Язык Арнольда

редактировать

Число вращения для различных значений двух параметров карты круга: Ω на оси x и K на оси y. Видны некоторые формы языка.

В математике, особенно в динамических системах, языки Арнольда (названы в честь Владимира Арнольда ) графическое явление, которое возникает при визуализации того, как число вращения динамической системы или другое связанное с ней инвариантное свойство изменяется согласно двум или более ее параметрам. Для некоторых динамических систем наблюдались области постоянного числа вращения, образующие геометрические формы, похожие на языки, и в этом случае их называют языками Арнольда.

Языки Арнольда наблюдаются в большое количество разнообразных природных явлений, которые связаны с колеблющимися величинами, такими как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах и сердечные электрические волны. Иногда частота колебаний зависит или ограничена (например, фазовая синхронизация или синхронизация мод в некоторых контекстах) на основе некоторой величины, и часто представляет интерес изучить эту связь. Например, начало опухоли запускает в этой области серию колебаний вещества (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это может использоваться для контроля роста опухоли.

Другие примеры, где можно найти языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливная синхронизация орбитальных спутников, синхронизация мод в волоконной оптике и петли фазовой автоподстройки частоты и другие электронные осцилляторы, а также в сердечных ритмах, сердечных аритмиях и клеточном цикле.

Одна из простейших физических моделей, демонстрирующая синхронизацию мод, состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, которая в рациональном кратна частоте ведомого вращателя.

Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается зафиксировать движение вращающихся дисков через дискретные промежутки времени.

Содержание

1 Стандартная карта круга
2 Получение карты круга
3 Свойства
4 Блокировка режима
5 Стандартная карта Чирикова
6 Приложения
7 Галерея
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Стандартная круговая карта

Бифуркационная диаграмма для

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Омега

фиксируется на уровне

1/3 {\ displaystyle 1/3}

1/3

K {\ displaystyle K}

K

идет от

0 {\ displaystyle 0}

{\ displaystyle 0}

внизу на

4 π {\ displaystyle 4 \ pi}

4 \ pi

вверху, а орбиты отображаются в интервале

[- 0,5, 0,5] {\ displaystyle [-0,5,0,5]}

{\ displaystyle [-0.5,0.5]}

вместо

[0, 1] {\ displaystyle [0,1]}

[0,1]

. Черные области соответствуют языкам Арнольда.

Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между осцилляторами, особенно в случае, когда один осциллятор управляет другим. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга, как, например, в моделях Курамото. Это частный случай управляемых генераторов с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера: клетки сердца (внешний осциллятор) производят периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотой осцилляторов, возможно, для разработки более совершенных искусственных кардиостимуляторов. Семейство круговых карт служит полезной математической моделью этого биологического явления, а также многих других.

Семейство круговых карт - это функции (или эндоморфизмы ) круга по отношению к самому себе.. Математически проще рассматривать точку в круге как точку $x {\ displaystyle x}$ $x$ на действительной прямой, которую следует интерпретировать modulo $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , представляющий угол, под которым точка расположена в окружности. Когда по модулю берется значение, отличное от $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , результат по-прежнему представляет угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон $[0, 2 π] {\ displaystyle [0,2 \ pi]}$ $[0,2 \ pi]$ может быть представлено. Имея это в виду, семейство карт кругов задается следующим образом:

θ i + 1 = g (θ i) + Ω {\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = g (\ theta _ {i}) + \ Omega}

{\ displaystyle \ theta _ { я + 1} знак равно г (\ theta _ {i}) + \ Omega}

где $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ - «собственная» частота осциллятора, а $g (θ i) {\ displaystyle g (\ theta _ {i})}$ ${\ displaystyle g ( \ theta _ {i})}$ - периодическая функция, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если $g (θ i) = θ i {\ displaystyle g (\ theta _ {i}) = \ theta _ {i}}$ ${\ displaystyle g (\ theta _ {i}) = \ тета _ {я}}$ , частица просто ходит по кругу с $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ единиц за раз; в частности, если $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ иррационально, карта сводится к иррациональному вращению.

