Цепочка Штейнера

Рис. 1. Цепочка Штейнера из двенадцати черных кругов (n = 12). Данные круги показаны синим и красным, которые представляют собой крайнюю и внутреннюю окружности соответственно.

В geometry цепочка Штейнера представляет собой набор из n окружностей, все из которые касаются двух заданных непересекающихся окружностей (синего и красного на рисунке 1), где n конечно, а каждая окружность в цепочке касается предыдущей и следующей окружностей в цепочке. В обычных замкнутых цепях Штейнера первая и последняя (n) окружности также касаются друг друга; напротив, в открытых цепях Штейнера они не должны быть такими. Данные окружности α и β не пересекаются, но в остальном не ограничены; меньший круг может полностью лежать внутри или вне большего круга. В этих случаях центры окружностей цепочки Штейнера лежат на эллипсе или на гиперболе соответственно.

Цепи Штайнера названы в честь Якоба Штайнера, который определил их в 19 веке и обнаружил многие из их свойств. Фундаментальным результатом является поризм Штейнера, который гласит:

Если существует хотя бы одна замкнутая цепочка Штейнера из n окружностей для двух заданных окружностей α и β, то существует бесконечное число замкнутых цепей Штейнера из n круги; и любая окружность, касающаяся α и β таким же образом, является членом такой цепи.

«Касательная таким же образом» означает, что произвольная окружность касается внутренней или внешней стороны так же, как окружность оригинала Цепь Штейнера. Поризм - это разновидность теорем, касающихся количества решений и условий на них. Поризмы часто описывают геометрическую фигуру, которая не может существовать, если не выполняется условие, но в противном случае может существовать в бесконечном количестве; другой пример - поризм Понселе.

Метод инверсии окружностей полезен при лечении цепей Штейнера. Поскольку она сохраняет касания, углы и окружности, инверсия преобразует одну цепочку Штейнера в другую с таким же числом окружностей. Один конкретный выбор инверсии преобразует данные окружности α и β в концентрические окружности; в этом случае все круги цепи Штейнера имеют одинаковый размер и могут «катиться» в кольцевом пространстве между кругами, как в шарикоподшипниках. Эта стандартная конфигурация позволяет вывести несколько свойств цепей Штейнера, например, ее точки касания всегда лежат на окружности. Существует несколько обобщений цепей Штейнера, в первую очередь гекслет Содди и цепи Паппа.

• 1 Определения и типы касания
• 2 Замкнутый, открытый и многоциклический
• 3 Кольцевой случай и критерий выполнимости
• 4 Свойства при инверсии
• 5 Бесконечное семейство
• 6 Эллиптическое / гиперболическое геометрическое место центров
• 7 Сопряженные цепи
• 8 Обобщения
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Библиография
• 12 Дополнительная литература
• 13 Внешние ссылки

• Цепи Штейнера с различными внутренними / внешними касаниями
• 

  7 кругов этой цепи Штейнера (черные) внешне касаются данного внутреннего круга (красный), но внутренне касаются данного внешнего круга (синий).

• 

  7 кругов этой цепочки Штейнера (черные) касаются снаружи обоих заданных кругов (красного и синего), лежащих вне друг друга.

• 

  Семь из 8 кругов этой цепочки Штейнера (черные) касаются снаружи обоих заданных кругов (красного и синего); 8-й круг касается обоих изнутри.

Две заданные окружности α и β не могут пересекаться; следовательно, меньший заданный круг должен лежать внутри или снаружи большего. Круги обычно показаны как кольцо , т.е. меньший заданный круг находится внутри большого. В этой конфигурации окружности цепи Штейнера касаются снаружи внутренней окружности и касаются внутренней окружности внешней окружности. Однако меньший круг также может полностью лежать вне большего (Рисунок 2). Черные кружки на рис. 2 удовлетворяют условиям замкнутой цепи Штейнера: все они касаются двух данных окружностей, и каждая касается своих соседей по цепи. В этой конфигурации окружности цепи Штейнера имеют одинаковый тип касания к обеим заданным окружностям, либо внешне, либо внутренне касаясь обоих. Если две заданные окружности касаются в одной точке, цепочка Штейнера становится бесконечной цепочкой Паппа, что часто обсуждается в контексте арбелос (сапожный нож), геометрической фигуры. сделан из трех кругов. Не существует общего названия для последовательности окружностей, касающихся двух данных окружностей, пересекающихся в двух точках.

• Замкнутые, открытые и многоциклические цепочки Штейнера
• 

  Замкнутые цепочки Штейнера из девяти окружностей. 1-й и 9-й круги касательные.

• 

  Раскройте цепочку Штейнера из девяти кругов. 1-й и 9-й круги перекрываются.

• 

  Мультициклическая цепь Штейнера из 17 кругов в 2 витка. 1-й и 17-й круги касаются друг друга.

Две заданные окружности α и β касаются n окружностей цепи Штейнера, но каждая окружность C k цепи Штейнера касается только четырех окружностей: α, β и двух своих соседей, C k − 1 и C k + 1. По умолчанию предполагается, что цепи Штейнера замкнуты, т.е. первая и последняя окружности касаются друг друга. Напротив, открытая цепочка Штейнера - это цепочка, в которой первая и последняя окружности C 1 и C n не касаются друг друга; эти круги касаются только трех окружностей. Мультициклические цепи Штейнера оборачиваются вокруг внутреннего круга более одного раза, прежде чем замкнуться, то есть до того, как они будут касаться первоначальной окружности.

Замкнутые цепи Штейнера - это системы окружностей, полученные как теорема об упаковке окружностей представление бипирамиды.

• Кольцевые цепи Штейнера
• 

  n = 3

• 

  n = 6

• 

  n = 9

• 

  n = 12

• 

  n = 20

Радиус кругов Штейнера равен ρ, тогда как радиус окружностей внутреннего и внешнего заданных кругов равен r и R соответственно. Расстояние от центра внутреннего круга до центра круга Штейнера равно r + ρ (оранжевый отрезок линии).

Простейший тип цепочки Штейнера - это замкнутая цепочка из n кругов равного размера, окружающая вписанный круг из радиус r; сама цепочка окружностей окружена описанной окружностью радиуса R. Вписанные и описанные данные окружности концентрические, а окружности цепочки Штейнера лежат в кольце между ними. По симметрии угол 2θ между центрами окружностей цепочки Штейнера равен 360 ° / n. Поскольку окружности цепочки Штейнера касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, в данном случае удвоенного радиуса ρ. Биссектриса (зеленая на рисунке) образует два прямоугольных треугольника с центральным углом θ = 180 ° / n. синус этого угла может быть записан как длина его противоположного сегмента, разделенная на гипотенузу прямоугольного треугольника

$sin\; \; \theta \; =\; \rho \; r\; +\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{r\; +\; \backslash \; rho\}\}\}$

Поскольку θ известно из n, это дает уравнение для неизвестного радиуса ρ окружностей цепи Штейнера

$\rho \; =\; r\; sin\; \; \theta \; 1\; -\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\}$

Точки касания окружности цепи Штейнера с внутренней и внешней заданными окружностями лежат на прямой которые проходят через их общий центр; следовательно, внешний радиус R = r + 2ρ.

Эти уравнения обеспечивают критерий выполнимости цепи Штейнера для двух заданных концентрических окружностей. Замкнутая цепочка Штейнера из n окружностей требует, чтобы отношение радиусов R / r данных окружностей было точно

$R\; r\; =\; 1\; +\; 2\; sin\; \; \theta \; 1\; -\; sin\; \; \theta \; =\; 1\; +\; sin\; \; \theta \; 1\; -\; sin\; \; \theta \; знак\; равно\; [сек\; \; \theta \; +\; загар\; \; \theta ]\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{r\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{1-\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; sec\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\}$

Как показано ниже, это соотношение критерий радиусов для концентрических данных окружностей может быть расширен на все типы данных окружностей на обратное расстояние δ двух данных окружностей. Для концентрических окружностей это расстояние определяется как логарифм их отношения радиусов

$\delta \; =\; ln\; \; R\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{r\}\}\}$

Использование решения для концентрических окружностей общий критерий цепочки Штейнера из n окружностей можно записать в виде

$\delta \; =\; 2\; ln\; \; (sec\; \; \theta \; +\; tan\; \; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; 2\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; sec\; \backslash \; theta\; +\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right).\}$

Если полициклическая кольцевая цепь Штейнера имеет n полных кругов и оборачивается m раз перед закрытием, угол между Круги цепочки Штейнера равны

$\theta \; =\; mn\; 180\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{n\}\}\; 180\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$

В остальном критерий выполнимости не изменился.

• Инверсивные свойства цепочек Штейнера
• 

  Две окружности (розовый и голубой), которые касаются изнутри обеих данных окружностей и чьи центры коллинеарны центру данных окружностей, пересекаются угол 2θ.

• 

  При инверсии эти прямые и окружности становятся окружностями с одинаковым углом пересечения 2θ. Золотые круги пересекают два заданных круга под прямым углом, то есть ортогонально.

• 

  Окружности, проходящие через точки взаимного касания окружностей цепи Штейнера, ортогональны двум заданным окружностям и пересекаются друг с другом под углом, кратным 2θ.

• 

  Окружности, проходящие через точки касания окружностей цепочки Штейнера с двумя заданными окружностями, ортогональны последней и пересекаются под углом, кратным 2θ.

Инверсия кругов преобразует одну цепочку Штейнера в другую с таким же количеством кругов.

В преобразованной цепочке все точки касания между соседними окружностями цепи Штейнера лежат на окружности, а именно на концентрической окружности посередине между двумя фиксированными концентрическими окружностями. Поскольку касания и окружности сохраняются при инверсии, это свойство всех касаний, лежащих на окружности, верно и для исходной цепи. Это свойство также разделяется с цепочкой Паппа кругов, которую можно рассматривать как частный предельный случай цепочки Штейнера.

В преобразованной цепочке касательные от O к окружностям цепочки Штейнера разделены равными углами. В исходной цепочке это соответствует равным углам между касательными окружностями, проходящими через центр инверсии, используемым для преобразования исходных окружностей в концентрическую пару.

В преобразованной цепочке n прямых, соединяющих пары точек касания окружностей Штейнера с концентрическими окружностями, проходят через O, общий центр. Точно так же n прямых, касающихся каждой пары соседних окружностей в цепочке Штейнера, также проходят через O . Поскольку прямые, проходящие через центр инверсии, инвариантны относительно инверсии, и поскольку касание и совпадение сохраняются при инверсии, 2n прямых, соединяющих соответствующие точки в исходной цепочке, также проходят через одну точку, O.

Если даже одна замкнутая цепь Штейнера возможна для двух заданных окружностей (синие), тогда возможно бесконечно много цепей Штейнера, все связанные вращением. Их точки касания всегда попадают в круг (оранжевый). Если два заданных круга вложены друг в друга, центры кругов цепочки Штейнера (черные) попадают на эллипс (красный); в противном случае они попадают на гиперболу.

Цепь Штейнера между двумя непересекающимися окружностями всегда может быть преобразована в другую цепочку Штейнера из окружностей одинакового размера, зажатых между двумя концентрическими окружностями. Следовательно, любая такая цепочка Штейнера принадлежит бесконечному семейству цепей Штейнера, связанных вращением преобразованной цепи вокруг O, общего центра преобразованных ограничивающих окружностей.

Центры окружностей цепи Штейнера лежат на коническом сечении. Например, если меньший заданный круг лежит внутри большего, центры лежат на эллипсе . Это верно для любого набора окружностей, которые касаются внутри одной данной окружности и касаются снаружи другой; такие системы кругов появляются в цепочке Паппа, в задаче Аполлония и в трехмерном гекслете Содди. Точно так же, если некоторые окружности цепи Штейнера касаются снаружи обеих данных окружностей, их центры должны лежать на гиперболе, тогда как те, которые касаются изнутри обеих окружностей, лежат на другой гиперболе.

Окружности цепи Штейнера касаются двух фиксированных окружностей, обозначенных здесь как α и β, где β заключено в α. Пусть радиусы этих двух окружностей обозначены как r α и r β соответственно, и пусть их соответствующие центры будут точками A и B . Пусть радиус, диаметр и центральная точка k окружности цепи Штейнера обозначены как r k, d k и Pkсоответственно.

Все центры окружностей в цепочке Штейнера расположены на общем эллипсе по следующей причине. Сумма расстояний от центральной точки k окружности цепи Штейнера до двух центров A и B неподвижных окружностей равна константе

$P\; k\; A\; ¯\; +\; П\; К\; В\; ¯\; знак\; равно\; (r\; \alpha \; -\; rk)\; +\; (r\; \beta \; +\; rk)\; =\; r\; \alpha \; +\; r\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{P\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}\}\; =\; (r\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; -r\_\; \{k\})\; +\; \backslash \; left\; (r\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; +\; r\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; =\; r\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; r\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}$

Таким образом, для всех центров окружностей цепочки Штейнера сумма расстояний до A и B равна та же константа, r α + r β. Это определяет эллипс, два фокуса - это точки A и B, центры окружностей, α и β, которые окружают цепочку кругов Штейнера..

Сумма расстояний до фокусов равна удвоенной большой полуоси a эллипса; следовательно,

$2\; a\; =\; r\; \alpha \; +\; r\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\; =\; r\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; r\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}$

Пусть p равно расстоянию между фокусами, A и В . Тогда эксцентриситет e определяется как 2 ae = p, или

$e\; =\; p\; 2\; a\; =\; pr\; \alpha \; +\; r\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{2a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; r\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}\}\}$

Исходя из этих параметров, малая полуось b и прямая полуосье L можно определить

$b\; 2\; =\; a\; 2\; (1\; -\; e\; 2)\; =\; a\; 2\; -\; p\; 2\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\}$

$L\; =\; b\; 2\; a\; =\; a\; -\; p\; 2\; 4\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; b\; ^\; \{2\}\}\; \{a\}\}\; =\; a\; -\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\}\; \{4a\}\}\}$

Следовательно, эллипс можно описать уравнением с точки зрения расстояния d до одного фокуса

$d\; =\; L\; 1\; -\; e\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{1-e\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\}$

где θ - угол с линией, соединяющей два фокуса.

• Конъюгированные цепи Штейнера с n = 4
• 

  цепочки Штейнера с двумя заданными кружками, показанными красным и синим.

• 

  Тот же набор кругов, но с другим выбором данных кругов.

• 

  Тот же набор кругов, но с еще одним выбором данных кругов.

Если цепочка Штейнера имеет четное число окружностей, то любые две диаметрально противоположные окружности в цепочке могут быть взяты за две заданные окружности новой цепи Штейнера, которой принадлежат исходные окружности. Если исходная цепь Штейнера имеет n кругов в m витках, а новая цепь имеет p кругов в q витках, то уравнение выполняется

$m\; n\; +\; p\; q\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{n\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$

Простой пример имеет место для цепочек Штейнера из четырех окружностей. (n = 4) и одно обертывание (m = 1). В этом случае данные окружности и окружности цепи Штейнера эквивалентны в том смысле, что оба типа окружностей касаются четырех других; в более общем смысле, окружности цепи Штейнера касаются четырех окружностей, но две заданные окружности касаются n окружностей. В этом случае любая пара противоположных членов цепочки Штейнера может быть выбрана в качестве заданных окружностей другой цепи Штейнера, которая включает исходные заданные кружки. Поскольку m = p = 1 и n = q = 4, выполняется уравнение Штейнера:

$1\; 4\; +\; 1\; 4\; =\; 1\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\}$

гекслет Содди трехмерный аналог цепи Штейнера.

Простейшее обобщение цепочки Штейнера - позволить заданным окружностям касаться или пересекаться друг с другом. В первом случае это соответствует цепочке Паппа, которая имеет бесконечное количество кругов.

Гекслет Содди представляет собой трехмерное обобщение цепочки Штейнера из шести окружностей. Центры шести сфер (гекслета) движутся по тому же эллипсу, что и центры соответствующей цепочки Штейнера. Оболочка гекслетных сфер - это циклид Дюпена, инверсия тора . Шесть сфер касаются не только внутренней и внешней сферы, но также и двух других сфер, центрированных выше и ниже плоскости центров гекслетов.

Множественные кольца цепей Штейнера - еще одно обобщение. Обычная цепочка Штейнера получается обращением кольцевой цепочки касательных окружностей, ограниченных двумя концентрическими окружностями. Это можно обобщить на инверсию трех или более концентрических окружностей, которые образуют кольцевые цепочки касательных окружностей.

Иерархические цепочки Штейнера - еще одно обобщение. Если две заданные окружности обычной цепи Штейнера вложены друг в друга, т. Е. Если одна целиком лежит внутри другой, то данная окружность большего размера описывает окружности цепи Штейнера. В иерархической цепи Штейнера каждый круг из цепи Штейнера сам по себе является описывающим данным кругом другой цепи Штейнера внутри нее; этот процесс может повторяться бесконечно, образуя фрактал.

• пористость Понселе
• круги Форда
• Аполлоническая прокладка

• Ogilvy, CS (1990). Экскурсии по геометрии. Дувр. С. 51–54. ISBN 0-486-26530-7.
• Коксетер, H.S.M. ; Грейтцер, S.L. (1967). Возвращение к геометрии. Новая математическая библиотека. 19. Вашингтон : MAA. С. 123–126, 175–176, 180. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402.
• Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 г., изд. Houghton Miflin). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 113–115. ISBN 978-0-486-46237-0.
• Wells D (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. С. 244–245. ISBN 0-14-011813-6.

• Eves H (1972). Обзор геометрии (отредактированная ред.). Бостон: Аллин и Бэкон. С. 134–135. ISBN 978-0-205-03226-6.
• Педое Д. (1970). Курс геометрии для колледжей и университетов. Издательство Кембриджского университета. С. 97–101. ISBN 978-0-521-07638-8.
• Кулидж Дж. Л. (1916). Трактат о круге и сфере. Оксфорд: Clarendon Press. Стр. 31–37.

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с цепями Штайнера.

• Вайсштейном, Эриком У. «Цепями Штайнера». MathWorld.
• Интерактивная анимация цепочки Штайнера, CodePen
• Интерактивный апплет от Майкла Борчердса, показывающий анимацию цепочки Штайнера с переменным количеством кругов, созданных с помощью GeoGebra.