Комплексная система счисления

редактировать

Позиционная система счисления

В арифметике комплексная система система - это позиционная система счисления, радикс которой является мнимым (предложено Дональд Кнут в 1955 г.) или комплексное число (предложено С. Хмельником в 1964 г. и в 1965 г.).

Содержание

1 В целом
2 В вещественных числах
3 В комплексных числах
4 Двоичные системы
5 Основание -1 ± i
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

В целом

Пусть $D {\ displaystyle D}$ $D$ будет областью целостности $⊂ C { \ displaystyle \ subset \ mathbb {C}}$ $\ subset \ mathbb {C}$ и $| ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ (архимедово) абсолютное значение на нем.

Число $X ∈ D {\ displaystyle X \ in D}$ $X \ in D$ в позиционной системе счисления представлено как расширение

X = ± ∑ ν x ν ρ ν, {\ displaystyle X = \ pm \ sum _ {\ nu} ^ {} x _ {\ nu} \ rho ^ {\ nu},}

{\ displaystyle X = \ pm \ sum _ {\ nu} ^ {} x _ {\ nu} \ rho ^ {\ nu},}

где

$ρ ∈ D {\ displaystyle \ rho \ in D }$ ${\ displaystyle \ rho \ in D}$		- это основание (или основание ) с $\| ρ \|>1 {\ displaystyle \| \ rho \|>1}$ $\|\rho \|>1$ ,
$ν ∈ Z {\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {Z}}$		- показатель степени (положение или место),
$x ν {\ displaystyle x _ {\ nu}}$ $x _ {\ nu}$		- цифры из конечного набора цифр $Z ⊂ D {\ displaystyle Z \ subset D}$ $Z \ subset D$ , обычно с $\| x ν \| < \| ρ \|. {\displaystyle \|x_{\nu }\|<\|\rho \|.}$ $\| x _ {\ nu} \| <\| \ rho \|.$

мощность $R: = | Z | {\ displaystyle R: = | Z |}$ $R: = | Z |$ называется уровнем декомпозиции.

Позиционное число система или система кодирования представляет собой пару

⟨ρ, Z⟩ {\ displaystyle \ left \ langle \ rho, Z \ right \ rangle}

\ left \ langle \ rho, Z \ right \ rangle

с основанием $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и набор цифр $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , и мы записываем стандартный набор цифр с помощью $R {\ displaystyle R}$ $R$ цифр как

ZR: = {0, 1, 2,…, R - 1}. {\ Displaystyle Z_ {R}: = \ {0,1,2, \ dotsc, {R-1} \ }.}

{\ displaystyle Z_ {R}: = \ {0,1,2, \ dotsc, {R-1} \}.}

Желательно codi ng с функциями:

Каждое число в $D {\ displaystyle D}$ $D$ , e. грамм. целые числа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , целые числа по Гауссу $Z [i] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm { i}]}$ $\ mathbb {Z} [{\ mathrm i}]$ или целые числа $Z [- 1 + i 7 2] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ tfrac {-1+ \ mathrm {i} {\ sqrt { 7}}} {2}}]}$ $\ mathbb {Z} [{\ tfrac {-1 + {\ mathrm i} {\ sqrt 7}} 2}]$ , однозначно может быть представлен в виде конечного кода, возможно, со знаком ±.
Каждое число в поле дробей $K: = Quot ⁡ (D) {\ displaystyle K: = \ operatorname {Quot} (D)}$ ${\ displaystyle K: = \ OperatorName {Quot} (D)}$ , что, возможно, является завершенным для метрики предоставлено $| ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ , что дает $K: = R {\ displaystyle K: = \ mathbb {R}}$ $K: = \ mathbb {R}$ или $K: = C {\ displaystyle K: = \ mathbb {C}}$ $K: = \ mathbb {C}$ , может быть представлен как бесконечный ряд $X {\ displaystyle X}$ $X$ , который сходится под $| ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}$ $| \ cdot |$ для $ν → - ∞ {\ displaystyle \ nu \ to - \ infty}$ $\ nu \ to - \ infty$ и мера набор чисел с более чем одним представлением равен 0. Последнее требует, чтобы набор $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ был минимальным, то есть $R = | ρ | {\ displaystyle R = | \ rho |}$ $R = | \ rho |$ для действительных чисел и $R = | ρ | 2 {\ displaystyle R = | \ rho | ^ {2}}$ $R = | \ rho | ^ {2}$ для комплексных чисел.

В действительных числах

В этой нотации наша стандартная схема десятичного кодирования обозначается

⟨10, Z 10⟩, {\ displaystyle \ left \ langle 10, Z_ {10} \ right \ rangle,}

{\ displaystyle \ left \ langle 10, Z_ {10} \ right \ rangle,}

стандартная двоичная система:

⟨2, Z 2⟩, {\ displaystyle \ left \ langle 2, Z_ {2} \ right \ rangle,}

{\ displaystyle \ левый \ langle 2, Z_ {2} \ right \ rangle,}

негабинарная система:

⟨- 2, Z 2⟩, {\ displaystyle \ left \ langle -2, Z_ {2} \ right \ rangle,}

{\ displaystyle \ left \ langle -2, Z_ {2} \ right \ rangle,}

и сбалансированная троичная система

⟨3, {- 1, 0, 1}⟩. {\ displaystyle \ left \ langle 3, \ {- 1,0,1 \} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left \ langle 3, \ {- 1,0,1 \} \ right \ rangle.}

Все эти системы кодирования имеют упомянутые функции для $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ и $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , а последние два не требуют знака.

В комплексных числах

Хорошо известные позиционные системы счисления для комплексных чисел включают следующее ( $i {\ displaystyle \ mathrm {i}}$ $\ mathrm i$ будучи мнимая единица ):

$⟨R, ZR⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ sqrt {R}}, Z_ {R} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle {\ sqrt {R}}, Z_ {R} \ right \ rangle$ , например $⟨± я 2, Z 2⟩ {\ displaystyle \ left \ langle \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle \ pm {\ mathrm i} {\ sqrt {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle$ и

⟨± 2 i, Z 4⟩ {\ displaystyle \ left \ langle \ pm 2 \ mathrm {i}, Z_ {4} \ right \ rangle}

\ left \ langle \ pm 2 {\ mathrm i}, Z_ {4} \ right \ rangle

, четвертичное мнимое основание, предложенный Дональдом Кнутом в 1955 году.

$⟨2 e ± π 2 i = ± i 2, Z 2⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ sqrt {2}} e ^ {\ pm {\ tfrac {\ pi} {2}} \ mathrm {i}} = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle {\ sqrt {2}} e ^ {{\ pm {\ tfrac {\ pi} 2} {\ mathrm i}}} = \ pm {\ mathrm i} {\ sqrt {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle$ и

⟨2 e ± 3 π 4 i = - 1 ± i, Z 2⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ sqrt {2}} e ^ {\ pm {\ tfrac {3 \ pi} {4}} \ mathrm {i}} = - 1 \ pm \ mathrm {i}, Z_ {2} \ right \ rangle}

\ left \ langle {\ sqrt {2}} e ^ {{\ pm {\ tf rac {3 \ pi} 4} {\ mathrm i}}} = - 1 \ pm {\ mathrm i}, Z_ {2} \ right \ rangle

(см. Также раздел База −1 ± iниже).

$⟨R ei φ, ZR⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ sqrt {R}} e ^ {\ mathrm {i} \ varphi}, Z_ {R} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {\ sqrt {R}} e ^ { \ mathrm {i} \ varphi}, Z_ {R} \ right \ rangle}$ , где $φ = ± arccos ⁡ (- β / (2 R)) {\ displaystyle \ varphi = \ pm \ arccos {(- \ beta / (2 {\ sqrt {R}}))}}$ $\ varphi = \ pm \ arccos {(- \ beta / (2 {\ sqrt {R}}))}$ , $β < min ( R, 2 R) {\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}$ $\ beta <\ min (R, 2 {\ sqrt {R}})$ и $β {\ displaystyle \ beta _ {} ^ {}}$ $\ beta _ {{}} ^ {{ }}$ - целое положительное число, которое может принимать несколько значений в заданном $R {\ displaystyle R}$ $R$ . Для $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ и $R = 2 {\ displaystyle R = 2}$ $R = 2$ это система

⟨- 1 + я 7 2, Z 2⟩. {\ displaystyle \ left \ langle {\ tfrac {-1+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7}}} {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ tfrac {-1+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7 }}} {2}}, Z_ {2} \ right \ rangle.}

$⟨2 e π 3 я, А 4: знак равно {0, 1, е 2 π 3 я, е - 2 π 3 я}⟩ {\ Displaystyle \ left \ langle 2e ^ {{\ tfrac {\ pi} {3}} \ mathrm {я }}, A_ {4}: = \ left \ {0,1, e ^ {{\ tfrac {2 \ pi} {3}} \ mathrm {i}}, e ^ {- {\ tfrac {2 \ pi } {3}} \ mathrm {i}} \ right \} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle 2e ^ {{{\ tfrac {\ pi} 3} {\ mathrm i}}}, A_ {4}: = \ left \ {0,1, e ^ {{{\ tfrac {2 \ pi} 3} {\ mathrm i}}}, e ^ {{- {\ tfrac {2 \ pi} 3} {\ mathrm i}}} \ right \} \ right \ rangle$ .
$⟨- R, AR 2⟩ {\ displaystyle \ left \ langle -R, A_ {R} ^ {2} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle -R, A_ {R} ^ {2} \ right \ rangle$ , где набор $AR 2 {\ displaystyle A_ {R} ^ {2}}$ $A_ {R} ^ {2}$ состоит из комплексных чисел $r ν = α ν 1 + α ν 2 я {\ displaystyle r _ {\ nu} = \ alpha _ {\ nu} ^ {1} + \ alpha _ {\ nu} ^ {2} \ mathrm {i}}$ $r _ {\ nu} = \ alpha _ {\ nu} ^ {1} + \ alpha _ {\ nu} ^ {2} {\ mathrm i}$ и числа $α ν ∈ ZR {\ displaystyle \ alpha _ {\ nu} ^ {} \ in Z_ {R}}$ $\ alpha _ {\ nu} ^ {{}} \ in Z_ {R}$ , например,

⟨- 2, {0, 1, i, 1 + i}⟩. {\ displaystyle \ left \ langle -2, \ {0,1, \ mathrm {i}, 1 + \ mathrm {i} \} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left \ langle -2, \ {0,1, \ mathrm {i}, 1 + \ mathrm {i} \} \ right \ rangle.}

$⟨ρ = ρ 2, Z 2⟩ { \ displaystyle \ left \ langle \ rho = \ rho _ {2}, Z_ {2} \ right \ rangle}$ $\ left \ langle \ rho = \ rho _ {2}, Z_ {2} \ right \ rangle$ , где $ρ 2 = {(- 2) ν 2, если ν четное, (- 2) ν - 1 2 i, если ν нечетное. {\ displaystyle \ rho _ {2} = {\ begin {case} (- 2) ^ {\ tfrac {\ nu} {2}} {\ text {if}} \ nu {\ text {even,}} \\ (- 2) ^ {\ tfrac {\ nu -1} {2}} \ mathrm {i} {\ text {if}} \ nu {\ text {odd.}} \ End {case}}}$ $\ rho _ {2} = {\ begin {cases} (- 2) ^ {{{\ tfrac {\ nu} 2}}} {\ text {if}} \ nu {\ text {even,}} \\ (- 2) ^ {{{\ tfrac {\ nu -1} 2 }}} {\ mathrm i} {\ text {if}} \ nu {\ text {odd.}} \ end {cases}}$

Двоичные системы

Двоичные системы кодирования комплексных чисел, то есть системы с цифрами $Z 2 = {0, 1} {\ displaystyle Z_ {2} = \ {0,1 \}}$ $Z_ {2} = \ {0,1 \}$ , представляют практический интерес. Ниже перечислены некоторые системы кодирования $⟨ρ, Z 2⟩ {\ displaystyle \ langle \ rho, Z_ {2} \ rangle}$ $\ langle \ rho, Z_ {2} \ rangle$ (все они являются частными случаями систем выше) и соответственно. коды для (десятичных) чисел -1, 2, -2, i . Стандартная двоичная система (для которой требуется знак, первая строка) и «негабинарная» системы (вторая строка) также перечислены для сравнения. У них нет подлинного расширения для i.

Некоторые основания и некоторые представления
Radix	–1 ←	2 ←	–2 ←	i←	Twins и тройки
2	–1	10	–10	i	1 ←	0,1 = 1,0
–2	11	110	10	i	1/3 ←	0,01 = 1,10
$i 2 {\ displaystyle \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}}$	101	10100	100	10.101010100...	$1 3 + 1 3 i 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3} } + {\ frac {1} {3}} \ mathrm {i} {\ sqrt {2}}}$ ←	0,0011 = 11,1100
$- 1 + i 7 2 {\ displaystyle {\ frac {-1+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7}}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {-1+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7}}} {2}}}$	111	1010	110	11.110001100...	$3 + i 7 4 {\ displaystyle {\ frac {3+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7}}} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3+ \ mathrm {i} {\ sqrt {7}}} {4}}}$ ←	1.011 = 11.101 = 11100.110
$ρ 2 {\ displaystyle \ rho _ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2}}$	101	10100	100	10	1/3 + 1/3 i←	0,0011 = 11,1100
–1+i	11101	1100	11100	11	1/5 + 3/5 i←	0,010 = 11,001 = 1110,100
2i	103	2	102	10.2	1/5 + 2/5 i←	0,0033 = 1,3003 = 10,0330 = 11,3300

Как во всех позициях В международных системах счисления с абсолютным значением Архимеда, есть некоторые числа с множественными представлениями. Примеры таких номеров приведены в правом столбце таблицы. Все они являются повторяющимися дробями с повторяющейся частью, отмеченной горизонтальной линией над ней.

Если набор цифр минимален, то набор таких чисел имеет показатель, равный 0. Это относится ко всем упомянутым системам кодирования.

Почти двоичная четвертичная мнимая система указана в нижней строке для сравнения. Там реальная и мнимая части чередуются друг с другом.

База -1 ± i

Комплексные числа с целой частью и всеми нулями в системе счисления i - 1

Особый интерес представляют четвертичное мнимое основание (основание 2 i ) и системы оснований −1 ± i, обсуждаемые ниже, обе из которых могут использоваться для конечного представления целых гауссовских чисел без знака.

База -1 ± i, использующая цифры 0 и 1, была предложена С. Хмельником в 1964 и в 1965 годах. Область округления целого числа - т. Е. Множество $S {\ displaystyle S}$ $S$ комплексных (нецелых) чисел, которые разделяют целую часть своего представления в этой системе - имеет в комплексной плоскости фрактальную форму: двойной дракон ( см. рисунок). Этот набор $S {\ displaystyle S}$ $S$ по определению представляет собой все точки, которые можно записать как $∑ k ≥ 1 xk (i - 1) - k {\ displaystyle \ textstyle \ сумма _ {k \ geq 1} x_ {k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k}}$ с $xk ∈ Z 2 {\ displaystyle x_ {k} \ in Z_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {k} \ in Z_ {2}}$ . $S {\ displaystyle S}$ $S$ можно разложить на 16 частей, соответствующих $1 4 S {\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} S}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} S}$ . Обратите внимание: если $S {\ displaystyle S}$ $S$ повернуть против часовой стрелки на 135 °, мы получим два соседних набора, конгруэнтных $1 2 S {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} S}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} { \ sqrt {2}}} S}$ , потому что $(i - 1) S = S ∪ (S + 1) {\ displaystyle (\ mathrm {i} -1) S = S \ cup ( S + 1)}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {i} -1) S = S \ чашка ( S + 1)}$ . Прямоугольник $R ⊂ S {\ displaystyle R \ subset S}$ ${\ displaystyle R \ subset S}$ в центре пересекает оси координат против часовой стрелки в следующих точках: $2 15 ← 0. 00001100 ¯ {\ displaystyle {\ tfrac {2} {15}} \ получает 0. {\ overline {00001100}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {15}} \ получает 0. {\ overline {00001100}}}$ , $1 15 i ← 0. 00000011 ¯ {\ displaystyle {\ tfrac {1} {15}} \ mathrm {i} \ получает 0. {\ overline {00000011}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {15 }} \ mathrm {i} \ получает 0. {\ overline {00000011}}}$ и $- 8 15 ← 0. 11000000 ¯ {\ displaystyle - {\ tfrac {8} {15}} \ получает 0. {\ overline {11000000}}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {8} {15}} \ получает 0. {\ overline {11000000}}}$ , а $- 4 15 i ← 0. 00110000 ¯ {\ displaystyle - {\ tfrac {4} {15}} \ mathrm {i} \ получает 0. { \ overline {00110000}}}$ ${\ displaystyle - {\ tfrac {4} {15}} \ mathrm {i} \ получает 0. {\ overline {00110000}}}$ . Таким образом, $S {\ displaystyle S}$ $S$ содержит все комплексные числа с абсолютным значением ≤ 1/15.

Как следствие, происходит инъекция сложный прямоугольник

[- 8 15, 2 15] × [- 4 15, 1 15] i {\ displaystyle [- {\ tfrac {8} {15}}, {\ tfrac {2} {15}} ] \ times [- {\ tfrac {4} {15}}, {\ tfrac {1} {15}}] \ mathrm {i}}

{\ displaystyle [- {\ tfrac {8} {15}}, {\ tfrac {2} {15}}] \ times [- {\ tfrac {4} {15}}, {\ tfrac {1} {15}}] \ mathrm {i}}

в интервал $[0, 1) {\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ вещественных чисел путем сопоставления

∑ k ≥ 1 xk (i - 1) - k ↦ ∑ k ≥ 1 xkb - k {\ displaystyle \ стиль текста \ сумма _ {к \ geq 1} x_ {k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} b ^ {- k}}

{\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k \ geq 1 } x_ {k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} b ^ {- k}}

с $b>2 {\ displaystyle b>2}$ $b>2$ .

Кроме того, есть два сопоставления

Z 2 N → S (xk) k ∈ N ↦ ∑ k ≥ 1 xk (я - 1) - к {\ displaystyle {\ begin {array} {lll} Z_ {2} ^ {\ mathbb {N}} \ to S \\\ left (x_ {k} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} Z_ {2} ^ {\ mathbb {N}} \ to S \\\ left (x_ {k} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ { k} (\ mathrm {i} -1) ^ {- k} \ end {array}}}

Z 2 N → [ 0, 1) (xk) k ∈ N ↦ ∑ k ≥ 1 xk 2 - k {\ displaystyle {\ begin {array} {lll} Z_ {2} ^ {\ mathbb {N}} \ to [0, 1) \\\ left (x_ {k} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} 2 ^ {- k} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {ar луч} {lll} Z_ {2} ^ {\ mathbb {N}} \ to [0,1) \\\ left (x_ {k} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}} \ mapsto \ sum _ {k \ geq 1} x_ {k} 2 ^ {- k} \ end {array}}}

оба сюръективное, которые приводят к сюръективному (таким образом, заполняющему пространство) отображению

[0, 1) → S {\ displaystyle [0,1) \ qquad \ to \ qquad S}

{\ displaystyle [0,1) \ qquad \ to \ qquad S}

, который, однако, не является непрерывным и, следовательно, не является кривой, заполняющей пространство. Но очень близкий родственник, дракон Дэвиса-Кнута, представляет собой непрерывную кривую, заполняющую пространство.

См. Также

Кривая дракона

Ссылки

Внешние ссылки

"Системы счисления с использованием комплексной базы »Ярека Дуды, Демонстрационный проект Wolfram
"Граница периодических итерационных функциональных систем "Ярек Дуда, Демонстрационный проект Wolfram
"Системы счисления в 3D " Ярека Дуды, Демонстрационный проект Wolfram

Последняя правка сделана 2021-05-15 08:15:09

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте