему, примените теорему Грина : ${\ displaystyle \ operatorname {cm} ^ {3} z + \ operatorname {sm} ^ {3} z = 1}$${\ displaystyle t \ mapsto (\ operatorname {cm} t, \, \ operatorname {sm} t),}$ ${\ Displaystyle т \ ин {\ bigl [} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3}, {\ tfrac {2} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr ]}}$ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1,}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} т}$${\ displaystyle (1, \, 0)}$${\ displaystyle (\ operatorname {cm} t, \, \ operatorname {sm} t)}$

${\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} (x \ mathop {dy} -y \ mathop {dx}) = {\ tfrac {1} {2} } \ int _ {0} ^ {t} (\ operatorname {cm} ^ {3} t + \ operatorname {sm} ^ {3} t) \ mathop {dt} = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} dt = {\ tfrac {1} {2}} t.}$

Обратите внимание, что область между и может быть разбита на три части, каждая из которых: ${\ displaystyle x + y = 0}$${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ bigl (} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} + x {\ bigr)} \ mathop {dx} \\ [8mu] {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3} amp; = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ bigl (} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} + x {\ bigr)} \ mathop {dx} = \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} \ mathop {dx}. \ End {align}}}$

Функция имеют нули на комплекснозначных точках для любых целых чисел и, где представляет собой куб корень из единицы, (то есть, является целым числом Эйзенштейна ). Функция имеет нули в комплексных точках. Обе функции имеют полюсы в комплексных точках. ${\ displaystyle \ operatorname {sm} z}$ ${\ displaystyle z = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} я (а + b \ omega)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega = \ exp {\ tfrac {2} {3}} i \ pi = - {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i}$${\ displaystyle a + b \ omega}$ ${\ displaystyle \ operatorname {см} z}$${\ displaystyle z = {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} я (а + b \ omega) }$ ${\ displaystyle z = - {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} i (a + b \ omega)}$

Фундаментальные отражения, вращения и переводы

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bar {z}} = {\ overline {\ operatorname {cm} z}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sm} {\ bar {z}} = {\ overline {\ operatorname {sm} z}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} (-z) = {\ frac {1} {\ operatorname {cm} z}} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} z + {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sm} (-z) = - {\ frac {\ operatorname {sm} z} {\ operatorname {cm} z}} = {\ frac {1} {\ operatorname {sm} {\ bigl (} z - {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)}}} = \ operatorname {cm} {\ bigl (} z + {\ tfrac {1} {3}} \ пи _ {3} {\ bigr)}}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} \ omega z = \ operatorname {cm} z = \ operatorname {cm} \ omega ^ {2} z}$

${\ displaystyle \ operatorname {sm} \ omega z = \ omega \ operatorname {sm} z = \ omega ^ {2} \ operatorname {sm} \ omega ^ {2} z}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} z + \ pi _ {3} (a + b \ omega) {\ bigr)} = \ operatorname {cm} z}$

${\ displaystyle \ operatorname {sm} {\ bigl (} z + \ pi _ {3} (a + b \ omega) {\ bigr)} = \ operatorname {sm} z,}$где - любое целое число Эйзенштейна.${\ displaystyle a + b \ omega}$

Конкретные значения

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ infty}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} (0) = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} (0) = 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {6}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = - 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1 } {6}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 2 ^ {- 1/3}}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {6}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 2 ^ {1/3}}$

Эллиптические функции Диксона удовлетворяют тождествам суммы и разности аргументов:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cm} (u + v) amp; = {\ frac {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} u- \ operatorname {sm} v \, \ operatorname {cm} v} {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname {cm} (uv) amp; = {\ frac {\ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {cm} v- \ operatorname {sm} u \, \ operatorname {sm} ^ {2} v} {\ operatorname {cm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {sm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname { sm} (u + v) amp; = {\ frac {\ operatorname {sm} ^ {2} u \, \ operatorname {cm} v- \ operatorname {cm} u \, \ operatorname {sm} ^ {2} v } {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname {sm } (uv) amp; = {\ frac {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} u- \ operatorname {sm} v \, \ operatorname {cm} v} {\ operatorname {cm} u \, \ имя оператора {cm} ^ {2} v- \ operatorname {sm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \ end {выровнено}}}$

Коэффициенты и разложения степенного ряда ${\ displaystyle c_ {n}}$${\ displaystyle s_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cm} z amp; = c_ {0} + c_ {1} z ^ {3} + c_ {2} z ^ {6} + c_ {3} z ^ {9} + \ cdots + c_ {n} z ^ {3n} + \ cdots \\ [4mu] \ operatorname {sm} z amp; = s_ {0} z + s_ {1} z ^ {4} + s_ {2} z ^ {7} + s_ {3} z ^ {10} + \ cdots + s_ {n} z ^ {3n + 1} + \ cdots \ end {выровнено}}}$

удовлетворить повторение ${\ displaystyle c_ {0} = s_ {0} = 1,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} amp; = - {\ frac {1} {3n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} s_ {n-1- k} \\ [4mu] s_ {n} amp; = {\ frac {1} {3n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} c_ {nk} \ end {выровнено} }}$

Эти повторения приводят к:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {cm} z amp; = 1 - {\ frac {1} {3}} z ^ {3} + {\ frac {1} {18}} z ^ {6} - {\ frac {23} {2268}} z ^ {9} + {\ frac {25} {13608}} z ^ {12} - {\ frac {619} {1857492}} z ^ {15} + \ cdots \\ [8mu] \ operatorname {sm} z amp; = z - {\ frac {1} {6}} z ^ {4} + {\ frac {2} {63}} z ^ {7} - {\ frac { 13} {2268}} z ^ {10} + {\ frac {23} {22113}} z ^ {13} - {\ frac {2803} {14859936}} z ^ {16} + \ cdots \ end {выровнено }}}$

Эллиптическая кривая для ℘-функции Вейерштрасса, связанной с эллиптическими функциями Диксона.${\ displaystyle y ^ {2} = 4x ^ {2} - {\ tfrac {1} {27}}}$${\ displaystyle z \ mapsto \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)}}$

Эквиангармоническая эллиптическая функция Вейерштрасса с решеткой является масштабированием целых чисел Эйзенштейна, может быть определена как: ${\ displaystyle \ wp (z) = \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)},}$ ${\ displaystyle \ Lambda = \ pi _ {3} \ mathbb {Z} \ oplus \ pi _ {3} \ omega \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ setminus \ {0 \}} \! \ left ({\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right)}$

Функция решает дифференциальное уравнение: ${\ Displaystyle \ WP (г)}$

${\ Displaystyle \ wp '(z) ^ {2} = 4 \ wp (z) ^ {3} - {\ tfrac {1} {27}}}$

Мы также можем записать это как обратное к интегралу:

${\ displaystyle z = \ int _ {\ infty} ^ {\ wp (z)} {\ frac {dw} {\ sqrt {4w ^ {3} - {\ tfrac {1} {27}}}}}}$

В терминах эллиптических функций Диксона можно записать: ${\ Displaystyle \ WP (г)}$

${\ displaystyle \ operatorname {cm} z = {\ frac {3 \ wp '(z) +1} {3 \ wp' (z) -1}}, \ \ operatorname {sm} z = {\ frac {- 6 \ wp (z)} {3 \ wp '(z) -1}}}$

Точно так же эллиптическая функция Вейерштрасса может быть записана в терминах эллиптических функций Диксона: ${\ Displaystyle \ WP (Z) = \ WP {\ bigl (} Z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)}}$

${\ displaystyle \ wp '(z) = {\ frac {\ operatorname {cm} z + 1} {3 (\ operatorname {cm} z-1)}}, \ \ wp (z) = {\ frac {- \ operatorname {sm} z} {3 (\ operatorname {cm} z-1)}}}$

Конформная картографическая проекция земного шара на октаэдр. Поскольку октаэдр имеет равносторонние треугольные грани, эту проекцию можно описать с помощью функций sm и cm.

Эллиптические функции Диксона являются конформными отображениями равностороннего треугольника на диск и поэтому полезны для построения проекций конформных картографических карт, включающих равносторонние треугольники, например, проектирование сферы на треугольник, шестиугольник, тетраэдр, октаэдр или икосаэдр.

Некоторые определения обобщенных тригонометрических функций включают обычный тригонометрический синус и косинус как случай, а функции sm и cm как случай. ${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle n = 3}$

Например, определяющие и обратные интеграла: ${\ displaystyle \ pi _ {n} = \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} {\ bigr)}}$${\ Displaystyle \ грех _ {п} г, \, \ соз _ {п} г}$

${\ displaystyle z = \ int _ {0} ^ {\ sin _ {n} z} {\ frac {dw} {(1-w ^ {n}) ^ {(n-1) / n}}} = \ int _ {\ cos _ {n} z} ^ {1} {\ frac {dw} {(1-w ^ {n}) ^ {(n-1) / n}}}}$

Площадь в положительном квадранте под кривой равна ${\ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {n}) ^ {1 / n} \ mathop {dx} = {\ frac {\ pi _ {n}} {2n}}}$.

• Целое число Эйзенштейна
• Эллиптическая функция
  • Эллиптические функции Абеля
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптические функции лемнискаты
  • Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Конформный мир Ли в тетраэдре
• Отображение Шварца – Кристоффеля

• Графики Desmos :
  • Эллиптические функции Диксона с действительными значениями https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxdiv class="ht".
  • Параметризация кубической кривой Ферма, https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
• Он-лайн энциклопедия страниц целочисленных последовательностей :
  • «Коэффициент x ^ (3n + 1) / (3n + 1)! в разложении Маклорена эллиптической функции Диксона sm (x, 0) ». https://oeis.org/A104133
  • «Коэффициент x ^ (3n) / (3n)! в разложении Маклорена эллиптической функции Диксона cm (x, 0) ». https://oeis.org/A104134
  • «Pi (3): основной действительный период эллиптических функций Диксона sm (z) и cm (z)». https://oeis.org/A197374
• Обсуждения обмена математическим стеком :
  • «Вкл., Эллиптические функции Диксона и кубические тета-функции Борвейна»,
  https://math.stackexchange.com/questions/2090523/ ${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}}$
• «Двоякопериодические функции как мозаики (кроме параллелограммов)», https://math.stackexchange.com/questions/35671/

• О.С. Адамс (1925). Эллиптические функции в применении к конформным картам мира (№ 297). Типография правительства США. ftp://ftp.library.noaa.gov/docs.lib/htdocs/rescue/cgs_specpubs/QB275U35no1121925.pdf
• Р. Бачер и П. Флажолет (2010) «Псевдофакториалы, эллиптические функции и цепные дроби» Рамануджанский журнал 21 (1), 71–97. https://arxiv.org/pdf/0901.1379.pdf
• А. Кэли (1882 г.) «Сведение к эллиптическим интегралам». Вестник математики 11, 142–143. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599484047_0011?tify={%22pages%22:%5b146%5d} ${\ textstyle \ int dx / (1-х ^ {3}) {} ^ {2/3}}$
• FD Burgoyne (1964) «Обобщенные тригонометрические функции». Математика вычислений 18 (86), 314–316. https://www.jstor.org/stable/2003310
• А. Кэли (1883) «О решении уравнения x ³ + y ³ - 1 = 0 в виде эллиптической функции », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 4, 106–109. https://archive.org/details/proceedingsofcam4188083camb/page/106/
• Р. Чаплинг (2016) «Инвариантные мероморфные функции на группах обоев». https://arxiv.org/pdf/1608.05677
• Дж. Ф. Кокс (1935) «Представление поверхности земли в равномерного треугольника», Бюллетень классов наук, Королевская академия Бельгии 5e, 21, 66–71.
• Дж. Дилльнер (1873) «Превосходный расчет геометрической модели», глава 16, Nova acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis, сер. III 8, 94–102. https://archive.org/details/novaactaregiaeso38kung/page/94/
• Диксон, AC (1890). «О двоякопериодических функциях, возникающих из кривой x ³ + y ³ - 3 αxy = 1 ». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики. XXIV: 167–233.
• А. Диксон (1894) Элементарные свойства эллиптических функций. Макмиллиан. https://archive.org/details/elempropellipt00dixorich/
• Ван Фоссен Конрад, Эрик; Флажолет, Филипп (2005). «Кубика Ферма, эллиптические функции, цепные дроби и комбинаторный экскурс». Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 54: Искусство. B54g, 44. arXiv : math / 0507268. Bibcode : 2005math...... 7268V. Руководство по ремонту   2223029.
• А. Гамбини, Дж. Николетти и Д. Рителли (2021) «Кеплеровская тригонометрия». Monatshefte für Mathematik 195 (1), 55–72. https://doi.org/10.1007/s00605-021-01512-0
• Р. Граммель (1948) «Eine Verallgemeinerung der Kreis-und Hyperbelfunktionen». Archiv der Mathematik 1 (1), 47–51. https://doi.org/10.1007/BF02038206
• Дж. К. Лангер и Д. А. Певец (2014) «Трилистник». Миланский математический журнал 82 (1), 161-182. https://case.edu/artsci/math/langer/jlpreprints/Trefoil.pdf
• М. Лоран (1949) «Таблицы эллиптической функции Диксона для интервала 0-0, 1030». Бюллетень Королевской академии наук Бельгийского класса наук, 35, 439–450.
• Л. П. Ли (1973) «Конформная тетраэдрическая проекция с некоторыми практическими приложениями». Картографический журнал, 10 (1), 22-28. https://doi.org/10.1179/caj.1973.10.1.22
• Л. П. Ли (1976) Конформные проекции, основанные на эллиптических функциях. Университет Торонто Пресс. Картографическая монография № 16.
• Э. Лундберг (1879) «Гипергониометрический функционер вариабельного комплекса». Рукопись 1879 г. Перевод Яака Петре «О гипергониометрических функциях комплексных переменных». https://web.archive.org/web/20161024183030id_/http://www.maths.lth.se/matematiklu/personal/jaak/hypergf.ps
• J. Magis (1938) «Расчет конформности представления сфер в равном треугольнике». Bulletin Géodésique 59 (1), 247–256. http://doi.org/10.1007/BF03029866
• MD McIlroy (2011) «Обои с картами». Надежные и исторические вычисления. Springer. 358–375. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-24541-1_27
• WP Reinhardt и PL Walker (2010) «Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса», Цифровая библиотека математических функций NIST, §23.5 (v). https://dlmf.nist.gov/23.5#v
• П.Л. Робинсон (2019) «Эллиптические функции Диксона». https://arxiv.org/abs/1901.04296
• HA Schwarz (1869) «Ueber einige Abbildungsaufgaben». Crelles Journal 1869 (70), 105–120. http://doi.org/10.1515/crll.1869.70.105
• Б.Р. Сет и Ф.П. Уайт (1934) «Кручение балок, поперечное сечение которых представляет собой правильный многоугольник с n сторонами». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 30 (2), 139. http://doi.org/10.1017/s0305004100016558  
• Д. Шелупский (1959) «Обобщение тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник 66 (10), 879–884. https://www.jstor.org/stable/2309789