Выпрямленное распределение Гаусса

В теории вероятностей выпрямленное распределение Гаусса является модификацией Гауссово распределение при сбросе его отрицательных элементов в 0 (аналог электронного выпрямителя ). По сути, это смесь дискретного распределения (константа 0) и непрерывного распределения (усеченное распределение Гаусса с интервалом $(0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; (0,\; \backslash \; infty)\}$) в результате цензуры.

Содержание

• 1 Функция плотности
• 2 Среднее значение и дисперсия
• 3 Создание значений
• 4 Применение
• 5 Расширение до общих границ
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Функция плотности

Функция плотности вероятности выпрямленного гауссовского распределения для которые случайные величины X, имеющие это распределение, полученное из нормального распределения $N\; (\mu ,\; \sigma \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}),\}$отображаются как $X\; \sim \; NR\; (\mu ,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; ^\; \{\backslash \; textrm\; \{R\}\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$, определяется как

$f\; (x;\; \mu ,\; \sigma \; 2)\; =\; \Phi \; (-\; \mu \; \sigma )\; \delta \; (x)\; +\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; e\; -\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; U\; (x).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х;\; \backslash \; му,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; Phi\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\})\; \backslash \; delta\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ;\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; textrm\; \{U\; \}\}\; (x).\}$

Сравнение распределения Гаусса, выпрямленного распределения Гаусса и усеченного распределения Гаусса.

Здесь $\Phi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x)\}$- кумулятивная функция распределения (cdf) стандартного нормального распределения :

$\Phi \; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; xe\; -\; t\; 2/2\; dtx\; \in \; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{x\}\; e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; quad\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\}$

$\delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (x)\}$- дельта-функция Дирака

$\delta \; (x)\; =\; \{+\; \infty ,\; Икс\; знак\; равно\; 0\; 0,\; Икс\; \ne \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; (х)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +\; \backslash \; infty,\; x\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 0,\; x\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

и $U\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{U\}\}\; (x)\}$- это функция единичного шага :

$U\; (x)\; =\; \{0,\; х\; \le \; 0,\; 1,\; х>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{U\}\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0,\; x\; \backslash \; leq\; 0,\; \backslash \backslash \; 1,\; x>0.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$<181 Среднее значение и дисперсия

Так как неустановленное нормальное распределение имеет mean $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и поскольку при преобразовании его в исправленное распределение некоторая вероятностная масса был сдвинут на более высокое значение (с отрицательных значений на 0), среднее значение выпрямленного распределения больше $\mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu.\}$

Поскольку выпрямленное распределение формируется путем перемещения некоторых из вероятностной массы к остальной вероятностной массе исправление представляет собой сокращение с сохранением среднего значения в сочетании с жестким сдвигом распределения, изменяющим среднее значение, и, таким образом, дисперсия уменьшается; поэтому дисперсия выпрямленного распределения меньше $\sigma \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}.\; \}$

Для генерации значений вычислительным способом можно использовать

$s\; \sim \; N\; (\mu ,\; \sigma \; 2),\; x\; =\; max\; (0,\; s),\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}),\; \backslash \; quad\; x\; =\; \{\backslash \; textrm\; \{max\}\}\; (0,\; s),\}$

и затем

$x\; \sim \; NR\; (\mu ,\; \sigma \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; ^\; \{\backslash \; textrm\; \{R\}\}\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}).\}$

Выпрямленное распределение Гаусса является полу -сопряжен с гауссовским правдоподобием, и недавно он был применен к факторному анализу или, в частности, (неотрицательному) анализу исправленных факторов. Харва предложил алгоритм вариационного обучения для модели ректифицированных факторов, в котором факторы соответствуют смеси выпрямленных гауссовских; а позже Meng предложил модель бесконечного выпрямленного фактора в сочетании со своим решением выборки Гиббса, где факторы следуют процессу Дирихле смесь выпрямленного распределения Гаусса, и применил ее в вычислительной биологии для реконструкции сети регуляции генов.

Расширение выпрямленного гауссовского распределения было предложено Палмером и др., Позволяющее исправить положение между произвольными нижними и верхними границами. Для нижней и верхней границ $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$соответственно cdf, $FR\; (x\; |\; \mu ,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{R\}\; (x\; |\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$определяется по формуле

где $\Phi \; (x\; |\; \mu ,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x\; |\; \backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$- cdf нормального распределения с среднее значение $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и дисперсия $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$. Среднее значение и дисперсия выпрямленного распределения вычисляются путем первого преобразования ограничений, действующих на стандартное нормальное распределение:

$c\; =\; a\; -\; \mu \; \sigma ,\; d\; =\; b\; -\; \mu \; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\},\; \backslash \; qquad\; d\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}.\}$

Используя преобразованные ограничения, среднее и дисперсия, $\mu \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{R\}\}$и $\sigma \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$соответственно, тогда задаются следующим образом:

$\mu \; t\; =\; 1\; 2\; \pi \; (e\; (-\; c\; 2\; 2)\; -\; e\; (-\; d\; 2\; 2))\; +\; c\; 2\; (1\; +\; erf\; (c\; 2))\; +\; d\; 2\; (\; 1\; -\; erf\; (d\; 2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; -\; e\; ^\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\}$

$\sigma \; t\; 2\; =\; \mu \; t\; 2\; +\; 1\; 2\; (\; erf\; (d\; 2)\; -\; erf\; (c\; 2))\; -\; 1\; 2\; \pi \; ((d\; -\; 2\; \mu \; t)\; e\; (-\; d\; 2\; 2)\; -\; (c\; -\; 2\; \mu \; t)\; e\; (-\; c\; 2\; 2))\; +\; (c\; -\; \mu \; t)\; 2\; 2\; (1\; +\; erf\; (c\; 2))\; +\; (d\; -\; \mu \; t)\; 2\; 2\; (1\; -\; erf\; (d\; 2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (d-2\; \backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; -\; \backslash \; left\; (c-2\; \backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{\backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; left\; (c-\; \backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\})\; \}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (d-\; \backslash \; mu\; \_\; \{t\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{erf\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$\mu \; R\; =\; \mu \; +\; \sigma \; \mu \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{R\}\; знак\; равно\; \backslash \; му\; +\; \backslash \; сигма\; \backslash \; му\; \_\; \{т\},\}$

$\sigma \; R\; 2\; =\; \sigma \; 2\; \sigma \; T\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\},\}$

где erf - это функция ошибок. Это распределение использовали Palmer et al. для моделирования уровней физических ресурсов, таких как количество жидкости в емкости, которое ограничено как 0, так и вместимостью емкости.

• усеченное нормальное распределение
• полунормальное распределение