Энтропия фон Неймана

В квантовой статистической механике энтропия фон Неймана, названная в честь Джона фон Неймана, является расширением классической энтропии Гиббса в области квантовой механики. Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ, энтропия фон Неймана равна

$S\; =\; -\; tr\; \; (\rho \; ln\; \; \rho ),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; rho\; \backslash \; ln\; \backslash \; rho),\}$

где $tr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\}$обозначает след, а ln обозначает (естественный) матричный логарифм. Если ρ записано в терминах его собственных векторов $|\; 1⟩,\; |\; 2⟩,\; |\; 3⟩,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 1\; \backslash \; rangle,\; |\; 2\; \backslash \; rangle,\; |\; 3\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; dots\}$as

$\rho \; =\; \sum \; j\; \eta \; j\; |\; j⟩\; ⟨j\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; |\; j\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; j\; \backslash \; right\; |\; ~,\}$

тогда энтропия фон Неймана просто

$S\; =\; -\; j\; \eta \; j\; ln\; \; \eta \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}.\}$

В этой форме S можно рассматривать как теоретик информации Энтропия Шеннона.

Энтропия фон Неймана также используется в различных формах (условные энтропии, относительные энтропии и т. Д.) В рамках квантовой теории информации для характеристики энтропия запутанности.

• 1 Предпосылки
• 2 Определение
• 3 Свойства
  • 3.1 Субаддитивность
  • 3.2 Сильная субаддитивность
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Джон фон Нейман установил строгую математическую основу для квантовой механики в своей работе 1932 года Математические основы квантовой механики. В нем он представил теорию измерения, в которой обычное понятие коллапса волновой функции описывается как необратимый процесс (так называемое фон Неймана или проективное измерение).

Матрица плотности была введена с разными мотивами фон Нейманом и Львом Ландау. Мотивом, который вдохновлял Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений.

Разработанный таким образом формализм матрицы плотности распространил инструменты классической статистической механики на квантовую область. В классической схеме распределение вероятностей и статистическая сумма системы позволяют нам вычислить все возможные термодинамические величины. Фон Нейман ввел матрицу плотности, которая играет ту же роль в контексте квантовых состояний и операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Знание оператора статистической матрицы плотности позволило бы нам вычислить все средние квантовые объекты концептуально аналогичным, но математически другим способом.

Предположим, у нас есть набор волновых функций | Ψ〉, которые параметрически зависят от набора квантовых чисел n 1, n 2,..., n N. Естественная переменная, которая у нас есть, - это амплитуда, с которой определенная волновая функция базового набора участвует в действительной волновой функции системы. Обозначим квадрат этой амплитуды через p (n 1, n 2,..., n N). Цель состоит в том, чтобы превратить эту величину p в классическую функцию плотности в фазовом пространстве. Мы должны проверить, что p переходит в функцию плотности в классическом пределе и что она имеет эргодические свойства. После проверки того, что p (n 1, n 2,..., n N) является константой движения, эргодическое предположение для вероятностей p ( n 1, n 2,..., n N) делает pa функцией только энергии.

После этой процедуры мы, наконец, достигаем формализма матрицы плотности при поиске формы, где p (n 1, n 2,..., n N) инвариантно относительно используемого представления. В том виде, в котором он написан, он будет давать правильные математические ожидания только для величин, диагональных относительно квантовых чисел n 1, n 2,..., n N.

Ожидаемые значения операторов, которые не являются диагональными, включают фазы квантовых амплитуд. Предположим, мы кодируем квантовые числа n 1, n 2,..., n N в один индекс i или j. Тогда наша волновая функция имеет вид

$|\; \Psi ⟩\; =\; \sum \; я\; а\; я\; |\; \psi \; я⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; Psi\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

математическое ожидание оператора B, не диагонального по этим волновым функциям, поэтому

$⟨B⟩\; =\; \sum \; i,\; jai\; \ast \; aj\; ⟨i\; |\; B\; |\; j⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; B\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; a\_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; i\; \backslash \; right\; |\; B\; \backslash \; left\; |\; j\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

Роль, которая изначально была зарезервирована для количества $|\; а\; я\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\}$, таким образом, переходит в матрицу плотности системы S.

$⟨j\; |\; \rho \; |\; i⟩\; =\; a\; j\; a\; i\; \ast .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; j\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; \backslash \; left\; |\; i\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; a\_\; \{j\}\; \backslash ,\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}.\}$

Следовательно, 〈B〉 читается как

$⟨B⟩\; =\; tr\; \; (\rho \; B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; B\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; rho\; B)\; ~.\}$

Инвариантность указанного выше члена описывается теорией матриц. Была описана математическая структура, в которой математическое ожидание квантовых операторов, описываемое матрицами, получается путем взятия следа произведения оператора плотности $\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$и оператор $B\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}\}$(скалярное произведение Гильберта между операторами). Матричный формализм здесь находится в рамках статистической механики, хотя он также применим и для конечных квантовых систем, что обычно имеет место, когда состояние системы не может быть описано чистым состоянием, но как статистический оператор $\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$приведенной выше формы. Математически $\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$является положительно-полуопределенной эрмитовой матрицей с единичным следом.

Учитывая матрицу плотности ρ, фон Нейман определил энтропию как

$S\; (\rho )\; =\; -\; tr\; \; (\rho \; ln\; \; \rho ),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; rho)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; rho\; \backslash \; ln\; \backslash \; rho),\}$

, которое является правильным расширением энтропии Гиббса (до коэффициента k B) и энтропия Шеннона в квантовом случае. Для вычисления S (ρ) удобно (см. логарифм матрицы ) вычислить собственное разложение матрицы $\rho \; =\; \sum \; j\; \eta \; j\; |\; j⟩\; ⟨j\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; |\; j\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; j\; \backslash \; right\; |\}$. Энтропия фон Неймана тогда определяется как

$S\; (\rho )\; =\; -\; j\; \eta \; j\; ln\; \; \eta \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; rho)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\; ~.\}$

Поскольку для чистого состояния матрица плотности идемпотентно, ρ = ρ, энтропия S (ρ) для него равна нулю. Таким образом, если система конечна (конечномерное матричное представление), энтропия S (ρ) количественно определяет отклонение системы от чистого состояния. Другими словами, он кодифицирует степень перемешивания состояния, описывающего данную конечную систему. Измерение декогерирует квантовую систему в нечто невмешивающееся и якобы классическое ; так, например, исчезающая энтропия чистого состояния $\Psi \; =\; (|\; 0⟩\; +\; |\; 1⟩)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; =\; (\backslash \; left\; |\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; left\; |\; 1\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle)\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$, что соответствует матрице плотности

$\rho \; =\; 1\; 2\; (1\; 1\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

увеличивается до $S\; =\; ln\; \; 2\; \approx \; 0,69\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; ln\; 2\; \backslash \; приблизительно\; 0,69\}$для смесь результатов измерения

$\rho \; =\; 1\; 2\; (1\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

в качестве информация о квантовой интерференции стирается.

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S (ρ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет чистое состояние.
• S (ρ) максимальна и равна ln N для максимально смешанного состояния, где N, являющаяся размерностью гильбертова пространства.
• S (ρ), инвариантна относительно изменений в базисе ρ, т. е. S (ρ) = S (UρU), где U - унитарное преобразование.
• S (ρ) вогнутая, т. Е. Задан набор положительных чисел λ i, сумма которых равна единице. ($\Sigma \; я\; \lambda \; я\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; 1\}$) и операторов плотности ρ i, мы имеем

$S\; (\sum \; i\; =\; 1\; k\; \lambda \; i\; \rho \; i)\; \ge \; \sum \; i\; =\; 1\; k\; \lambda \; i\; S\; (\rho \; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; \backslash ,\; \backslash \; geq\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{i\}).\}$

• S (ρ) удовлетворяет оценке

$S\; (\sum \; i\; =\; 1\; k\; \lambda \; i\; \rho \; i)\; \le \; \sum \; i\; =\; 1\; k\; \lambda \; i\; S\; (\rho \; i)\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; k\; \lambda \; i\; log\; \; \lambda \; i.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; \{\backslash \; bigg\; (\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; bigg)\}\; \backslash ,\; \backslash \; leq\; \backslash ,\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{i\})\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; log\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; i\}.\}$

где равенство достигается, если ρ i имеет ортогональную опору, и, как и раньше, ρ i являются операторами плотности, а λ i является набор положительных чисел, сумма которых равна единице ($\Sigma \; i\; \lambda \; i\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; =\; 1\}$)

• S (ρ) аддитивна для независимых систем. Дано две матрицы плотности ρ A, ρ B, описывающие независимые системы A и B, имеем

$S\; (\rho \; A\; \otimes \; \rho \; B)\; =\; S\; (\rho \; A)\; +\; S\; (\rho \; В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; rho\; \_\; \{B\})\; =\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\})\; +\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{B\})\}$.

• S (ρ) является сильно субаддитивным для любых трех систем A, B и C:

$S\; (\rho \; ABC)\; +\; S\; (\rho \; B)\; \le \; S\; (\rho \; AB)\; +\; S\; (\rho \; BC).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{\; ABC\})\; +\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{B\})\; \backslash \; leq\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{AB\})\; +\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{BC\}).\}$

Это автоматически означает, что S (ρ) субаддитивен:

$S\; (\rho \; AC)\; \le \; S\; (\rho \; A)\; +\; S\; (\rho \; C).\; \{\backslash \; Disp\; Laystyle\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{AC\})\; \backslash \; leq\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\})\; +\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{C\}).\}$

Ниже обсуждается концепция субаддитивности с последующим ее обобщением на сильная субаддитивность.

Субаддитивность

Если ρ A, ρ B - это уменьшенные матрицы плотности общего состояния ρ AB, затем

$|\; S\; (\rho \; A)\; -\; S\; (\rho \; B)\; |\; \le \; S\; (\rho \; A\; B)\; \le \; S\; (\rho \; A)\; +\; S\; (\rho \; B).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; |\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\})\; \backslash ,\; -\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{B\})\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; \backslash \; leq\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{AB\})\; \backslash ,\; \backslash \; leq\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\})\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{B\})\; ~.\}$

Это правое неравенство известно как субаддитивность. Два неравенства вместе иногда называют неравенством треугольника . Они были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиоттом Х. Либом. В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, в квантовой теории это не так, т. Е. Возможно, что S (ρ AB) = 0, а S (ρ A) = S (ρ B)>0.

Интуитивно это можно понять следующим образом: в квантовой механике энтропия объединенной системы может быть меньше суммы энтропии ее компонентов, поскольку компоненты могут быть запутанными. Например, как явным образом видно, состояние Белла двух спин-½,

$|\; \psi ⟩\; =\; |\; \uparrow \; \downarrow ⟩\; +\; |\; \downarrow \; \uparrow ⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; downarrow\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; downarrow\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\}$

- чистое состояние с нулевая энтропия, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать индивидуально в его приведенной матрице плотности. Энтропию в одном спине можно «отменить», сопоставив с энтропией другого. Левое неравенство можно примерно интерпретировать как утверждение, что энтропия может быть отменена только равным количеством энтропии.

Если система A и система B имеют разное количество энтропии, меньшее может только частично компенсировать большее, и некоторая энтропия должна быть оставлена. Аналогичным образом, правое неравенство можно интерпретировать как утверждение, что энтропия составной системы максимизируется, когда ее компоненты не коррелированы, и в этом случае полная энтропия является просто суммой субэнтропий. Это может быть более интуитивно понятным в формулировке фазового пространства, а не в формулировке гильбертова пространства, где энтропия фон Неймана составляет минус ожидаемое значение ★ -логарифма Функция Вигнера, −∫ f ★ log ★f dx dp, вплоть до сдвига смещения. До этого сдвига смещения нормализации энтропия мажорируется энтропией своего классического предела.

Сильная субаддитивность

Энтропия фон Неймана также сильно субаддитивна. Даны три гильбертовых пространства, A, B, C,

$S\; (\rho \; A\; B\; C)\; +\; S\; (\rho \; B)\; \le \; S\; (\rho \; A\; B)\; +\; S\; (\rho \; B\; C).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{ABC\})\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{B\})\; \backslash ,\; \backslash \; Leq\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{AB\})\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{BC\}).\}$

Это более сложная теорема, и она была впервые доказана Дж. Кифером в 1959 г. и независимо Эллиоттом Х. Либом и Мэри Бет Рускай в 1973 г. с использованием матричного неравенства Эллиотта Х. Либа, доказанного в 1973 г.. Используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть неравенства треугольника выше, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству.

$S\; (\rho \; A)\; +\; S\; (\rho \; C)\; \le \; S\; (\rho \; AB)\; +\; S\; (\rho \; BC)\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{A\})\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{C\; \})\; \backslash ,\; \backslash \; leq\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{AB\})\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; S\; (\backslash \; rho\; \_\; \{BC\})\}$

, когда ρ AB и т. д. являются приведенными матрицы плотности матрицы плотности ρ ABC. Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства и рассмотрим все перестановки A, B, C, мы получим неравенство треугольника для ρ ABC : каждое из трех чисел S (ρ AB), S (ρ BC), S (ρ AC) меньше или равно сумме двух других.

• Энтропия (теория информации)
• Линейная энтропия
• Функция распределения (математика)
• Квантовая условная энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Квантовая запутанность
• Сильная субаддитивность квантовой энтропии
• энтропия Верла

1. ^ Bengtsson, Ingemar; Жычковски, Кароль. Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (1-е изд.). п. 301.
2. ^Нильсен, Майкл А. и Исаак Чуанг (2001). Квантовые вычисления и квантовая информация (Repr. Ed.). Кембридж [u.a.]: Cambridge Univ. Нажмите. п. 700. ISBN 978-0-521-63503-5.
3. ^Фон Нейман, Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Берлин: Springer. ISBN 3-540-59207-5.; Фон Нейман, Джон (1955). Математические основы квантовой механики. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-02893-4.
4. ^Ландау, Л. (1927). "Das Daempfungsproblem in der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik. 45 (5–6): 430–464. Bibcode : 1927ZPhy... 45..430L. doi : 10.1007 / BF01343064.
5. ^Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность, Ингемар Бенгтссон, Кароль Жичковски, стр. 301
6. ^ Захос, К. К. (2007). «Классическая оценка квантовой энтропии». Журнал физики A: математический и теоретический. 40 (21): F407. arXiv : hep-th / 0609148. Bibcode : 2007JPhA... 40..407Z. doi : 10.1088 / 1751-8113 / 40/21 / F02.
7. ^Хузихиро Араки и Эллиотт Х. Либ, Энтропийные неравенства, Сообщения по математической физике, том 18, 160–170 (1970).
8. ^Зурек, В. Х. (2003). «Декогеренция, einselection и квантовые истоки классического». Обзоры современной физики. 75 (3): 715. arXiv : Quant-ph / 0105127. Bibcode : 2003RvMP... 75..715Z. doi : 10.1103 / RevModPhys.75.715.
9. ^Кифер, Дж. (Июль 1959 г.). «Оптимальные экспериментальные проекты». Журнал Королевского статистического общества: серия B (методологическая). 21 (2): 272–310.
10. ^Рускай, Мэри Бет. «Эволюция основной теоремы о квантовой энтропии». youtube.com. World Scientific. Проверено 20 августа 2020 года. Приглашенный доклад на конференции в честь 90-летия Фримена Дайсона, Институт перспективных исследований, Технологический университет Наньян, Сингапур, 26-29 августа 2013 года. Записка о Кифере (1959) находится в 26:40 mark.
11. ^Эллиотт Х. Либ и Мэри Бет Рускай, Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии, Журнал математической физики, том 14, 1938–1941 (1973).
12. ^Эллиотт Х. Либ, Выпуклые функции следа и гипотеза Вигнера – Янаса – Дайсона, Успехи в математике, том 67, 267–288 (1973).