Вариация Аллана

Измерение стабильности частоты в часах и генераторах

Часы легче всего проверить, сравнив их с гораздо более точными эталонными часами. В течение интервала времени τ, измеряемого эталонными часами, тестируемые часы продвигаются вперед на τy, где y - средняя (относительная) тактовая частота за этот интервал. Если мы измеряем два последовательных интервала, как показано, мы можем получить значение (y - y ′) - меньшее значение указывает на более стабильные и точные часы. Если мы повторим эту процедуру много раз, среднее значение (y - y ') будет равно удвоенной дисперсии Аллана (или квадрату отклонения Аллана) для времени наблюдения τ.

Дисперсия Аллана (AVAR ), также известная как двухвыборочная дисперсия, является мерой стабильности частоты в тактовых частотах, осцилляторах и усилители, названные в честь Дэвида В. Аллана и математически выраженные как $\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\}$. отклонение Аллана (ADEV ), также известное как сигма-тау, является квадратным корнем из дисперсии Аллана, $\sigma \; y\; (\tau )\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; (\backslash \; tau)\}$.

Дисперсия M-выборки - это мера стабильности частоты с использованием M выборок, времени T между измерениями и времени наблюдения $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$. Дисперсия M-выборки выражается как

$\sigma \; y\; 2\; (M,\; T,\; \tau ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (M,\; T,\; \backslash \; tau).\}$

Дисперсия Аллана предназначена для оценки стабильности из-за шумовых процессов, а не из-за систематических ошибок или дефектов, таких как дрейф частоты или температурные эффекты. Дисперсия Аллана и девиация Аллана описывают стабильность частоты. См. Также раздел Интерпретация значения ниже.

Существуют также различные адаптации или изменения дисперсии Аллана, в частности, модифицированная дисперсия Аллана, MAVAR или MVAR, и. Также существуют варианты с временной стабильностью, такие как отклонение во времени TDEV или отклонение во времени TVAR. Дисперсия Аллана и ее варианты доказали свою полезность вне рамок хронометража и представляют собой набор улучшенных статистических инструментов, которые можно использовать всякий раз, когда шумовые процессы не являются безусловно стабильными, поэтому существует производная.

Общая дисперсия M-выборки остается важной, поскольку она допускает мертвое время в измерениях, а функции смещения позволяют преобразовывать в значения дисперсии Аллана. Тем не менее, для большинства приложений наибольший интерес представляет особый случай двухвыборки, или «дисперсии Аллана» с $T\; =\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; tau\}$.

Пример графика отклонения Аллана часов. При очень коротком времени наблюдения τ отклонение Аллана велико из-за шума. При больших τ он уменьшается, так как шум усредняется. При еще большем значении τ отклонение Аллана снова начинает увеличиваться, предполагая, что тактовая частота постепенно дрейфует из-за изменений температуры, старения компонентов или других подобных факторов. Планки погрешностей увеличиваются с увеличением τ просто потому, что получение большого количества точек данных для больших τ занимает много времени.

• 1 Предпосылки
• 2 Интерпретация значения
• 3 Определения
  • 3,1 млн -выборочная дисперсия
  • 3.2 Вариация Аллана
  • 3.3 Отклонение Аллана
• 4 Дополнительные определения
  • 4.1 Модель осциллятора
  • 4.2 Временная ошибка
  • 4.3 Функция частоты
  • 4.4 Дробная частота
  • 4.5 Среднее относительная частота
• 5 Оценщиков
  • 5.1 Условные обозначения
  • 5.2 Фиксированные оценки τ
  • 5.3 Неперекрывающиеся оценки τ переменных
  • 5.4 Перекрывающиеся переменные оценки τ
  • 5.5 Модифицированная дисперсия Аллана
  • 5.6 Временная стабильность Оценщики
  • 5.7 Другие оценщики
• 6 Доверительные интервалы и эквивалентные степени свободы
  • 6.1 Доверительный интервал
  • 6.2 Эффективные степени свободы
• 7 Степенный шум
  • 7.1 Отображение α – μ
  • 7.2 Общее преобразование из фазового шума
• 8 Линейная характеристика
• 9 Свойства частотно-временного фильтра
• 10 Функции смещения
  • 10.1 B 1 Функция смещения
  • 10,2 B 2 функция смещения
  • 10,3 B 3 функция смещения
  • 10,4 функция смещения τ
  • 10,5 Преобразование между значениями
• 11 Проблемы измерения
  • 11.1 Пределы ширины полосы измерения
  • 11.2 Время простоя при измерениях
  • 11.3 Длина измерения и эффективное использование образцов
  • 11.4 Доминирующий тип шума
  • 11.5 Линейный дрейф
  • 11.6 Смещение оценки измерительного прибора
• 12 Практические измерения
  • 12.1 Измерение
  • 12.2 Постобработка
  • 12.3 Оборудование и программное обеспечение
• 13 История исследований
• 14 Образовательные и практические ресурсы
• 15 Использование
• 16 50-летие
• 17 См. Также
• 18 Источники
• 19 Внешние ссылки

При исследовании стабильности кварцевых генераторов и атомных часов было обнаружено, что они работают. не иметь фазового шума , состоящего только из белого шума, но также из шума частоты мерцания. Эти формы шума становятся проблемой для традиционных статистических инструментов, таких как стандартное отклонение, поскольку оценка не сходится. Таким образом, шум считается расходящимся. Первые попытки анализа стабильности включали как теоретический анализ, так и практические измерения.

Важным побочным следствием наличия этих типов шума было то, что, поскольку различные методы измерения не согласовывались друг с другом, ключевой аспект не удалось добиться воспроизводимости измерения. Это ограничивает возможность сравнения источников и составления значимых спецификаций, требуемых от поставщиков. Практически все формы научного и коммерческого использования тогда ограничивались специальными измерениями, которые, как мы надеемся, уловят потребность в этом приложении.

Для решения этих проблем Дэвид Аллан ввел дисперсию M-выборки и (косвенно) дисперсию двух выборок. Хотя двухвыборочная дисперсия не позволяла полностью различить все типы шума, она предоставила средства для значимого разделения многих форм шума для временных рядов измерений фазы или частоты между двумя или более генераторами. Аллан предоставил метод преобразования любой дисперсии M-выборки в любую дисперсию N-выборки с помощью общей дисперсии для двух выборок, что сделало все дисперсии M-выборки сопоставимыми. Механизм преобразования также доказал, что дисперсия M-выборки не сходится для больших M, что делает их менее полезными. Позже IEEE определил двухвыборочную дисперсию как предпочтительную меру.

Первоначальное беспокойство было связано с приборами для измерения времени и частоты, у которых было мертвое время между измерениями. Такая серия измерений не обеспечивает непрерывного наблюдения за сигналом и, таким образом, вносит систематическое смещение в измерение. Оценка этих предубеждений была проведена с большой осторожностью. Введение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило необходимость, но инструменты анализа смещения оказались полезными.

Другой ранний аспект беспокойства был связан с тем, как полоса измерительного прибора будет влиять на измерение, так что это необходимо было отметить. Позже было обнаружено, что при алгоритмическом изменении наблюдения $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$будут затронуты только низкие значения $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, в то время как более высокие значения не будут затронуты. Изменение $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$осуществляется путем присвоения ему целого кратного $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$измерения временной шкалы. $\tau \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\}$:

$\tau \; =\; n\; \tau \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}.\}$

Физика кварцевых генераторов была проанализирована DB Leeson, и результат теперь упоминается как уравнение Leeson. Обратная связь в генераторе сделает белый шум и фликкер-шум усилителя обратной связи, а кристалл станет степенным шумом $f\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 2\}\}$белый частотный шум и $f\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 3\}\}$частота мерцания шум соответственно. Эти формы шума приводят к тому, что средство оценки стандартной дисперсии не сходится при обработке отсчетов временной ошибки. Эта механика осцилляторов обратной связи была неизвестна, когда началась работа над стабильностью осцилляторов, но была представлена ​​Лисоном в то же время, когда Дэвид У. Аллан предоставил набор статистических инструментов. Для более подробного представления см. Современную литературу по фазовому шуму.

Дисперсия Аллана определяется как половина среднего по времени квадратов разностей между последовательными показаниями. отклонения частоты, дискретизированного за период дискретизации. Дисперсия Аллана зависит от периода времени, используемого между выборками, поэтому она является функцией периода выборки, обычно обозначаемой как τ, аналогично измеряемому распределению и отображается в виде графика, а не одного числа. Низкая дисперсия Аллана - это характеристика часов с хорошей стабильностью в течение измеряемого периода.

Отклонение Аллана широко используется для построения графиков (обычно в формате журнал – журнал ) и представления чисел. Это предпочтительнее, так как дает относительную стабильность амплитуды, позволяя легко сравнивать с другими источниками ошибок.

Отклонение Аллана 1,3 × 10 при времени наблюдения 1 с (т. Е. Τ = 1 с) следует интерпретировать как наличие нестабильности частоты между двумя наблюдениями с интервалом в 1 секунду с относительным среднеквадратическим (RMS) значение 1,3 × 10. Для тактовой частоты 10 МГц это будет эквивалентно движению RMS на 13 МГц. Если необходима фазовая стабильность генератора, следует проконсультироваться и использовать варианты временного отклонения.

Можно преобразовать дисперсию Аллана и другие дисперсии во временной области в измерения времени (фазы) и стабильности частоты в частотной области.

Дисперсия M-выборки

$M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$-выборочная дисперсия определяется (здесь в модернизированной форме обозначений) как

$\sigma \; y\; 2\; (M,\; T,\; \tau )\; =\; 1\; M\; -\; 1\; \{\sum \; i\; =\; 0\; M\; -\; 1\; [x\; (i\; T\; +\; \tau )\; -\; x\; (i\; T)\; \tau ]\; 2\; -\; 1\; M\; [\sum \; i\; =\; 0\; M\; -\; 1\; x\; (i\; T\; +\; \tau )\; -\; x\; (i\; T)\; \tau ]\; 2\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (M,\; T,\; \backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M-1\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{x\; (iT\; +\; \backslash \; tau)\; -x\; (iT)\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M\}\; \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; (iT\; +\; \backslash \; tau)\; -x\; (iT)\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

где $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$- показание часов (в секундах), измеренное в момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, или с средней относительной частотой временные ряды

$\sigma \; y\; 2\; (M,\; T,\; \tau )\; =\; 1\; M\; -\; 1\; \{\sum \; i\; =\; 0\; M\; -\; 1\; y\; ¯\; i\; 2\; -\; 1\; M\; [\sum \; я\; знак\; равно\; 0\; M\; -\; 1\; y\; ¯\; я]\; 2\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sig\; ma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (M,\; T,\; \backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M-1\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

где $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- количество выборок частоты, используемых в дисперсии, $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это время между каждой частотной выборкой, а $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- это продолжительность каждой оценки частоты.

Важным аспектом является то, что $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$-выборочная модель дисперсии может включать мертвое время, позволяя времени $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$отличаться от $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$.

дисперсия Аллана

Дисперсия Аллана определяется как

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (2,\; \tau ,\; \tau )⟩,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (2,\; \backslash \; tau,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; rangle,\}$

где $⟨\dots ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; dots\; \backslash \; rangle\}$обозначает оператор ожидания. Это удобно выразить как

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; ⟨(y\; ¯\; n\; +\; 1\; -\; y\; ¯\; n)\; 2⟩\; =\; 1\; 2\; \tau \; 2\; ⟨(xn\; +\; 2\; -\; 2\; xn\; +\; 1\; +\; xn)\; 2⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; langle\; (\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{n\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; langle\; (x\_\; \{n\; +\; 2\}\; -2x\_\; \{n\; +\; 1\}\; +\; x\_\; \{n\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle,\}$

где $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- период наблюдения, $y\; ¯\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{n\}\}$- n-е дробное значение частоты, среднее за время наблюдения $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$.

Образцы взяты без мертвое время между ними, которое достигается положением

$T\; =\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \backslash \; tau.\}$

Отклонение Аллана

Как и в случае с стандартным отклонением и дисперсией, отклонение Аллана определяется как квадратный корень из дисперсия Аллана:

$\sigma \; y\; (\tau )\; =\; \sigma \; y\; 2\; (\tau ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\}\}.\}$

Модель осциллятора

Предполагается, что анализируемый осциллятор следует базовой модели

$V\; (t)\; =\; V\; 0\; sin\; \; (\Phi \; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (t)\; =\; V\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; Phi\; (t)).\}$

Предполагается, что осциллятор имеет номинальную частоту $\nu \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}$, указывается в циклах в секунду (единица СИ: герц ). Номинальная угловая частота $\omega \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}$(в радианах в секунду) задается как

$\omega \; n\; =\; 2\; \pi \; \nu \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}.\}$

Полная фаза может быть разделена на идеально циклическую составляющую $\omega \; nt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; t\}$вместе с колеблющимся компонентом $\varphi \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (t)\}$:

$\Phi \; (t)\; =\; \omega \; nt\; +\; \varphi \; (t)\; =\; 2\; \pi \; \nu \; nt\; +\; \varphi \; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (t)\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; (t)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; (t).\}$

Ошибка времени

Функция ошибки времени x (t) - это разница между ожидаемым номинальным временем и фактическим нормальным временем:

$x\; (t)\; =\; \varphi \; (t)\; 2\; \pi \; \nu \; n\; =\; \Phi \; (t)\; 2\; \pi \; \nu \; n\; -\; t\; =\; T\; (t)\; -\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; (t)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\; (t)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}\}\; -\; t\; =\; T\; (t)\; -t.\}$

Для измеренных значений ряд временных ошибок TE (t) определяется из функции эталонного времени T REF (t) как

$TE\; (t)\; =\; T\; (t)\; -\; T\; REF\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; TE\; (t)\; =\; T\; (t)\; -T\; \_\; \{\backslash \; text\; \{REF\}\}\; (t).\}$

Функция частоты

Функция частоты $\nu \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (t)\}$- частота во времени, определяемая как

$\nu \; (t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; d\; \Phi \; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Phi\; (t)\}\; \{dt\}\}.\}$

Дробная частота

дробная частота y (t) - это нормализованная разница между частотой $\nu \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (t)\}$и номинальной частотой $\nu \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}$:

$y\; (t)\; =\; \nu \; (t)\; -\; \nu \; n\; \nu \; n\; =\; \nu \; (t)\; \nu \; n\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; (\; t)\; -\; \backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; (t)\}\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\}\; \}\; -1.\}$

Средняя относительная частота

Средняя относительная частота определяется как

$y\; ¯\; (t,\; \tau )\; =\; 1\; \tau \; \int \; 0\; \tau \; y\; (t\; +\; tv)\; dtv,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; (t,\; \backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tau\}\; y\; (t\; +\; t\_\; \{v\})\; \backslash ,\; dt\_\; \{v\},\}$

где среднее значение берется за время наблюдения τ, y (t) - это относительная частотная ошибка в момент времени t, а τ - время наблюдения.

Поскольку y (t) является производной от x (t), мы можем без ограничения общности переписать ее как

$y\; ¯\; (t,\; \tau )\; =\; x\; (t\; +\; \tau )\; -\; x\; (t)\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; (t,\; \backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; (t\; +\; \backslash \; tau)\; -x\; (t)\}\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

Это определение основано на статистическом ожидаемом значении, интегрированном за бесконечное время. Реальная ситуация не позволяет использовать такие временные ряды, и в этом случае вместо него необходимо использовать статистическую оценку . Будет представлен и обсужден ряд различных оценок.

Условные обозначения

• Количество выборок частоты в серии с дробной частотой обозначается буквой M.
• Количество выборок временной ошибки в серии временных ошибок обозначается N.

Связь между количеством отсчетов с дробной частотой и сериями временных ошибок зафиксирована в соотношении

$N\; =\; M\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; =\; M\; +\; 1.\}$

• Для time- error sample series, x i обозначает i-ую выборку функции непрерывного времени x (t), как задано

$xi\; =\; x\; (i\; T),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\; \}\; =\; x\; (iT),\}$

где T - время между измерениями. Для дисперсии Аллана используемое время имеет значение T, равное времени наблюдения τ.

В серии выборок ошибка времени пусть N обозначает количество выборок (x 0... x N-1) в серии. В традиционном соглашении используются индексы от 1 до N.

• Для средней дробно-частотной серии выборок, $y\; ¯\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\}\}$обозначает i-ю выборку средней непрерывной дробно-частотной функции y (t), заданной как

$y\; ¯\; i\; =\; y\; ¯\; (T\; i,\; \tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{\; i\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; (Ti,\; \backslash \; tau),\}$

, что дает

$y\; ¯\; i\; =\; 1\; \tau \; \int \; 0\; \tau \; y\; (i\; T\; +\; tv)\; dtv\; =\; x\; (i\; T\; +\; \tau )\; -\; x\; (i\; T)\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tau\}\; y\; (iT\; +\; t\_\; \{v\})\; \backslash ,\; dt\_\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; (iT\; +\; \backslash \; tau)\; -x\; (iT)\}\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

Для предположения дисперсии Аллана, что T равно τ, это становится

$y\; ¯\; i\; =\; xi\; +\; 1\; -\; xi\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

средняя дробная частота выборочная серия позволяет M обозначать количество выборок ($y\; ¯\; 0\dots \; y\; ¯\; M\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{M\; -1\}\}$) в серии. В традиционном соглашении используются индексы от 1 до M.

Для сокращения средняя дробная частота часто пишется без средней полосы над ней. Однако это формально неверно, поскольку дробная частота и средняя дробная частота - это две разные функции. Измерительный прибор, способный производить оценки частоты без мертвого времени, фактически предоставит временной ряд со средней частотой, который нужно только преобразовать в среднюю дробную частоту и затем использовать напрямую.

• Кроме того, принято позволять τ обозначать номинальную разницу во времени между соседними фазовыми или частотными отсчетами. Временной ряд, взятый для одной разницы во времени τ 0, может использоваться для генерации дисперсии Аллана для любого τ, являющегося целым кратным τ 0, и в этом случае τ = n τ 0, и n становится переменной для оценки.
• Время между измерениями обозначается буквой T, которая представляет собой сумму времени наблюдения τ и мертвого времени.

Фиксированное время τ оценки

Первой простой оценкой было бы прямое преобразование определения в

$\sigma \; y\; 2\; (\tau ,\; M)\; =\; AVAR\; (\tau ,\; M)\; =\; 1\; 2\; (M\; -\; 1)\; \sum \; i\; =\; 0\; M\; -\; 2\; (Y\; ¯\; я\; +\; 1\; -\; Y\; ¯\; я)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau,\; M)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\}\}\; (\backslash \; tau,\; M)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; (M-1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{M-2\}\; (\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\})\; ^\; \{2\},\}$

или для временного ряда:

$\sigma \; y\; 2\; (\tau ,\; N)\; =\; AVAR\; (\tau ,\; N)\; =\; 1\; 2\; \tau \; 2\; (N\; -\; 2)\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 0\; N\; -\; 3\; (xi\; +\; 2-2\; xi\; +\; 1\; +\; xi)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau,\; N)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\}\}\; (\backslash \; tau,\; N)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; (N\; -2)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{N-3\}\; (x\_\; \{i\; +\; 2\}\; -2x\_\; \{i\; +\; 1\}\; +\; x\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}.\}$

Эти формулы, однако, обеспечивают расчет только для случая τ = τ 0. Чтобы рассчитать другое значение τ, необходимо предоставить новый временной ряд.

Неперекрывающиеся оценки τ переменных

Взяв временной ряд и пропустив n - 1 выборку, новый (более короткий) временной ряд возник бы с τ 0 как время между соседними выборками, для которого дисперсия Аллана может быть рассчитана с помощью простых оценок. Их можно было бы изменить, чтобы ввести новую переменную n, чтобы не нужно было создавать новые временные ряды, а вместо этого можно было бы повторно использовать исходные временные ряды для различных значений n. Оценки имеют вид

$\sigma \; y\; 2\; (n\; \tau \; 0,\; M)\; =\; AVAR\; (n\; \tau \; 0,\; M)\; =\; 1\; 2\; M\; -\; 1\; n\; \sum \; i\; =\; 0\; M\; -\; 1\; n\; -\; 1\; (y\; ¯\; ni\; +\; n\; -\; y\; ¯\; ni)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; M)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\}\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; M)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; frac\; \{M-1\}\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{M-1\}\; \{n\}\}\; -\; 1\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\; y\}\}\; \_\; \{ni\; +\; n\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{ni\})\; ^\; \{2\}\}$

с $n\; \le \; M\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; leq\; M-1\}$,

и для временного ряда:

$\sigma \; y\; 2\; (n\; \tau \; 0,\; N)\; =\; AVAR\; (n\; \tau \; 0,\; N)\; =\; 1\; 2\; n\; 2\; \tau \; 0\; 2\; (N\; -\; 1\; n\; -\; 1)\; \sum \; i\; =\; 0\; N\; -\; 1\; n\; -\; 2\; (xni\; +\; 2\; n\; -\; 2\; xni\; +\; n\; +\; xni)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; N)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\; \}\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; N)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{N-1\}\; \{n\}\}\; -\; 1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{N-1\}\; \{n\}\}\; -\; 2\}\; (x\_\; \{ni\; +\; 2n\}\; -2x\_\; \{ni\; +\; n\}\; +\; x\_\; \{ni\})\; ^\; \{2\}\}$

с $n\; \le \; N\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{N-1\}\; \{2\}\}\}$.

У этих оценщиков есть существенный недостаток в том, что они будут терять значительный объем выборочных данных, поскольку используется только 1 / n из доступных образцов.

Перекрывающиеся оценки переменных τ

Метод, представленный Дж. Дж. Снайдером, предоставил улучшенный инструмент, поскольку измерения перекрывались в n перекрывающихся сериях из исходной серии. Перекрывающаяся оценка дисперсии Аллана была введена Хоу, Алланом и Барнсом. Можно показать, что это эквивалентно усреднению временных или нормированных частотных отсчетов в блоках по n отсчетов перед обработкой. Результирующий предиктор принимает вид

$\sigma \; y\; 2\; (n\; \tau \; 0,\; M)\; =\; AVAR\; (n\; \tau \; 0,\; M)\; =\; 1\; 2\; n\; 2\; (M\; -\; 2\; n\; +\; 1)\; \sum \; j\; =\; 0\; M\; -\; 2\; n\; (\sum \; i\; знак\; равно\; jj\; +\; n\; -\; 1\; yi\; +\; n\; -\; yi)\; 2\; знак\; равно\; 1\; 2\; (M\; -\; 2\; n\; +\; 1)\; \sum \; j\; =\; 0\; M\; -\; 2\; n\; (y\; ¯\; j\; +\; n\; -\; y\; ¯\; j)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; M)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\}\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; M)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\; ^\; \{2\; \}\; (M-2n\; +\; 1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{M-2n\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; j\}\; ^\; \{j\; +\; n-1\}\; y\_\; \{i\; +\; n\}\; -\; y\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; (M-2n\; +\; 1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{M-2n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; bar\; \{\; y\}\}\; \_\; \{j\; +\; n\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

или для временного ряда:

$\sigma \; y\; 2\; (n\; \tau \; 0,\; N)\; =\; AVAR\; (n\; \tau \; 0,\; N)\; =\; 1\; 2\; n\; 2\; \tau \; 0\; 2\; (N\; -\; 2\; n)\; \sum \; i\; =\; 0\; N\; -\; 2\; n\; -\; 1\; (xi\; +\; 2\; n\; -\; 2\; xi\; +\; n\; +\; xi)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; N)\; =\; \{\backslash \; text\; \{AVAR\}\}\; (n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\},\; N)\; =\; \{\backslash \; frac\{1\}\; \{2n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (N-2n)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{N-2n-1\}\; (x\_\; \{i\; +\; 2n\}\; -\; 2x\_\; \{i\; +\; n\}\; +\; x\_\; \{i\})\; ^\; \{2\}.\}$

Перекрывающиеся оценщики имеют более широкое применение по сравнению с непересекающимися странами-оценщиками, поскольку возрастает, временной ряд имеет умеренную длину. Перекрывающиеся оценки были приняты в качестве предпочтительных оценок дисперсии Аллана в стандарте IEEE, ITU-T и ETSI для сопоставимых измерений, например, необходимых для аттестации электросвязи.

Модифицированная дисперсия Аллана

Для проблем неспособности отделить модуль фазы от белого модуляции фазы мерцания с использованием решения средств оценки дисперсии Аллана алгоритмическая фильтрация уменьшает полосу пропускания на n. Эта фильтрация обеспечивает модификацию и определение оценок и теперь идентифицируется как отдельный класс дисперсии, называемый модифицированной дисперсией Аллана. Модифицированная мера дисперсии Аллана является мерой стабильности частоты, так же как и дисперсия Аллана.

Оценщики временной стабильности

Статистический показатель временной стабильности (σ x), который часто называют временным отклонением (TDEV), можно рассчитать на основе модифицированного отклонения Аллана. (MDEV). TDEV основан на MDEV вместо исходного отклонения Аллана, потому что MDEV может различать фазовую модуляцию белого и фликкер-модуляцию (PM). Ниже представлена ​​технология временной дисперсии на основе модифицированной дисперсии Аллана:

$\sigma \; x\; 2\; (\tau )\; =\; \tau \; 2\; 3\; Mod\; \sigma \; y\; 2\; (\tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; \{\backslash \; text\; \{Mod\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau),\}$

и аналогично для модифицированного отклонения Аллана до отклонения по времени :

$\sigma \; x\; (\tau )\; =\; \tau \; 3\; Mod\; \sigma \; y\; (\tau ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; text\; \{Mod\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; (\backslash \; tau).\}$

TDEV нормализован так, чтобы он был равен классу отклонения для белого PM для постоянной времени τ = τ 0. Чтобы понять масштабный коэффициент нормализации между статистическими показателями, используйте следующее статистическое правило: для независимых статистических величин X и Y дисперсия (σ z) сумма или разницы (z = x - y) представляет собой квадрат суммы дисперсий (σ z = σ x + σ y). Дисперсия или разности (y = x 2τ - x τ) двух независимых выборок случайной величины вдвое время дисперсии случайной величины (σ y = 2σ x). MDEV - это вторая разность независимых фазовых измерений (x), которые имеют дисперсию (σ x). Расчет представляет собой двойную разность, которая требует трех независимых фазовых измерений (x 2τ - 2x τ + x), модифицированная дисперсия Аллана (MVAR) в три раза дисперсию фазовые измерения.

Другие средства оценки

Дальнейшие разработки к появлению улучшенных методов оценки для той же стабильности, дисперсии / отклонения частоты, но они известны под разными именами, такими как «the», «the» и «the». Они оптимальным использованием статистики для улучшения доверительных границ или способностью справляться с линейным дрейфом частоты.

Статистические оценщики вычисляют оценочное значение для использованной серии выборок. Оценки могут отклоняться от истинного значения, и диапазон значений, с некоторой вероятностью будет содержать истинное значение, называется доверительным интервалом. Доверительный интервал зависит от количества наблюдений в выборке, преобладающего типа шума и используемой оценки. Ширина также зависит от статистической достоверности, для которой значение доверительного интервала образуют ограниченный диапазон, таким образом, статистическую уверенность в том, что истинное значение находится в этом диапазоне значений. Для оценки кратное n τ 0 также является альтернативным.

Доверительный интервал

Доверительный интервал может быть установлен с использованием распределения хи-квадрат с использованием распределения дисперсии выборки :

$\chi \; 2\; знак\; равно\; df\; s\; 2\; \sigma \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash ,\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где s - выборочная дисперсия нашей оценки, σ - истинное значение дисперсии, df - степень свободы для оценки, а χ - степень свободы для большей вероятности. Для вероятности 90%, охватывающий диапазон от 5% до 95% на кривой вероятности, верхний и нижний пределы могут быть найдены с использованием неравенства

$\chi \; 2\; (0,05)\; \le \; df\; s\; 2\; \sigma \; 2\; \le \; \chi \; 2\; (0,95),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; чи\; ^\; \{2\}\; (0,05)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash ,\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; (0,95),\}$

который после перестановки для истинной дисперсии становится

$df\; s\; 2\; \chi \; 2\; (0,95)\; \le \; \sigma \; 2\; \le \; df\; s\; 2\; \chi \; 2\; (0,05).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash ,\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; (0.95)\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{\; \{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash ,\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; (0.05)\}\}.\}$

Эффективные степени свободы

степени свободы представляет количество представленных выражений, способных внести свой вклад в оценку. В зависимости от оценщика и типа шума эффективные меры свободы выбора. Формулы оценки, зависящие от N и n, были найдены эмпирические:

Степени свободы по дисперсии Аллана

Тип шума	Степени свободы
Фазовая модуляция белого (WPM)	$df\; \cong \; (N\; +\; 1)\; (N\; -\; 2\; n)\; 2\; (N\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{(N\; +\; 1)\; (N-2n)\}\; \{2\; (Nn)\}\}\}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	$df\; \cong \; exp\; \; [(ln\; \; N\; -\; 1\; 2\; n\; ln\; \; (2\; n\; +\; 1)\; (N\; -\; 1)\; 4)\; -\; 1/2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; текст\; \{df\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{N-1\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{(2n\; +\; 1)\; (N-1)\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; right]\}$
частотная модуляция белого (WFM)	$df\; \cong \; [3\; (N\; -\; 1)\; 2\; n\; -\; 2\; (N\; -\; 2)\; N]\; 4\; n\; 2\; 4\; п\; 2\; +\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{3\; (N-1)\}\; \{2n\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (N-2)\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right]\; \{\backslash \; frac\; \{4n\; ^\; \{2\}\}\; \{4n\; ^\; \{2\}\; +5\}\}\}$
частотная модуляция мерцания (FFM)	$df\; \cong \; \{2\; (N\; -\; 2)\; 2.3\; N\; -\; 4.9\; n\; Знак\; равно\; 1\; 5\; N\; 2\; 4\; n\; (N\; +\; 3\; n)\; n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\; (N-2)\}\; \{2.3N-\; 4.9\}\}\; n\; =\; 1\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{5N\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{4n\; (N\; +\; 3n)\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 2\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$
Частота случайного блуждания модуляция (RWFM)	$df\; \cong \; N\; -\; 2\; n\; (N\; -\; 1)\; 2\; -\; 3\; N\; (N\; -\; 1)\; +\; 4\; N\; 2\; (N\; -\; 3)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{df\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{N-2\}\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(N-1)\; ^\; \{2\}\; -3n\; (N-1)\; +\; 4n\; ^\; \{2\}\}\; \{(N-3)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Дисперсия Аллана будет обрабатывать различные степенные помехи по-разному, что позволяет их идентифицировать и оценивать их силу. Обычно ширина измерительной системы (верхняя угловая частота) обозначается f H.

характеристика степенного шума дисперсии Аллана

Тип степенного шума	Наклон фазового шума	Частотный шум наклон	Коэффициент мощности	Фазовый шум. $S\; x\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\; (f)\}$	Дисперсия Аллана. $\sigma \; Y\; 2\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\}$	отклонение Аллана. $\sigma \; y\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; (\backslash \; tau)\}$
модуляция фазы белого (WPM)	$f\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{0\}\; =\; 1\}$	$f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{2\}\}$	$h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{2\}\}$	$1\; (2\; \pi )\; 2\; час\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\}\}\; h\_\; \{2\}\}$	$3\; f\; H\; 4\; \pi \; 2\; \tau \; 2\; час\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3f\_\; \{H\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; h\_\; \{2\}\}$	$3\; f\; H\; 2\; \pi \; \tau \; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3f\_\; \{H\}\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\_\; \{2\}\}\}\}$
фазовая модуляция мерцания (FPM)	$f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\; -\; 1\}\}$	$f\; 1\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyl\; ef\; ^\; \{1\}\; =\; f\}$	$час\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{1\}\}$	$1\; (2\; \pi )\; 2\; fh\; 1\; \{\backslash \; displayst\; yle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\; 2\}\; f\}\}\; h\_\; \{1\}\}$	$3\; [\gamma \; +\; ln\; \; (2\; \pi \; f\; H\; \tau )]\; -\; ln\; \; 2\; 4\; \pi \; 2\; \tau \; 2\; час\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\; [\backslash \; gamma\; +\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\; \backslash \; tau)]\; -\; \backslash \; ln\; 2\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; час\_\; \{1\}\}$	$3\; [\gamma \; +\; пер\; \; (\; 2\; \pi \; е\; час\; \tau )]\; -\; пер\; \; 2\; 2\; \pi \; \tau \; час\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; [\backslash \; gamma\; +\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\; \backslash \; tau)]\; -\; \backslash \; ln\; 2\}\; \}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\_\; \{1\}\}\}\}$
частотная модуляция белого (WFM)	$f\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 2\}\}$	$f\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{0\}\; =\; 1\}$	$час\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{0\}\}$	$1\; (2\; \pi )\; 2\; е\; 2\; час\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\; 2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\; f\; ^\; \{2\}\}\}\; h\_\; \{0\}\}$	$1\; 2\; \tau \; час\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; tau\}\}\; h\_\; \{0\}\}$	$1\; 2\; \tau \; h\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; tau\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\_\; \{0\}\}\}\}$
частотная модуляция мерцания (FFM)	$f\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 3\}\}$	$f\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\}$	$h\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{-\; 1\}\}$	$1\; (2\; \pi )\; 2\; е\; 3\; час\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\; f\; ^\; \{3\}\}\}\; h\; \_\; \{-\; 1\; \}\}$	$2\; пер\; (2)\; час\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; ln\; (2)\; час\; \_\; \{-\; 1\}\}$	$2\; пер\; \; (2)\; час\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; ln\; (2)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\; \_\; \{-\; 1\}\}\}\}$
частотная модуляция случайного блуждания (RWFM)	$f\; -\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 4\}\}$	$е\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 2\}\}$	$час\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{-\; 2\}\}$	$1\; (2\; \pi )\; 2\; f\; 4\; час\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\; f\; ^\; \{4\}\}\}\; h\; \_\; \{-\; 2\}\}$	$2\; \pi \; 2\; \tau \; 3\; h\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; \}\; \{3\}\}\; час\; \_\; \{-\; 2\}\}$	$\pi \; 2\; \tau \; 3\; час\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; tau\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\; \_\; \{-\; 2\}\}\}\}$

Как в современных формах.

Дисперсия Аллана не позволяет различать WPM и FPM, но способна устранить другой степенной шум типы. Чтобы различать WPM и FPM, необходимо использовать модифицированную дисперсию Аллана.

В приведенных выше формулах предполагается, что

$\tau \; \gg \; 1\; 2\; \pi \; f\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; gg\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\}\},\}$

и, таким образом, ширина полосы времени наблюдения намного меньше ширины полосы частот инструментов. Когда это условие не выполняется, все формы шума зависят от полосы пропускания прибора.

отображение α – μ

Подробное отображение фазовой модуляции формы

$S\; x\; (f)\; =\; 1\; 4\; \pi \; 2\; h\; \alpha \; f\; \alpha \; -\; 2\; =\; 1\; 4\; \pi \; 2\; час\; \alpha \; е\; \beta ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{x\}\; (f)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; f\; ^\; \{\backslash \; beta\},\}$

где

$\beta \; \equiv \; \alpha \; -\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; alpha\; -2,\; \}$

или частотная модуляция формы

$S\; y\; (f)\; =\; h\; \alpha \; f\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\}\; (f)\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

в дисперсия Аллана в форме

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; К\; \alpha \; час\; \alpha \; \tau \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; K\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; tau\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$

можно значительно упростить, предоставив отображение между α и μ. Отображение между α и K α также представлено для удобства:

отображение дисперсии Аллана α – μ

α	β	μ	Kα
−2	−4	1	$2\; \pi \; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\}$
−1	−3	0	$2\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; ln\; \{2\}\}$
0	−2	−1	$1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$
1	−1	−2	$3\; [\gamma \; +\; пер\; \; (2\; \pi \; е\; час\; \tau )]\; -\; пер\; \; 2\; 4\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\; [\backslash \; gamma\; +\; \backslash \; ln\; (2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\; \backslash \; тау)]\; -\; \backslash \; ln\; 2\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\}$
2	0	−2	$3\; f\; H\; 4\; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3f\_\; \{H\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Общие преобразование из фазового шума

Сигнал со спектральным фазовым шумом $S\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$с единицами измерения рад / Гц может быть преобразован в дисперсию Аллана с точностью

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; 2\; \nu \; 0\; 2\; \int \; 0\; fb\; S\; \varphi \; (f)\; sin\; 4\; \; (\pi \; \tau \; f)\; (\pi \; \tau )\; 2\; df.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{f\_\; \{b\}\}\; S\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; (f)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; (\backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f)\}\; \{(\backslash \; pi\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; df.\}$

Хотя дисперсия Аллана предназначена для использования для различения форм шума, она будет зависеть от некоторых, но не от всех, линейных откликов на время. Они приведены в таблице:

линейный отклик вариации Аллана

линейный эффект	временной отклик	частотный отклик	вариация Аллана	Аллан отклонение
сдвиг фазы	$x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
частота смещение	$y\; 0\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\; t\}$	$y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$
линейный дрейф	$D\; t\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Dt\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$	$D\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; Dt\}$	$D\; 2\; \tau \; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$	$D\; \tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{D\; \backslash \; tau\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}$

Таким образом, линейный дрейф будет способствовать выходному результату. При измерении реальной системы может потребоваться оценить линейный дрейф или другой механизм дрейфа и удалить его из временного ряда перед вычислением дисперсии Аллана.

В Анализируя свойства дисперсии Аллана и др., оказалось полезным рассмотреть свойства фильтра на нормированной частоте. Начиная с определения дисперсии Аллана для

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; 1\; 2\; ⟨(y\; ¯\; i\; +\; 1\; -\; y\; ¯\; i)\; 2⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; langle\; (\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle,\}$

где

$y\; ¯\; i\; =\; 1\; \tau \; \int \; 0\; \tau \; y\; (i\; \tau \; +\; t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; tau\}\; y\; (i\; \backslash \; tau\; +\; t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Замена временного ряда $yi\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{i\}\}$на вариант с преобразованием Фурье $S\; y\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\}\; (\; f)\}$дисперсия Аллана может быть выражена в частотной области как

$\sigma \; y\; 2\; (\tau )\; =\; \int \; 0\; \infty \; S\; y\; (f)\; 2\; sin\; 4\; \; \pi \; \tau \; f\; (\pi \; \tau \; f)\; 2\; дф.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; S\_\; \{y\}\; (f)\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f\}\; \{(\backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; df.\}$

Таким образом, передаточная функция для дисперсии Аллана равна

$|\; H\; A\; (f)\; |\; 2\; =\; 2\; sin\; 4\; \; \pi \; \tau \; f\; (\pi \; \tau \; f)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; H\_\; \{A\}\; (f)\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f\}\; \{(\backslash \; pi\; \backslash \; tau\; f)\; ^\; \{\; 2\}\}\}.\}$

Дисперсия M-выборки и определенная дисперсия Аллана для особого случая будут испытывать систематическое смещение в зависимости от разного количества выборок M и различного отношения между T и τ. Чтобы устранить эти функции, были реализованы функции с ущербом B 1 B 2, позволяют преобразовывать между различными значениями M и T.

Этих функции ущерба недостаточно для обработки, развивающего в результате объединения M со временем наблюдения Mτ 0 в MT 0 с мертвым временем, распределенным блоком измерения M, а не в конце измерения. Это привело к необходимости причинения ущерба B 3.

Функции с ущербом оцениваются для определенного значения µ, поэтому отображение α - µ необходимо выполнить для доминирующей формы шума, как было найдено. с помощью. В качестве альтернативы, значение доминирующей формы шума может быть выведено из измерений с использованием функций с ущерб.

B1функция с ущербом

Функция с ущербом B 1 связывает дисперсию M-выборки с дисперсией 2-х выборок (дисперсия Аллана), сохраняя время между измерениями T и время каждого измерения, постоянная τ. Он определяется как

$В\; 1\; (N,\; r,\; \mu )\; =\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (N,\; T,\; \tau )⟩\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (2,\; T,\; \tau )⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\}\; (N,\; r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N,\; T,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (2,\; T,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\},\}$

где

$r\; =\; T\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

После анализа с ущербом

$B\; 1\; (N,\; r,\; \mu )\; =\; 1\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; -\; 1\; N\; -\; n\; N\; (N\; -\; 1)\; [2\; (rn)\; \mu \; +\; 2\; -\; (rn\; +\; 1)\; \mu \; +\; 2\; -\; |\; r\; n\; -\; 1\; |\; \mu \; +\; 2]\; 1\; +\; 1\; 2\; [2\; r\; \mu \; +\; 2\; -\; (r\; +\; 1)\; \mu \; +\; 2\; -\; |\; г\; -\; 1\; |\; \mu \; +\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{1\}\; (N,\; r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{Nn\}\; \{N\; (N-1)\}\; \}\; \backslash \; left\; [2\; (rn)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; (rn\; +\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; |\; рН-1\; |\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; \backslash \; right]\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [2r\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; (r\; +\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; |\; р-1\; |\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; \backslash \; right]\}\}.\}$

B2функция с ущербом

Функция с ущербом B 2 связывает двухвыборочную дисперсию для времени выборки T с двухвыборочной дисперсией (дисперсия Аллана), сохраняя количество выборок. N = 2 и постоянное время наблюдения τ. Он определяется как

$B\; 2\; (r,\; \mu )\; =\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (2,\; T,\; \tau )⟩\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (2,\; \tau ,\; \tau )⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{2\}\; (r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (2,\; T,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (\; 2,\; \backslash \; tau,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\},\}$

где

$r\; =\; T\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{\backslash \; tau\}\}.\}$

После анализа с ущербом

$B\; 2\; (r,\; \mu )\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; [2\; r\; \mu \; +\; 2\; -\; (r\; +\; 1)\; \mu \; +\; 2\; -\; |\; г\; -\; 1\; |\; \mu \; +\; 2]\; 2\; (1-2\; \mu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{2\}\; (r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [2r\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; (r\; +\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; |\; р-1\; |\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; \backslash \; right]\}\; \{2\; (1-2\; ^\; \{\backslash \; mu\})\}\}.\}$

B3функция с ущербом

B 3 функция с ущерба связывает двухвыборочную дисперсию для времени выборки MT 0 и времени наблюдения Mτ 0 с двухвыборочной дисперсией (дисперсией Аллана) и определяется как

$B\; 3\; (N,\; M,\; r,\; \mu )\; =\; ⟨\sigma \; Y\; 2\; (N,\; M,\; T,\; \tau )⟩\; ⟨\sigma \; Y\; 2\; (N,\; T,\; \tau )⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{3\}\; (N,\; M,\; r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N,\; M,\; T,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N,\; T,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\},\}$

где

$T\; =\; MT\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; MT\_\; \{0\},\}$

$\tau \; =\; M\; \tau \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; M\; \backslash \; tau\; \_\; \{\; 0\}.\}$

Функция за ущерб B 3 полезна для корректировки неперекрывающихся и перекрывающихся значений оценки τ на основе измерений мертвого времени наблюдения время τ 0 и время между наблюдениями T 0 до нормальных оценок мертвого времени.

Функция с возникновением ущерба после анализа (для случая N = 2)

$B\; 3\; (2,\; M,\; r,\; \mu )\; =\; 2\; M\; +\; MF\; (M\; r)\; -\; \sum \; n\; =\; 1\; M\; -\; 1\; (\; M\; -\; n)\; [2\; F\; (nr)\; -\; F\; ((M\; +\; n)\; r)\; +\; F\; ((M\; -\; n)\; r)]\; M\; \mu \; +\; 2\; [F\; (r)\; +\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{3\; \}\; (2,\; M,\; r,\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2M\; +\; MF\; (Mr)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{M-1\}\; (Mn)\; \backslash \; left\; [2F\; (nr)\; -\; F\; \{\; \backslash \; big\; (\}\; (M\; +\; n)\; r\; \{\backslash \; big)\}\; +\; F\; \{\backslash \; big\; (\}\; (Mn)\; r\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; right]\}\; \{M\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; [F\; (r)\; +\; 2]\}\},\}$

где

$F\; (A)\; =\; 2\; A\; \mu \; +\; 2\; -\; (A\; +\; 1)\; \mu \; +\; 2\; -\; |\; А\; -\; 1\; |\; \mu \; +\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (A)\; =\; 2A\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; (A\; +\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}\; -\; |\; А-1\; |\; ^\; \{\backslash \; mu\; +2\}.\}$

Функция с ущербом τ

Хотя формально это не сформулировано, оно было косвенно выведено как следствие отображения α - µ. При сравнении двух показателей дисперсии Аллана для разных τ, одного и того же доминирующего шума в форме и того же коэффициента µ, смещение можно определить как

$B\; \tau \; (\tau \; 1,\; \tau \; 2,\; \mu )\; =\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (\; 2,\; \tau \; 2,\; \tau \; 2)⟩\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (2,\; \tau \; 1,\; \tau \; 1)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau\; \_\; \{1\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (2,\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (2,\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\}.\}$

После анализа функция с повреждением становится

$B\; \tau \; (\tau \; 1,\; \tau \; 2,\; \mu )\; =\; (\tau \; 2\; \tau \; 1)\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; (\backslash \; tau\; \_\; \{1\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; mu\}.\}$

Преобразование между значениями

Для преобразования одного набора измерений в другой B 1, B 2 и функции с ущерба τ можно собрать. Сначала функция B 1 преобразует значение (N 1, T 1, τ 1) в (2, T 1, τ 1), из которого функция B 2 преобразуется в (2, τ 1, τ 1) значение, такое образом, дисперсия Аллана при τ 1. Мера дисперсии Аллана может быть преобразована с помощью функций с ущербом τ из τ 1 в τ 2, откуда тогда (2, T 2, τ 2), используя B 2, а затем, наконец, используя B 1 в (N 2, T 2, τ 2) дисперсия. Полное преобразование становится

$⟨\sigma \; y\; 2\; (N\; 2,\; T\; 2,\; \tau \; 2)⟩\; =\; (\tau \; 2\; \tau \; 1)\; \mu \; [B\; 1\; (N\; 2,\; r\; 2,\; \mu )\; B\; 2\; (r\; 2,\; \mu )\; В\; 1\; (N\; 1,\; р\; 1,\; \mu )\; В\; 2\; (r\; 1,\; \mu )]\; ⟨\sigma \; Y\; 2\; (N\; 1,\; T\; 1,\; \tau \; 1)⟩,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{\; 2\}\; (N\_\; \{2\},\; T\_\; \{2\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{1\}\; (N\_\; \{2\},\; r\_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{2\}\; (r\_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\}\; \{B\_\; \{1\}\; (N\_\; \{1\},\; r\_\; \{1\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{2\}\; (r\_\; \{1\},\; \backslash \; mu)\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N\_\; \{1\; \},\; T\_\; \{1\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\}$

где

$r\; 1\; =\; T\; 1\; r\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{1\; \}\}\; \{r\_\; \{1\}\}\},\}$

$r\; 2\; =\; T\; 2\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{2\}\}\; \{r\_\; \{2\}\}\}.\}$

Аналогичным образом, для объединенных измерений с использованием методов расширения становится

$⟨\sigma \; y\; 2\; (N\; 2,\; M\; 2,\; T\; 2,\; \tau \; 2)⟩\; =\; (\tau \; 2\; \tau \; 1)\; \mu \; [B\; 3\; (N\; 2,\; M\; 2,\; r\; 2,\; \mu )\; B\; 1\; (N\; 2,\; r\; 2,\; \mu )\; B\; 2\; (r\; 2,\; \mu )\; B\; 3\; (N\; 1,\; M\; 1,\; r\; 1,\; \mu )\; B\; 1\; (N\; 1,\; r\; 1,\; \mu )\; B\; 2\; (r\; 1,\; \mu )]\; ⟨\sigma \; y\; 2\; (N\; 1,\; M\; 1,\; T\; 1,\; \tau \; 1)⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N\_\; \{2\},\; M\_\; \{2\},\; T\_\; \{2\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{2\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{3\}\; (N\_\; \{2\},\; M\_\; \{2\},\; r\_\; \{\; 2\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{1\}\; (N\_\; \{2\},\; r\_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{2\}\; (r\_\; \{2\},\; \backslash \; mu)\}\; \{B\_\; \{3\}\; (N\_\; \{1\},\; M\_\; \{1\},\; r\_\; \{1\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{1\}\; (N\_\; \{1\},\; r\_\; \{1\},\; \backslash \; mu)\; B\_\; \{2\}\; (r\_\; \{1\},\; \backslash \; mu)\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; (N\_\; \{1\},\; M\_\; \{1\},\; T\_\; \{1\},\; \backslash \; tau\; \_\; \{1\})\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

При выполнении измерений для вычисления дисперсии Аллана или отклонения Аллана ряд проблем может быть к ухудшению результатов измерений. Здесь рассматриваются эффекты, характерные для дисперсии Аллана, результаты которых могут быть смещенными.

Пределы пропускания измерения

Ожидается, что измерительная система будет иметь полосу пропускания, равную или ниже скорости Найквиста, как описано в теореме Шеннона - Хартли.. Как видно из формул степенного шума, модуль белого и мерцательного шума зависит от верхней угловой частоты $f\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{H\}\}$(обязано быть только фильтром системы нижних частот). Это видно, что низкочастотный шум оказывает большее влияние на результат. Для типов шума с относительно плоской фазовой модуляцией (например, WPM и FPM) фильтрация имеет значение, тогда как для шума с большим наклоном верхний предел частоты становится менее важным, предполагая, что полоса пропускания системы измерения широкая относительно $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$согласно формуле

$\tau \; \gg \; 1\; 2\; \pi \; f\; H.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; gg\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\}\}.\}$

Когда это предположение не выполнено, эффективная полоса пропускания $f\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{H\}\}$необходимо отметить рядом с измерением. Заинтересованным следует проконсультироваться с NBS TN394.

Если, однако, настроить полосу пропускания средства оценки, используя целые числа, кратные времени выборки $n\; \tau \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\}$, то влияние на пропускную способность системы может быть уменьшено до незначительного уровня. Для нужд связи такие методы требовались электросвязь, чтобы сопоставимость измерений и дать производителя некоторую свободу при различных реализациях. Рекомендация МСЭ-Т Рек. G.813 для измерения TDEV.

Можно рекомендовать игнорировать первые кратные $\tau \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\}$, чтобы большая часть обнаруженного шума находилась в пределах полоса пропускания полосы пропускания системы измерения.

Дальнейшие разработки по дисперсии Аллана были выполнены, чтобы использовать полосную полосу пропускания уменьшенной программными средствами. Эта разработка программной ширины пропускания устраняет остающийся шум, и теперь метод называется модифицированной дисперсией Аллана. Этот метод уменьшения пропускания не следует путать с улучшенным улучшенным модифицированной дисперсии Аллана, которая также изменяет полосу пропускания сглаживающего фильтра.

Мертвое время в измерениях

Многие приборы для измерения времени и частоты имеют стадии постановки на охрану, временной развертки, времени обработки и могут повторно запустить постановку на охрану. Время постановки на охрану - от момента срабатывания постановки на охрану до момента возникновения стартового события на стартовом канале. Таким образом, временная база гарантирует, что до принятия события на канале остановки в качестве события остановки проходит минимальное количество времени. Количество событий и время, прошедшее между событием запуска и событием остановки, записываются и представляются во время обработки. Когда происходит обработка (также известная как время выдержки), прибор обычно не может выполнить другое измерение. После снова обработки прибора в непрерывном режиме запускает цепь руки. Время между остановкой и следующим событием запуска становится мертвым временем, в течение которого сигнал не наблюдается. Такое мертвое время вносит систематические погрешности измерения, которые необходимо компенсировать, чтобы получить правильные результаты. Для таких систем измерения время будет обозначаться время между соседними стартовыми событиями (и, таким образом, измерениями), а $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$обозначает временную базу, то есть номинальную длину. между и началом остановкой любого измерения.

Влияние мертвого времени на измерение оказывает такое влияние на получаемый результат, что было проведено много исследований поля для правильной количественной оценки его свойств. Введение счетчиков с нулевым мертвым временем устранило исследование в этом анализе. Счетчик с нулевым мертвым временем обладает тем свойством, что событие остановки одного также используется в стартового события следующего события. Такие счетчики каждого временного канала, разделенных временных меток. Такие измерения также оказались полезными при упорядоченном анализе временных рядов.

Измерения, выполняемые с мертвым временем, можно скорректировать с помощью функций с нарушением B 1, B 2 и B 3. Таким образом, мертвое время как таковое не запрещает доступ к дисперсии Аллана, но делает его более проблематичным. Мертвое время должно быть известно, чтобы можно было установить время между выборками T.

Длина измерения и эффективное использование выборок

Изучение влияния на доверительных интервалов, которые имеют длину N выборок, и влияние этой модели интервалы могут стать очень большой, как эффективная степень свободы может стать небольшой для некоторой комбинации N и n для доминирующей формы шума (для τ).

Эффект может заключаться в том, что оценочное значение может быть намного меньше или намного больше, чем реальное значение, что может привести к ложным выводам в результате.

Рекомендуется нанести доверительный интервал на график вместе с данными, чтобы читатель графика мог быть осведомлен о статистической неопределенности значений.

Рекомендуется, чтобы длина выборок, то есть количество выборок N, оставалась высокой, чтобы доверительный интервал будет малым в интересующем диапазоне τ.

Рекомендуется, чтобы диапазон τ охватываемый множителем τ 0 n, ограничивался верхним пределом относительного значения N, чтобы считывание графика не искажалось очень нестабильными оценочными значениями.

Рекомендуется использовать оценщики, обеспечивающие лучшие значения степеней свободы, вместо оценок дисперсии Аллана или в качестве их дополнения, если они превосходят по своим характеристикам оценщики дисперсии Аллана. Среди них следует учитывать и оценщики.

Тип доминирующего шума

Большое количество констант преобразования, поправок с ущербом и доверительных интервалов зависит от доминирующего типа шума. Логическая интерпретация доминирующий тип шума для конкретного τ должен быть идентифицирован посредством идентификации шума. Неспособность определить доминирующий тип шума к смещению значений. Некоторые из этих смещений могут иметь несколько порядков, поэтому они могут иметь большое значение.

Линейный дрейф

Систематическое влияние на сигнал устраняется только частично. Сдвиг фазы и частоты отменяются, но линейный дрейф или другие формы полиномиальных фазовых кривых высокой степени не отменяются и, таким образом, формируются ограничение измерения. Можно использовать подгонку кривой и систематического удаления ущерба. Часто бывает достаточно устранения линейного дрейфа. Также можно использовать оценщики линейного дрейфа, такие как. Удаление линейного дрейфа может быть использовано с использованием оценки на основе момента.

Смещение оценщика измерительного прибора

Традиционные приборы обеспечивают измерение только отдельных событий или пар событий. Внедрение усовершенствованного статистического перекрывающихся измерений Дж. Дж. Снайдером значительно улучшить разрешение при считывании частоты, нарушив баланс цифр / временнойтки. Хотя такие методы полезны по своему прямому назначению, использование таких сглаженных измерений для вычислений дисперсии Аллана может дать ложное впечатление о высоком разрешении, но при более длительном значении эффект постепенно устраняется, и область измерения с более низким имеет смещенные значения. Это смещение дает более низкие значения, чем следовало бы, поэтому оно является чрезмерно оптимистичным (предполагающим, что низкое число - это то, что нужно) смещением, уменьшающим удобство использования измерения, а не улучшающим его. Такие интеллектуальные алгоритмы обычно можно отключить или иным образом обойти с помощью режима времени, который намного предпочтительнее, если он доступен.

Хотя можно разработать несколько подходов к измерению дисперсии Аллана, простой пример может проиллюстрировать, как могут быть выполнены измерения.

Измерение

Все измерения дисперсии Аллана будут сравнением двух разных часов. Рассмотрим опорные часы и тестируемое устройство (DUT), и оба имеют общую номинальную частоту 10 МГц. Временной интервал счетчика используется для измерения времени между передним фронтом опорного канала (А) и по переднему фронту тестируемого устройства.

Чтобы обеспечить равномерно распределенные измерения, опорные часы будут разделены, чтобы сформировать скорость измерения, срабатывая счетчик временных интервалов (вход ARM). Эта частота может создавать 1 Гц (с выхода 1 PPS опорных часов), но также информируйте другие частоты, такие как 10 Гц и 100 Гц. Скорость, с помощью которой счетчик временных интервалов может завершить выполнение работы, ограничить запуск.

Затем может пригодиться компьютер для записи серии наблюдаемых разниц во времени.

Постобработка

Записанные временные ряды требуют постобработки для разворачивания обернутой фазы, так что обеспечивается непрерывная фазовая ошибка. При необходимости также следует исправить ошибки записи и измерения. Должны быть выполнены оценка сноса и удаление сноса, механизм сноса должен быть идентифицирован и понят для источников. Ограничения по дрейфу в измерениях могут быть серьезными, поэтому необходимо дать генератору возможность стабилизироваться после достаточно длительного включения питания.

Затем можно вычислить дисперсию Аллана с использованием данных оценщиков, и для практических целей следует использовать оценщик с перекрытием из-за того, что он использует данные лучше, чем оценщик без перекрытия. Другие оценщики, такие как оценщики общей или Тео-дисперсии, также сообщают, если они поправки на смещение, так что они дают результаты, совместимые с дисперсией Аллана.

Для построения классических графиков отклонение Аллана (квадратный корень из дисперсии Аллана) строится в логарифмическом формате в зависимости от интервала наблюдения τ.

Оборудование и программное обеспечение

Счетчик временных интервалов обычно представляет собой серийный счетчик, имеющийся в продаже. Ограничивающие факторы включают однократное разрешение, джиттер запуска, скорость измерения и стабильность опорных часов. Компьютерный сбор и последующая обработка могут быть выполнены с использованием существующего коммерческого или общедоступного программного обеспечения. Существуют высокоразвитые решения, которые позволяют использовать измерения и вычисление в одном корпусе.

Сфера частоты частоты изучается давно. Однако в 1960-е годы было обнаружено. Симпозиум NASA-IEEE по краткосрочной стабильности в ноябре 1964 г. привел к выпуску в феврале 1966 г. специального выпуска журнала IEEE Proceedings on Frequency Stability.

Симпозиум NASA-IEEE объединил множество областей и применений краткосрочной и долгосрочной стабильности с докладми многих разных участников. Статьи и групповые обсуждения сходятся во мнении о существовании частотного фликкер-шума и желании выработать общее определение для краткосрочной, так и для долгосрочной стабильности.

Важные статьи, в том числе статьи Дэвида Аллана, Джеймса А. Барнса, Л. С. Катлера, К. Л. Сирла и Д. Б. Лисона, появились в Трудах IEEE сохранила стабильные частоты и помогли сформировать эту область.

В статье Дэвида Аллана анализируется классическая дисперсия частоты M-выборки, решается проблема мертвого времени между измерениями вместе с функцией начального ущерба. Хотя исходная функция с ущерба Аллана не предполагает мертвого времени, его формулы включает вычисления мертвого времени. В его статье анализируется случай M выборок частот (называемых в статье N) и оценок дисперсии. Он обеспечивает теперь стандартное отображение α - µ, явно основанное на работе Джеймса Барнса в том же вопросе.

Случай двухвыборочной дисперсии является частным случаем M-выборочной дисперсии, которая дает среднее значение производной частоты. Аллан неявно использует двухвыборочную дисперсию в качестве базового случая, поскольку для произвольно выбираемой дисперсии могут быть перенесены через двухвыборную дисперсию в M-выборочную дисперсию. Не было четко заявлено о предпочтении двухвыборочной дисперсии, даже если бы инструменты были предоставлены. Тем не менее, эта статья заложила основу для использования двухвыборочной дисперсии как метод сравнения других M-выборочных дисперсий.

Джеймс Барнс значительно расширил работу над функциями за ущерб, введя современные функции за ущерб B 1 и B 2. Достаточно любопытно, что это относится к дисперсии M-выборки как «дисперсия Аллана», в то же время, указанное на статью Аллана «Статистика атомных стандартов частоты». С помощью этих современных функций с ущербом можно выполнить полное преобразование между мерами дисперсии M-выборки различных значений M, T и τ перехода дисперсии 2-выборки.

Джеймс Барнс и Дэвид Аллан дополнительно расширили функции с помощью функций B 3 для обработки ущерба оценщика конкатенированных выборок. Это было необходимо для нового использования наблюдений объединенных выборок с мертвым временем между ними.

В 1970 году Технический комитет IEEE по частям и времени в составе Группа IEEE по контрольно-измерительным приборам и измерениям представила краткое изложение этой области, опубликованное как Техническое сообщение NBS 394. Этот документ был первым из ряда дополнительных учебных и практических документов, помогающих коллегам-инженерам разобраться в этой области. В этой статье рекомендована двухвыборочная дисперсия с T = τ, называемая дисперсией Аллана (теперь без кавычек). Выбор такого параметра позволяет хорошо обрабатывать некоторые формы шума и сопоставимые измерения; это по наименьший общий знаменатель с помощью функций с ущербом B 1 и B 2.

J. Дж. Снайдер улучшенный метод оценки частоты или дисперсии с использованием выборочной статистики для частотомеров. Чтобы получить более эффективные степени свободы из доступного набора данных, хитрость заключается в использовании перекрывающихся периодов наблюдения. Это улучшение √n и включено в перекрывающуюся устойчивость дисперсии Аллана . Также была включена программная обработка числа τ. Эта разработка улучшила классические возможности дисперсии Аллана, что также послужило источником вдохновения для работы по модифицированной дисперсии Аллана.

Хоу, Аллан и Барнс представили анализ доверительных интервалов, степеней свободы и оценок оценок.

Поле времени и частоты и его использование дисперсии Аллана, отклонения Аллана и др. - это область, включающая механизм понимания, для каждого из концепций понимания требуются внимательности и понимания. Таким образом, существует учебная область материалов, охватывающая около 40 лет. Они используют методы поиска нужного ресурса для использования различных ресурсов времени.

Первым значимым недопустимым является Техническая записка NBS 394 «Характеристика стабильности частоты». Это продукт Технического комитета по частоте и времени Группы IEEE по контрольно-измерительным приборам. Он дает первый обзор области, формулируя проблемы, определяющие основные вспомогательные определения и рассматривая дисперсию Аллана, функции с ущербом B 1 и B 2, преобразование времени- меры области. Это полезно, так как это одна из первых ссылок для табулирования дисперсии Аллана для основных типов шума.

Классическим справочником является монография NBS № 140 от 1974 г., в главе 8 есть «Статистика анализа временных и частотных данных». Это расширенный вариант NBS Technical Note 394, который используется в методах измерения и практическую обработку значений.

Важным дополнением улучшенных свойств источников сигналов и измерения методов. Он охватывает эффективные интервалы, доверительные интервалы, эффективную степень свободы, а также вводит перекрывающую оценку дисперсии Аллана. Это обязательно рекомендуется к прочтению по этим темам.

Стандартные определения физических величин для основного метрологии частоты и времени в стандарте IEEE 1139 выходят за рамки стандартного справочного и образовательного ресурса.

Современная книга, посвященная телекоммуникациям, - это Стефано Брегни «Синхронизация цифровых телекоммуникационных сетей». Это резюмирует не только область, но и большую часть его исследований в этой области до того момента. Он призван как классические меры, так и меры, специфичные для электросвязи, такие как MTIE. Это удобный помощник при проведении измерений, связанных со стандартами электросвязи.

Специальная публикация NIST 1065 «Справочник по анализу частотной стабильности» У. Дж. Райли рекомендуется к прочтению всем, кто хочет продолжить изучение этой области. Он богат ссылками, включая широкий спектр показателей, предубеждений и связанных функций, которые доступны современному аналитику. Далее в нем описывается общая обработка, необходимая для современного инструмента.

Дисперсия Аллана используется в качестве меры стабильности частоты в различных прецизионных генераторах, таких как кварцевые генераторы, атомные часы и частотно-стабилизированные лазеры в течение секунды или более. Кратковременная стабильность (менее секунды) обычно выражается как фазовый шум. Дисперсия Аллана также используется для характеристики стабильности смещения гироскопов, включая волоконно-оптические гироскопы, гироскопы с полусферическим резонатором и гироскопы MEMS и акселерометры.

В 2016 году IEEE-UFFC собирается опубликовать «Специальный выпуск, посвященный 50-летию Allan Variance (1966–2016)». Приглашенным редактором этого выпуска будет бывший коллега Дэвида по NIST, Джуда Левин, который в последний раз получил I. Премия И. Раби.

• Дисперсия
• Полувариантность
• Вариограмма
• Метрология
• Протокол сетевого времени
• Протокол точного времени
• Синхронизация

• Учебные ресурсы UFFC по контролю частоты
• Инструмент поиска публикаций NIST
• Обзор дисперсии Аллана Дэвида У. Аллана
• Официальный веб-сайт Дэвида У. Аллана
• Публикации JPL - Анализ и статистика шума
• Публикации Уильяма Райли
• Stable32, Программное обеспечение для анализа стабильности частоты, Уильям Райли
• Публикации Стефано Брегни
• Публикации Энрико Рубиолы
• Пакет Allanvar: R для характеристики погрешности датчика с использованием дисперсии Аллана
• Программное обеспечение Alavar для Windows с инструментами отчетности; Бесплатная
• AllanTools библиотека Python с открытым исходным кодом для вариации Аллана
• MATLAB AVAR приложение MATLAB с открытым исходным кодом