Конкретная круговая карта, первоначально изученная Арнольдом, и которая продолжает доказывать свою полезность даже в наши дни это:

θ i + 1 = θ i + Ω + K 2 π sin ⁡ (2 π θ i) {\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i})}

{\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i})}

где $K {\ displaystyle K}$ $K$ называется сила связи и $θ i {\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ следует интерпретировать по модулю $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ . На этой карте отображается очень разное поведение в зависимости от параметров $K {\ displaystyle K}$ $K$ и $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ ; если мы исправим $Ω = 1/3 {\ displaystyle \ Omega = 1/3}$ ${\ displaystyle \ Omega = 1/3}$ и изменим $K {\ displaystyle K}$ $K$ , бифуркация вокруг этого абзаца получена диаграмма, где мы можем наблюдать периодические орбиты, бифуркации удвоения периода, а также возможное хаотическое поведение.

Получение карты круга

Изображение простой модели, в которой круговая карта возникает «естественно». Красная линия имеет вид

y (t) {\ displaystyle y (t)}

y (t)

и сбрасывается каждый раз, когда достигает синусоидальной черной линии.

Другой способ просмотра карты круга выглядит следующим образом. Рассмотрим функцию $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ , которая линейно убывает с наклоном $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Когда он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного колеблющегося значения, описываемого функцией $z (t) = c + b sin ⁡ (2 π t) {\ displaystyle z (t) = c + b \ sin (2 \ pi t)}$ ${\ displaystyle z (t) = c + b \ sin (2 \ pi t)}$ . Теперь нас интересует последовательность моментов времени ${t n} {\ displaystyle \ {t_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {t_ {n} \}}$ , когда y (t) достигает нуля.

Эта модель говорит нам, что в момент времени $tn - 1 {\ displaystyle t_ {n-1}}$ $t _ {{n-1}}$ верно, что $y (tn - 1) = c + б грех ⁡ (2 π tn - 1) {\ displaystyle y (t_ {n-1}) = c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1})}$ ${\ displaystyle y (t_ {n-1}) = c + b \ sin (2 \ pi t_ {n- 1})}$ . С этого момента $y {\ displaystyle y}$ $y$ затем будет линейно уменьшаться до $tn {\ displaystyle t_ {n}}$ $t_ {n}$ , где функция $y {\ displaystyle y}$ $y$ равно нулю, что дает:

0 = y (tn - 1) - a ⋅ (tn - tn - 1) 0 = [c + b sin ⁡ (2 π tn - 1)] - atn + atn - 1 tn = 1 a [c + b sin ⁡ (2 π tn - 1)] + tn - 1 tn = tn - 1 + ca + ba sin ⁡ (2 π tn - 1) {\ displaystyle {\ begin {align} 0 = y (t_ {n-1}) - a \ cdot (t_ {n} -t_ {n-1}) \\ [0.5em] 0 = \ left [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ right] -at_ {n} + at_ {n-1} \\ [0.5em] t_ {n} = {\ frac {1} {a} } \ left [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ right] + t_ {n-1} \\ [0.5em] t_ {n} = t_ {n-1} + { \ frac {c} {a}} + {\ frac {b} {a}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 = y (t_ {n-1}) -a \ cdot (t_ {n} -t_ {n-1}) \\ [0.5em] 0 = \ left [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ right] -at_ {n} + at_ {n-1} \\ [0.5em] t_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left [c + b \ sin (2 \ pi t_ {n-1}) \ right] + t_ {n-1} \\ [0.5em] t_ {n} = t_ {n-1} + {\ frac {c} {a}} + {\ frac {b} {a} } \ грех (2 \ пи t_ {п-1}) \ конец {выровнено}}}

и выбрав $Ω знак равно c / a {\ displaystyle \ Omega = c / a}$ ${\ displaystyle \ Omega = c / a}$ и $K = 2 π b / a {\ displaystyle K = 2 \ pi b / a}$ ${\ displaystyle K = 2 \ pi b / a}$ мы получить карту круга, обсужденную ранее:

tn = tn - 1 + Ω + K 2 π sin ⁡ (2 π tn - 1). {\ displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}).}

{\ displaystyle t_ {n} = t_ {n -1} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi t_ {n-1}).}

Стекло, L. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регулирование концентрации вещества в клетках или крови, с $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ выше представляет концентрацию определенного вещества.

В этой модели фазовая синхронизация $N: M {\ displaystyle N: M}$ ${\ displaystyle N: M}$ будет означать, что $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ сбрасывается точно $N {\ displaystyle N}$ $N$ раз каждые $M {\ displaystyle M}$ $M$ периодов синусоидальной $Z (T) {\ Displaystyle Z (T)}$ $z (t)$ . Число вращения, в свою очередь, будет частным $N / M {\ displaystyle N / M}$ $N/M$ .

