Схематическое изображение ограниченной функции (красный) и неограниченной (синий). Интуитивно понятно, что график ограниченной функции остается внутри горизонтальной полосы, в то время как график неограниченной функции - нет.
В математике, function , определенный на некотором set с real или сложным values называется ограниченным, если набор его значений ограничен. Другими словами, существует действительное число такое, что
в . Неограниченная функция называется неограниченной .
Если является вещественным и , тогда функция называется ограниченной (сверху) с помощью . Если , то функция называется ограничен (снизу) элементом . Вещественнозначная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу.
Важным частным случаем является ограниченная последовательность, где принимается как набор из натуральных чисел. Таким образом, последовательность является ограниченным, если существует действительное число такое, что
для каждого натурального числа . Набор всех ограниченных последовательностей образует пространство последовательностей .
Определение ограниченности может быть обобщено на функции принимает значения в более общем пространстве , требуя, чтобы изображение - это ограниченное множество в .
Связанные понятия
слабее, чем ограниченность локальная ограниченность. Семейство ограниченных функций может быть равномерно ограниченным.
A ограниченным оператором не является ограниченной функцией в смысл определения этой страницы (кроме ), но имеет более слабое свойство сохранения ограниченности : ограниченные множества отображаются в ограниченные множества . Это определение может быть расширено до любой функции , если и учитывают концепцию ограниченного множества. Ограниченность также можно определить, посмотрев на график.
Примеры
- Функция : ограничен.
- Функция определено для всех вещественных за исключением -1 и 1 не ограничено. Поскольку приближается к -1 или 1, значения этой функции становятся все больше и больше по величине. Эту функцию можно сделать ограниченной, если рассматривать ее область определения, например, [2, + ∞) или (-∞, −2].
- Функция определено для всех действительных ограничен.
- Арктангенс обратной тригонометрии определяется как: или - увеличение для всех действительных чисел и ограничены
- Каждая непрерывная функция [0, 1] ограничен. В более общем смысле любая непрерывная функция из компактного пространства в метрическое пространство ограничена.
- Все комплексные функции , которые являются целыми, либо неограниченный или постоянный как следствие Влияние теоремы Лиувилля. В частности, комплекс : должен быть неограниченным, поскольку он весь.
- Функция , которая принимает значение 0 для рациональное число и 1 для иррациональное число (см. функция Дирихле ) ограничено. Таким образом, функция не должна быть «хорошей», чтобы быть ограниченной. Набор всех ограниченных функций, определенных на [0, 1], намного больше, чем набор непрерывных функций на этом интервале.
См. Также