Анализ формы спектра

Анализ формы спектра основан на спектре (собственные значения и / или собственные функции ) оператора Лапласа – Бельтрами для сравнения и анализа геометрических фигур. Поскольку спектр оператора Лапласа – Бельтрами инвариантен относительно изометрий, он хорошо подходит для анализа или восстановления нежестких форм, т. Е. Изгибаемых объектов, таких как люди, животные, растения и т. Д.

• 1 Лаплас
• 2 Дискретизация
• 3 Дескрипторы формы спектра
  • 3.1 ShapeDNA и ее варианты
  • 3.2 Сигнатура глобальной точки (GPS)
  • 3.3 Сигнатура теплового ядра (HKS)
  • 3.4 Сигнатура волнового ядра (WKS)
  • 3.5 Улучшенная сигнатура волнового ядра (IWKS)
  • 3.6 Сигнатура вейвлета на спектральном графике (SGWS)
• 4 Спектральное согласование
• 5 Ссылки

Оператор Лапласа – Бельтрами используется во многих важных дифференциальных уравнениях, таких как уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Его можно определить на римановом многообразии как дивергенция градиента вещественной функции f:

$\Delta \; f:\; =\; div\; \; grad\; \; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f:\; =\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; \backslash \; operatorname\; \{grad\}\; f.\}$

Его спектральные компоненты могут быть вычислены путем решения уравнения Гельмгольца (или задачи на собственные значения лапласа):

$\Delta \; \phi \; я\; +\; \lambda \; я\; \phi \; я\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; =\; 0.\}$

Решениями являются собственные функции $\phi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\}$(режимы) и соответствующие собственные значения $\lambda \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\}$, представляющие расходящиеся последовательность положительных действительных чисел. Первое собственное значение равно нулю для замкнутых областей или при использовании граничного условия Неймана. Для некоторых форм спектр можно вычислить аналитически (например, прямоугольник, плоский тор, цилиндр, диск или сфера). Для сферы, например, собственные функции - это сферические гармоники.

. Наиболее важные свойства собственных значений и собственных функций заключаются в том, что они являются инвариантами изометрии. Другими словами, если форма не растянута (например, лист бумаги согнут в третьем измерении), спектральные значения не изменятся. Сгибаемые объекты, такие как животные, растения и люди, могут принимать разные позы с минимальным растяжением суставов. Полученные формы называются почти изометрическими, и их можно сравнить с помощью анализа спектральных форм.

Геометрические формы часто представлены как 2D криволинейные поверхности, 2D поверхностные сетки (обычно треугольные сетки ) или 3D твердые объекты (например, с использованием вокселы или тетраэдры сетки). Уравнение Гельмгольца может быть решено для всех этих случаев. Если граница существует, например Для квадрата или объема любой трехмерной геометрической формы необходимо указать граничные условия.

Существует несколько дискретизаций оператора Лапласа (см. Дискретный оператор Лапласа ) для различных типов геометрических представлений. Многие из этих операторов плохо аппроксимируют основной непрерывный оператор.

ShapeDNA и ее варианты

ShapeDNA является одним из первых дескрипторов формы спектра. Это нормализованная начальная последовательность собственных значений оператора Лапласа – Бельтрами. Его основными преимуществами являются простое представление (вектор чисел) и сравнение, масштабная инвариантность и, несмотря на простоту, очень хорошие характеристики для восстановления формы нежестких форм. Конкуренты shapeDNA включают в себя сингулярные значения матрицы геодезических расстояний (SD-GDM) и уменьшенной бигармонической матрицы расстояний (R-BiHDM). Однако собственные значения являются глобальными дескрипторами, поэтому shapeDNA и другие глобальные спектральные дескрипторы не могут использоваться для локального или частичного анализа формы.

Сигнатура глобальной точки (GPS)

Сигнатура глобальной точки в точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$представляет собой вектор масштабированных собственных функций Лапласа– Оператор Бельтрами вычисляется в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$(т. Е. Спектральное вложение формы). GPS - это глобальная функция в том смысле, что ее нельзя использовать для частичного согласования формы.

Сигнатура теплового ядра (HKS)

Сигнатура теплового ядра использует собственное разложение теплового ядра :

$ht\; (x,\; y)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; ехр\; \; (-\; \lambda \; it)\; \phi \; i\; (x)\; \phi \; i\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{t\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; t)\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (y).\}$

Для каждой точки на поверхности диагональ теплового ядра $ht\; (x,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{t\}\; (x,\; x)\}$выбирается в определенные значения времени $tj\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{j\}\}$и дает локальную сигнатуру, которая также может использоваться для частичного совпадения или обнаружения симметрии.

Сигнатура волнового ядра (WKS)

WKS следует той же идее, что и HKS, заменяя уравнение теплопроводности волновым уравнением Шредингера.

Улучшенная сигнатура волнового ядра (IWKS)

IWKS улучшает WKS для поиска нежесткой формы путем введения новой функции масштабирования для собственных значений и агрегирования нового члена кривизны.

Вейвлет-сигнатура спектрального графа (SGWS)

SGWS - это локальный дескриптор, который не только изометрически инвариантен, но также компактен, легко вычисляется и сочетает в себе преимущества полосы пропускания и низкой пройти фильтры. Важным аспектом SGWS является возможность объединить преимущества WKS и HKS в единую сигнатуру, позволяя при этом представление форм с разным разрешением.

Спектральное разложение лапласиана графа связанный со сложными формами (см. Дискретный оператор Лапласа ), обеспечивает собственные функции (моды), которые инвариантны к изометриям. Каждая вершина формы может быть уникально представлена ​​комбинациями собственных модальных значений в каждой точке, иногда называемых спектральными координатами:

$s\; (x)\; =\; (\phi \; 1\; (x),\; \phi \; 2\; (x),\dots ,\; \phi \; N\; (x))\; для\; вершины\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (x)\; =\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (x),\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; (x),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{N\}\; (x))\; \{\backslash \; text\; \{для\; вершины\}\}\; x.\}$

Спектральное сопоставление заключается в установлении соответствия точек путем объединения вершин на разных фигурах, имеющих наиболее похожие спектральные координаты. Ранние работы были сосредоточены на разреженных соответствиях для стереоскопии. Вычислительная эффективность теперь обеспечивает плотные соответствия на полных сетках, например, между кортикальными поверхностями. Спектральное согласование можно также использовать для сложной нежесткой регистрации изображения, что особенно сложно, когда изображения имеют очень большие деформации. Такие методы совмещения изображений, основанные на спектральных собственных модальных значениях, действительно захватывают глобальные характеристики формы и контрастируют с традиционными нежесткими методами совмещения изображений, которые часто основаны на локальных характеристиках формы (например, градиентах изображения).

1. ^Reuter, M. и Wolter, F.-E. и Пайнеке, Н. (2005). «Спектры Лапласа как отпечатки пальцев для согласования формы». Труды Симпозиума ACM 2005 г. по твердотельному и физическому моделированию. С. 101–106. doi : 10.1145 / 1060244.1060256. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
2. ^Reuter, M. and Wolter, F.-E. и Пайнеке, Н. (2006). «Спектры Лапласа – Бельтрами как форма ДНК поверхностей и твердых тел». Компьютерное проектирование. 38 (4): 342–366. doi : 10.1016 / j.cad.2005.10.011. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
3. ^Lian, Z.; et al. (2011). "SHREC Трек «11: восстановление формы на нежестких трехмерных водонепроницаемых сетках». Труды семинара Eurographics 2011 по поиску трехмерных объектов (3DOR'11). Стр. 79–88. doi : 10.2312 / 3DOR / 3DOR11 / 079-088.
4. ^Смитс, Дирк; Фабри, Томас; Херманс, Йерун; Вандермейлен, Дирк; Суэтенс, Пол (2009). "Изометрическое моделирование деформации для распознавания объектов". Компьютерный анализ изображений и шаблонов. Лекция Notes in Computer Science. 5702 . Pp. 757–765. Bibcode : 2009LNCS.5702..757S. doi : 10.1007 / 978-3-642-03767-2_92. ISBN 978-3-642-03766-5.
5. ^Йе, Дж. И Ю, Й. (2015). «Быстрое преобразование модального пространства для надежного извлечения нежесткой формы». Визуальный компьютер, Springer. 32 (5): 553. doi : 10.1007 / s00371-015-1071-5. hdl : 10722/215522.
6. ^Рустамов Р.М. (4 июля 2007 г.). «Собственные функции Лапласа – Бельтрами для представления формы, инвариантной к деформации». Материалы пятого симпозиума Eurographics по обработке геометрии. Еврографическая ассоциация. С. 225–233. ISBN 978-3-905673-46-3.
7. ^Сан, Дж. И Овсяников, М. и Гибас, Л. (2009). «Краткая и доказуемо информативная многомасштабная подпись, основанная на диффузии тепла». Форум компьютерной графики. 28 . С. 1383–1392. doi : 10.1111 / j.1467-8659.2009.01515.x. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
8. ^Обри, М., Schlickewei, U. and Cremers D. (2011). «Сигнатура волнового ядра: квантово-механический подход к анализу формы». Семинары по компьютерному зрению (ICCV Workshops), 2011 Международная конференция IEEE на стр. 1626–1633. doi : 10.1109 / ICCVW.2011.6130444. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
9. ^Limberger, FA Wilson, RC (2015). "Feature Encoding спектральных сигнатур для трехмерного извлечения нежесткой формы ". Труды Британской конференции по машинному зрению (BMVC). стр. 56.1–56.13. doi : 10.5244 / C.29.56.
10. ^Masoumi, Majid; Li, Chunyuan; Ben Hamza, A (2016). «Подход вейвлета спектрального графа для извлечения нежесткой трехмерной формы». Письма о распознавании образов. 83 : 339–48. doi : 10.1016 / j.patrec.2016.04.009.
11. ^Умэяма, С. (1988). «Подход собственной декомпозиции к задачам сопоставления взвешенных графов». IEEE Transacti по анализу шаблонов и машинному интеллекту. 10 (5): 695–703. doi : 10.1109 / 34.6778.
12. ^Scott, GL Longuet-Higgins, HC (1991). «Алгоритм сопоставления признаков двух изображений». Труды Лондонского королевского общества. Серия B: Биологические науки. 244 (1309): 21–26. Bibcode : 1991RSPSB.244... 21S. doi : 10.1098 / rspb.1991.0045. PMID 1677192.
13. ^Shapiro, LS Brady, JM (1992). «Соответствие на основе признаков: подход собственных векторов». Вычисления изображений и зрения. 10 (5): 283–288. doi : 10.1016 / 0262-8856 (92) 90043-3.
14. ^Ломберт, Х. и Грейди, Л. и Полимени, Дж. Р. и Чериет, Ф. (2013). «FOCUSR: Соответствие, ориентированное на признаки с использованием спектральной регуляризации - метод точного согласования поверхностей». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 35 (9): 2143–2160. doi : 10.1109 / tpami.2012.276. PMC 3707975. PMID 23868776. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
15. ^Lombaert, H and Grady, L и Pennec, X и Ayache, N и Cheriet, F (2014). «Spectral Log-Demons - Diffeomorphic Image Registration with Very Large Deformations». International Journal of Computer Vision. 107 (3): 254–271. CiteSeerX 10.1.1.649.9395. doi : 10.1007 / s11263-013-0681-5. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )