Абелев интеграл

редактировать

В математике, абелев интеграл, названный в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, является интегралом в комплексной плоскости в форме

∫ z 0 z R (x, w) dx, {\ displaystyle \ int _ {z_ {0}} ^ {z} R (x, w) \, dx,}

{\ displaystyle \ int _ {z_ {0}} ^ {z} R (x, w) \ , dx,}

где $R (x, w) {\ displaystyle R (x, w)}$ ${\ displaystyle R (x, w)}$ - произвольное рациональная функция двух переменных $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $w {\ displaystyle w}$ $w$ , которые связаны уравнением

F (Икс, вес) знак равно 0, {\ Displaystyle F (х, ш) = 0,}

{\ displaystyle F (x, w) = 0,}

где $F (х, ш) {\ Displaystyle F (х, ш)}$ ${\ displaystyle F (x, w)}$ является неприводимым многочленом от $w {\ displaystyle w}$ $w$ ,

F (x, w) ≡ φ n (x) wn + ⋯ + φ 1 (x) w + φ 0 ( Икс), {\ Displaystyle F (х, ш) \ эквив \ varphi _ {n} (х) ш ^ {п} + \ cdots + \ varphi _ {1} (х) ш + \ varphi _ {0} \ left (х \ право),}

{\ Displaystyle F (х, ш) \ Equiv \ varphi _ {n} (x) w ^ {n} + \ cdots + \ varphi _ {1} (x) w + \ varphi _ { 0} \ left (x \ right),}

, коэффициенты которого $φ j (x) {\ displaystyle \ varphi _ {j} (x)}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {j} (x)}$ , $j = 0, 1,…, n {\ displaystyle j = 0,1, \ ldots, n}$ $j = 0,1, \ ldots, n$ - рациональные функции от $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Величина абелевого интеграла зависит не только от пределов интегрирования, но и от пути, по которому интеграл берется; таким образом, это многозначная функция от $z {\ displaystyle z}$ $z$ .

Абелевы интегралы являются естественными обобщениями эллиптических интегралов, которые возникают, когда

F (x, вес) знак равно вес 2 - п (х), {\ displaystyle F (x, w) = w ^ {2} -P (x), \,}

{\ displaystyle F (x, w) = w ^ {2} -P (x), \,}

где $P (x) {\ displaystyle P \ left (x \ right)}$ $P\left(x\right)$ - многочлен степени 3 или 4. Другой частный случай абелевого интеграла - это гиперэллиптический интеграл, где $P (x) { \ displaystyle P (x)}$ $P(x)$ в приведенной выше формуле - это многочлен степени больше 4.

Содержание

1 История
2 Современный вид
3 Примечания
4 Источники

История

Теория абелевых интегралов возникла из статьи Абеля, опубликованной в 1841 году. Эта статья была написана во время его пребывания в Париже в 1826 году и представлена Огюстену-Луи Коши в октябре того же года. Эта теория, позже полностью разработанная другими, была одним из главных достижений математики девятнадцатого века и оказала большое влияние на развитие современной математики. Выражаясь более абстрактным и геометрическим языком, он содержится в концепции абелевого многообразия, или, точнее, в том, как алгебраическая кривая может быть отображена в абелевы многообразия. Позднее абелев интеграл был связан с 16-й проблемой выдающегося математика Дэвида Гильберта и продолжает считаться одним из главных вызовов современному математическому анализу.

Современный взгляд

В теории римановых поверхностей абелев интеграл - это функция, связанная с неопределенным интегралом от дифференциала первого рода. Предположим, нам дана риманова поверхность $S {\ displaystyle S}$ $S$ и на ней дифференциальная 1-форма $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , который везде голоморфный на $S {\ displaystyle S}$ $S$ , и зафиксируйте точку $P 0 {\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ на $S {\ displaystyle S}$ $S$ , из которого можно выполнить интеграцию. Мы можем рассматривать

∫ P 0 P ω {\ displaystyle \ int _ {P_ {0}} ^ {P} \ omega}

\ int _ {{P_ {0}}} ^ {P} \ omega

как многозначную функцию $f ( P) {\ displaystyle f \ left (P \ right)}$ $f \ left (P \ right)$ или (лучше) честная функция выбранного пути $C {\ displaystyle C}$ $C$ , нарисованная на $S {\ displaystyle S}$ $S$ от $P 0 {\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ до $P {\ displaystyle P}$ $P$ . Поскольку $S {\ displaystyle S}$ $S$ обычно будет многосвязным, следует указать $C {\ displaystyle C}$ $C$ , но значение фактически будет зависеть только от класса гомологии из $C {\ displaystyle C}$ $C$ .

В случае $S {\ displaystyle S}$ $S$ a компактная риманова поверхность рода 1, то есть эллиптической кривой, такими функциями являются эллиптические интегралы. Следовательно, логически говоря, абелев интеграл должен быть функцией, такой как $f {\ displaystyle f}$ $f$ .

Такие функции были впервые введены для изучения гиперэллиптических интегралов, т. Е. Для случая, когда $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это гиперэллиптическая кривая. Это естественный шаг в теории интегрирования к случаю интегралов, включающих алгебраические функции $A {\ displaystyle {\ sqrt {A}}}$ ${\ sqrt {A}}$ , где $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это многочлен степени $>4 {\ displaystyle>4}$ $>4$ . Первые важные идеи теории были сделаны Абелем; позже она была сформулирована в термины якобианского разнообразия $J (S) {\ displaystyle J \ left (S \ right)}$ $J \ left (S \ right)$ . Выбор $P 0 {\ displaystyle P_ {0 }}$ $P_ {0}$ порождает стандартную голоморфную функцию

S → J (S) {\ displaystyle S \ to J (S)}

{\ displaystyle S \ to J (S)}

из комплексных многообразий. У него есть определяющее свойство: голоморфные 1-формы на $S → J (S) {\ displaystyle S \ to J (S)}$ ${\ displaystyle S \ to J (S)}$ , из которых g независимых, если g род S, вернуть к основе дифференциалов o f первый вид на S.

Notes

^Abel 1841.
^Appell & Goursat 1895 , p. 248.

Ссылки

Абель, Нильс Х. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes". Представлены воспоминания различных ученых из Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). Париж. стр. 176–264.
Appell, Paul ; Гурса, Эдуар (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (на французском языке). Париж: Готье-Виллар.
Блисс, Жильбер А. (1933). Алгебраические функции. Провиденс: Американское математическое общество.
Форсайт, Эндрю Р. (1893). Теория функций комплексного переменного. Провиденс: Cambridge University Press.
Griffiths, Phillip ; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии. Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
Нойман, Карл (1884). Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (2-е изд.). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.