Arg max

редактировать

В качестве примера ненормализованный и нормализованный sinc функции, указанные выше, имеют arg max, равное {0}, поскольку обе достигают своего глобального максимального значения 1 при x = 0... Ненормализованная функция sinc (красный) имеет arg min, равное {−4,49, 4,49}, приблизительно, потому что он имеет 2 глобальных минимальных значения приблизительно -0,217 при x = ± 4,49. Однако нормализованная функция sinc (синий цвет) имеет arg min примерно {-1,43, 1,43}, потому что их глобальные минимумы происходят при x = ± 1,43, даже если минимальное значение такое же.

В математике, аргументы максимума (сокращенно arg max или argmax ) являются точками или элементами область некоторой функции, в которой значения функции максимизированы. В отличие от глобальных максимумов, который относится к наибольшим выходам функции, arg max относится к входам или аргументам, у которых выходы функции максимально велики.

Содержание

1 Определение
2 Arg min
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Для произвольного набор X, полностью упорядоченный набор Y и функция, $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ rightarrow Y}$ $е \ двоеточие X \ rightarrow Y$ , arg max над некоторым подмножеством S в X определяется следующим образом:

argmaxx ∈ S f (x): = {x ∣ x ∈ S ∧ ∀ y ∈ S: f (y) ≤ f (x)}. {\ displaystyle {\ underset {x \ in S} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ mid x \ in S \ wedge \ forall y \ in S: f (y) \ leq f (x) \}.}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in S} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ mid x \ in S \ клин \ forall y \ in S: f (y) \ leq f (x) \}.}

Если S = X или S ясно из контекста, то S часто не учитывается, как в $argmaxxf (x): = {x ∣ ∀ y: f (y) ≤ f (x)}. {\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x): = \ {x \ mid \ forall y: f (y) \ leq f (x) \}. }$ ${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, е (х): = \ {х \ середина \ forall y: f (y) \ leq f (x) \}.}$ Другими словами, arg max - это набор точек x, для которых f (x) достигает наибольшего значения функции (если оно существует). Arg max может быть пустым набором, синглом или содержать несколько элементов. Например, если f (x) равно 1− | x |, то f достигает максимального значения 1 только в точке x = 0. Таким образом,

argmaxx (1 - | x |) = {0} {\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, (1- | x |) = \ {0 \}}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname { arg \, max}}} \, (1- | x |) = \ {0 \}}

Оператор arg max отличается от оператора max. Оператор max при задании той же функции возвращает максимальное значение функции вместо точки или точек, которые заставляют эту функцию достичь этого значения; другими словами

max xf (x) {\ displaystyle \ max _ {x} f (x)}

\ max _ {x} f ( х)

- это элемент в

{f (x) ∣ ∀ y: f (y) ≤ f (x)}. {\ displaystyle \ {f (x) \ mid \ forall y: f (y) \ leq f (x) \}.}

{\ displaystyle \ {f (x) \ mid \ forall y: f (y) \ leq f (x) \}.}

Подобно arg max, max может быть пустым набором (в этом случае максимальное значение не определено) или одноэлементный, но в отличие от arg max, max не может содержать несколько элементов: например, если f (x) равно 4x - x, то $argmaxx (4 x 2 - x 4) = {- 2, 2} {\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ left (4x ^ {2} -x ^ {4} \ right) = \ left \ {- {\ sqrt {2 }}, {\ sqrt {2}} \ right \}}$ ${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ left (4x ^ {2} -x ^ {4} \ right) = \ left \ {- {\ sqrt {2}}, {\ sqrt {2}} \ right \}}$ , но $макс. x (4 x 2 - x 4) = {4} {\ displaystyle {\ underset {x} { \ operatorname {max}}} \, \ left (4x ^ {2} -x ^ {4} \ right) = \ {4 \}}$ ${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname { max}}} \, \ left (4x ^ {2} -x ^ {4} \ right) = \ {4 \}}$ , потому что функция достигает одного и того же значения в каждом элементе аргумент макс.

Эквивалентно, если M является максимумом f, то arg max является набором уровней максимума:

argmaxxf (x) = {x ∣ f (x) = M} =: е - 1 (M) {\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) = \ {x \ mid f (x) = M \} =: f ^ {- 1} (M)}

{\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \ е (х) = \ {х \ середина е (х) = М \} =: е ^ {- 1} (М)}

Мы можем переставить, чтобы получить простое тождество

f (argmaxxf (x)) = max xf (x) {\ displaystyle f \ left ({\ underset { x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) \ right) = \ max _ {x} f (x)}

{\ displaystyle f \ left ({\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, f (x) \ right) = \ max _ {x} f (x)}

Если максимум достигается в одной точке, то эта точка часто называется arg max, а arg max считается точкой, а не набором точек. Так, например,

argmaxx ∈ R (x (10 - x)) = 5 {\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, (x (10-x)) = 5}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} { \ operatorname {arg \, max}}} \, (x (10-x)) = 5}

(вместо singleton set {5}), поскольку максимальное значение x (10 - x) равно 25, что происходит при x = 5. Однако, если максимум достигается во многих точках, arg max необходимо рассматривать как набор точек.

Например,

argmaxx ∈ [0, 4 π] cos ⁡ (x) = {0, 2 π, 4 π} {\ displaystyle {\ underset {x \ in [0,4 \ pi ]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0,2 \ pi, 4 \ pi \}}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in [0,4 \ pi]} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ cos (x) = \ {0,2 \ пи, 4 \ пи \}}

так как максимальное значение cos (x) равно 1, которое происходит на этом интервале при x = 0, 2π или 4π. На всей прямой

argmaxx ∈ R cos ⁡ (x) = {2 k π: k ∈ Z} {\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max }}} \, \ cos (x) = \ {2k \ pi: k \ in \ mathbb {Z} \}}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname { arg \, max}}} \, \ соз (х) = \ {2k \ pi: k \ in \ mathbb {Z} \}}

, поэтому бесконечное множество.

Функции, как правило, не должны достигать максимальное значение, и поэтому arg max иногда является пустым набором ; например, $argmaxx ∈ R x 3 = ∅ {\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, x ^ {3} = \ emptyset }$ ${\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R }} {\ operatorname {arg \, max}}} \, x ^ {3} = \ emptyset}$ , поскольку $x 3 {\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ {3}$ является неограниченным на действительной линии. В качестве другого примера $argmaxx ∈ R arctan ⁡ (x) = ∅ {\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ arctan (x) = \ emptyset}$ ${\ displaystyle {\ underset {x \ in \ mathbb {R}} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ arctan (x) = \ emptyset}$ , хотя arc tan ограничен ± π / 2. Однако в соответствии с теоремой об экстремальных значениях непрерывная функция с действительными значениями на отрезке имеет максимум и, следовательно, непустой аргумент max.

Arg min

arg min (или argmin ) обозначает аргумент минимального и определяется аналогично. Например,

argminx ∈ S f (x): = {x ∈ S ∣ ∀ y ∈ S: f (y) ≥ f (x)} {\ displaystyle {\ underset {x \ in S} {\ operatorname {arg \, min}}} \, f (x): = \ {x \ in S \ mid \ forall y \ in S: f (y) \ geq f (x) \}}

{\ displaystyle {\ underset {x \ in S} {\ operatorname {arg \, min}}} \, f (x): = \ {x \ in S \ mid \ forall y \ in S: f (y) \ geq f (x) \}}

- точки x для которого f (x) достигает наименьшего значения. Это дополнительный оператор для $argmax {\ displaystyle \ operatorname {arg \, max}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {arg \, max}}$ .

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

arg min и arg max в PlanetMath. org.