Свойства

Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:

θ i + 1 = g (θ я) + Ω {\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = g (\ theta _ {i}) + \ Omega}

{\ displaystyle \ theta _ { я + 1} знак равно г (\ theta _ {i}) + \ Omega}

, где для стандартной карты окружности мы имеем $g (θ) знак равно θ + (К / 2 π) грех ⁡ (2 π θ) {\ displaystyle g (\ theta) = \ theta + (K / 2 \ pi) \ sin (2 \ pi \ theta)}$ ${\ displaystyle g (\ theta) = \ theta + (K / 2 \ pi) \ sin (2 \ pi \ theta)}$ . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения $f (θ) {\ displaystyle f (\ theta)}$ $f (\ theta)$ :

θ i + 1 = f (θ i) = θ i + Ω + K 2 π sin ⁡ (2 π θ i). {\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = f (\ theta _ {i}) = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}

{\ displaystyle \ theta _ {i + 1} = f (\ theta _ {i}) = \ theta _ {i} + \ Omega + {\ гидроразрыва {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}

Теперь перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.

P1. $f {\ displaystyle f}$ $f$ монотонно увеличивается для $K < 1 {\displaystyle K<1}$ ${\ displaystyle K <1}$ , поэтому для этих значений $K {\ displaystyle K}$ $K$ итерации $θ i {\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ перемещаются по кругу только вперед, а не назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная от $f {\ displaystyle f}$ $f$ равна:

f ′ (θ) = 1 + K cos ⁡ (2 π θ) {\ displaystyle f ' (\ theta) = 1 + K \ cos (2 \ pi \ theta)}

f'(\theta)=1+K\cos(2\pi \theta)

, который положителен, пока $K < 1 {\displaystyle K<1}$ ${\ displaystyle K <1}$ .

P2. При расширении рекуррентного соотношения получается формула для $θ n {\ displaystyle \ theta _ {n}}$ $\theta_n$ :

θ n = θ 0 + n Ω + K 2 π ∑ i = 0 n sin ⁡ (2 π θ я). {\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}

{\ Displaystyle \ тета _ {п} = \ тета _ {0 } + n \ Omega + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}).}

P3. Предположим, что $θ n = θ 0 mod 1 {\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} {\ bmod { 1}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} {\ bmod {1}}}$ , поэтому они являются периодическими фиксированными точками периода $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за цикл $θ i {\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ будет $M = (θ n - θ 0) ⋅ 1 {\ displaystyle M = (\ theta _ {n} - \ theta _ {0}) \ cdot 1}$ ${\ displaystyle M = (\ theta _ {n} - \ theta _ {0}) \ cdot 1}$ , что характеризует фазовую синхронизацию из $n: M {\ displaystyle n: M}$ ${\ displaystyle n: M}$ .

P4. Для любого $p ∈ N {\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}$ это правда что $f (θ + p) = f (θ) + p {\ displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) + p}$ ${\ displaystyle f (\ thet a + p) знак равно е (\ theta) + p}$ , что, в свою очередь, означает, что $е (θ + п) знак равно е (θ) модуль 1 {\ displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) {\ bmod {1}}}$ ${\ displaystyle f (\ theta + p) = f (\ theta) {\ bmod {1}}}$ . Из-за этого для многих целей не имеет значения, если итерации $θ i {\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ взяты по модулю $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ или нет.

P5 (трансляционная симметрия). Предположим, что для данного $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ существует $n: M {\ displaystyle n: M}$ ${\ displaystyle n: M}$ фазовая синхронизация в системе. Тогда для $Ω ′ = Ω + p {\ displaystyle \ Omega '= \ Omega + p}$ $\Omega '=\Omega +p$ с целым числом $p {\ displaystyle p}$ $p$ , будет быть a $n: (M + np) {\ displaystyle n: (M + np)}$ ${\ displaystyle n: (M + np)}$ фазовой синхронизацией. Это также означает, что если $θ 0,…, θ n {\ displaystyle \ theta _ {0}, \ dots, \ theta _ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}, \ dots, \ theta _ {n}}$ является периодической орбитой для параметра $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ , тогда это также периодическая орбита для любых $Ω ′ = Ω + p, p ∈ N {\ displaystyle \ Omega '= \ Omega + p, p \ in \ mathbb {N}}$ $\Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N}$ .

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что рекуррентное отношение в свойстве 2 будет выглядеть следующим образом:

θ n ′ = θ 0 + n Ω ′ + K 2 π ∑ i = 0 n sin ⁡ ( 2 π θ я) знак равно θ 0 + N (Ω + p) + К 2 π ∑ я = 0 n грех ⁡ (2 π θ я) = θ n + np, {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {n} '= \ theta _ {0} + n \ Omega' + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}) \\ = \ theta _ {0} + n (\ Omega + p) + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sin (2 \ pi \ theta _ {i}) \\ = \ theta _ {n} + np, \ end {align}}}

{\begin{aligned}\theta _{n}'=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\=\theta _{n}+np,\end{aligned}}

, поэтому, поскольку

θ n - θ 0 = M {\ displaystyle \ theta _ {n} - \ theta _ {0} = M}

{\ displaystyle \ theta _ {n} - \ theta _ {0} = M}

из-за исходной фазовой синхронизации, теперь у нас будет

θ n ′ - θ 0 = θ n + np - θ 0 Знак равно M + np {\ displaystyle \ theta _ {n} '- \ theta _ {0} = \ theta _ {n} + np- \ theta _ {0} = M + np}

\theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np

P6. Для $K = 0 {\ displaystyle K = 0}$ ${\ displaystyle K = 0}$ будет фазовая синхронизация всякий раз, когда $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Омега$ это рационально. Кроме того, пусть $Ω = p / q ∈ Q {\ displaystyle \ Omega = p / q \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ Omega = p / q \ in \ mathbb {Q}}$ , тогда фазовая синхронизация будет $q: p { \ displaystyle q: p}$ ${\ displaystyle q: p}$ .

Учитывая рекуррентное отношение в свойстве 2, рациональное

Ω = p / q {\ displaystyle \ Omega = p / q}

{\ displaystyle \ Omega = p / q}

подразумевает:

θ n = θ 0 + npq {\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n {\ frac {p} {q}}}

{\ displaystyle \ theta _ {n} = \ theta _ {0} + n {\ frac {p} {q}}}

и модуль равенства $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ будет удерживаться, только когда $n (p / q) {\ displaystyle n (p / q)}$ ${\ displaystyle n (p / q)}$ является целым числом, а первое $n {\ displaystyle n}$ $n$ , которому это удовлетворяет: $n = q {\ displaystyle n = q}$ ${\ displaystyle n = q}$ . Следовательно:

θ q = θ 0 + p {\ displaystyle \ theta _ {q} = \ theta _ {0} + p}

{\ displaystyle \ theta _ {q} = \ theta _ {0} + p}

(θ q - θ 0) = p {\ displaystyle (\ theta _ {q} - \ theta _ {0}) = p}

{\ displaystyle (\ theta _ {q} - \ t heta _ {0}) = p}

, что означает $q: p {\ displaystyle q: p}$ ${\ displaystyle q: p}$ фазовая синхронизация.

Для иррационального

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Омега

(что приводит к иррациональному вращению ) необходимо иметь

n Ω = k { \ displaystyle n \ Omega = k}

{\ displaystyle n \ Omega = k}

для целых чисел

n {\ displaystyle n}

n

k {\ displaystyle k}

k

, но тогда

Ω = k / n {\ displaystyle \ Omega = k / n}

{\ displaystyle \ Omega = k / n}

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Омега

рационально, что противоречит исходной гипотезе.

Синхронизация мод

Некоторые языки Арнольда для стандартной карты окружности, ε = K / 2π

Число вращения как функция Ω с K, сохраняемым постоянным при K = 1

Для малых для промежуточных значений K (то есть в диапазоне от K = 0 до примерно K = 1) и определенных значений Ω, на карте наблюдается явление, называемое синхронизацией мод или синхронизацией фазы . В области фазовой синхронизации значения θ n увеличиваются, по существу, как рациональное кратное n, хотя они могут делать это хаотично в мелком масштабе.

Ограничивающее поведение в областях с синхронизацией мод задается числом вращения.

ω = lim n → ∞ θ n n. {\ displaystyle \ omega = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ theta _ {n}} {n}}.}

{\ displaystyle \ omega = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac { \ theta _ {n}} {n}}.}

, которое также иногда называют числом на карте .

Зоны фазовой синхронизации, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область касается рационального значения Ω = p / q в пределе K → 0. Все значения (K, Ω) в одной из этих областей приведут к движению, так что число вращения ω = p / q. Например, все значения (K, Ω) в большой V-образной области в нижней части рисунка соответствуют числу вращения ω = 1/2. Одна из причин использования термина «блокировка» состоит в том, что отдельные значения θ n могут быть нарушены довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины язычка для данного значения K), не нарушая ограничение числа оборотов. То есть последовательность остается «привязанной» к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к серии θ n. Эта способность "фиксироваться" в присутствии шума является центральной для полезности электронной схемы петли фазовой автоподстройки частоты.

Существует область синхронизации мод для каждого рационального числа p / q. Иногда говорят, что карта круга отображает рациональные числа, набор нулевой меры при K = 0, в набор ненулевой меры для K ≠ 0. Самые большие языки, упорядоченные по размеру, встречаются при дробях Фарея. Фиксируя K и взяв поперечное сечение через это изображение, так что ω отображается как функция от Ω, дает «лестницу Дьявола», форму, которая в целом похожа на функцию Кантора. Можно показать, что для K <1, the circle map is a diffeomorphism, there exist only one stable solution. However as K>1 это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух областей стабильной синхронизации мод, но неизвестно, существует ли какой-либо предел на количество перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем.

Круговая карта также показывает субгармонические маршруты к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24,....

стандартная карта Чирикова

Стандартная карта Чирикова связана с картой окружности, имея аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как

θ n + 1 = θ n + pn + K 2 π sin ⁡ (2 π θ n) pn + 1 знак равно θ n + 1 - θ n {\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n} + {\ frac {K } {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {n}) \\ p_ {n + 1} = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n} \ end {выровнено} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n} + {\ frac {K} {2 \ pi}} \ sin (2 \ pi \ theta _ {n}) \\ p_ {n + 1} = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n} \ end {align}}}

с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартная карта вводит импульс p n, который может динамически изменяться, а не принудительно фиксироваться, как в карте круга. Стандартная карта изучается в физике с помощью ротора с ударным механизмом гамильтониана.

Приложения

Языки Арнольда были применены для изучения

Сердечные ритмы - см. Glass, L. et al. (1983) и McGuinness, M. et al. (2004)
Синхронизация резонансной

Галерея

Круговая карта, показывающая области с синхронизацией мод или языки Арнольда черным цветом. Ω изменяется от 0 до 1 вдоль оси x, а K изменяется от 0 внизу до 4π вверху. Чем краснее цвет, тем больше время повторения.

Число вращения, где черный цвет соответствует 0, зеленый - 1/2 и красный - 1. Ω изменяется от 0 до 1 по оси x, а K изменяется от 0 внизу до 2π вверху.

См. также

Штурмовское слово

Примечания

Ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Круговая карта». MathWorld.
Бойленд, П.Л. (1986). «Бифуркации круговых карт: языки Арнольда, бистабильность и интервалы вращения». Сообщения по математической физике. 106 (3): 353–381. Bibcode : 1986CMaPh.106..353B. DOI : 10.1007 / BF01207252. S2CID 121088353.
Gilmore, R.; Лефранк, М. (2002). Топология хаоса: Алиса в Stretch и Squeezeland. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-40816-6.- Содержит краткий обзор основных фактов в разделе 2.12.
Glass, L. ; Guevara, M.R.; Shrier, A.; Перес, Р. (1983). «Бифуркация и хаос в периодически стимулируемом сердечном осцилляторе». Physica D: нелинейные явления. 7 (1–3): 89–101. Bibcode : 1983PhyD.... 7... 89G. doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90119-7.- выполняет подробный анализ сердечных ритмов сердца в контексте круговой карты.
МакГиннесс, М.; Hong, Y.; Галлетли, Д.; Ларсен, П. (2004). «Языки Арнольда в кардиореспираторной системе человека». Хаос. 14 (1): 1–6. Bibcode : 2004Chaos..14.... 1M. doi : 10.1063 / 1.1620990. PMID 15003038.

Внешние ссылки

Круговая карта с интерактивным Java-апплетом