Осциллирующий интеграл

В математическом анализе колебательный интеграл является типом распределения. Осциллирующие интегралы содержат множество строгих аргументов, которые на наивном уровне, кажется, используют расходящиеся интегралы. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Связь с распределениями Лагранжа
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Осциллирующий интеграл $f\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x)\}$формально записывается как

$f\; (x)\; =\; \int \; ei\; \varphi \; (x,\; \xi )\; a\; (x,\; \xi )\; d\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\; x)\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\; (x,\; \backslash \; xi)\}\; \backslash ,\; a\; (x,\; \backslash \; xi)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi\}$

где $\varphi \; (x,\; \xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x,\; \backslash \; xi)\}$и $a\; (x,\; \xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x,\; \backslash \; xi)\}$- это функции, определенные в $R\; xn\; \times \; R\; \xi \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{N\}\}$со следующим свойства.

1) Функция $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$вещественнозначная, положительно однородная степени 1 и бесконечно дифференцируема вдали от $\{\xi \; =\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; xi\; =\; 0\; \backslash \}\}$. Кроме того, мы предполагаем, что $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$не имеет критических точек на поддержке из $a\; \{\backslash \; displaystyle\; а\}$. Такая функция, $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$обычно называется фазовой функцией . В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые все еще называются фазовыми функциями.

2) Функция $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$принадлежит одному из классов символов $S\; 1,\; 0\; м\; (R\; xn\; \times \; R\; \xi \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1,0\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{\; R\}\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{N\})\}$для некоторого $m\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Как и в случае с фазовой функцией $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, в некоторых случаях функция $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$рассматривается как более общая, или просто разные классы.

Когда формальный интеграл, определяющий $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$, сходится для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$. Однако, когда $m\; \ge \; -\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; -N\}$колебательный интеграл по-прежнему определяется как распределение на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; n\}\}$даже если интеграл может не сходиться. В этом случае распределение $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$определяется с использованием того факта, что $a\; (x,\; \xi )\; \in \; S\; 1,\; 0\; m\; (R\; xn\; \times \; р\; \xi \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x,\; \backslash \; xi)\; \backslash \; in\; S\_\; \{1,0\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathrm\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{N\})\}$можно аппроксимировать функциями, которые имеют экспоненциальное затухание в $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$. Один из возможных способов сделать это - установить

$f\; (x)\; =\; lim\; ϵ\; \to \; 0\; +\; \int \; e\; i\; \varphi \; (x,\; \xi )\; a\; (x,\; \xi )\; e\; -\; ϵ\; |\; \xi \; |\; 2/2\; d\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; epsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\; (x,\; \backslash \; xi)\}\; \backslash ,\; a\; (x,\; \backslash \; xi)\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; epsilon\; |\; \backslash \; xi\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi\}$

где предел взят в смысле умеренных распределений. Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел четко определен и что существует дифференциальный оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$такой, что результирующее распределение $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$действует на любой $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$в пространстве Шварца задано по формуле

$⟨е,\; \psi ⟩\; =\; \int \; ei\; \varphi \; (x,\; \xi )\; L\; (a\; (x,\; \xi )\; \psi \; (x))\; dxd\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; phi\; (x,\; \backslash \; xi)\}\; L\; \backslash \; left\; (a\; (x,\; \backslash \; xi)\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi\}$

где этот интеграл абсолютно сходится. Оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, чтобы он зависел только от фазовой функции $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, порядок $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$символа $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$. Фактически, для любого целого числа $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$можно найти оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, так что подынтегральное выражение выше ограничено по $C\; (1\; +\; |\; \xi \; |)\; -\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (1+\; |\; \backslash \; xi\; |)\; ^\; \{-\; M\}\}$для $|\; \xi \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; xi\; |\}$достаточно большой. Это основная цель определения классов символов .

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

1) Теорема обращения Фурье подразумевает, что дельта-функция, $\delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (x)\}$равно

$1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; R\; neix\; \cdot \; \xi \; d\; \xi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; \backslash \; xi.\}$

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссиана, мы получим хорошо известную последовательность функций, которые аппроксимируют дельта-функцию:

$\delta \; (x)\; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; +\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; R\; neix\; \cdot \; \xi \; e\; -\; \epsilon \; |\; \xi \; |\; 2/2\; d\; \xi \; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; +\; 1\; (2\; \pi \; \epsilon )\; n\; e\; -\; |\; х\; |\; 2\; /\; (2\; \epsilon ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; varepsilon\; |\; \backslash \; xi\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\; ^\; \{\; +\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\}\})\; ^\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; |\; x\; |\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \backslash \; varepsilon)\}.\}$

Оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$в этом случае задается, например, как

$L\; =\; (1\; -\; \Delta \; x)\; k\; (1\; +\; |\; \xi \; |\; 2)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1-\; \backslash \; Delta\; \_\; \{x\})\; ^\; \{k\}\}\; \{(1+\; |\; \backslash \; xi\; |\; ^\; \{2\})\; ^\; \{k\}\}\}\}$

где $\Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{x\}\}$- лапласиан по отношению к переменным $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, а $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- любое целое число больше $(n\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)\; /\; 2\}$. Действительно, с этим $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$мы имеем

$⟨\delta ,\; \psi ⟩\; =\; \psi \; (0)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; R\; neix\; \cdot \; \xi \; L\; (\psi )\; (Икс,\; \xi )\; d\; \xi \; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; delta,\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; psi\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; L\; (\backslash \; psi)\; (x,\; \backslash \; xi)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x,\}$

, и этот интеграл абсолютно сходится.

2) Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде колебательного интеграла. Действительно, если

$L\; =\; \sum \; |\; \alpha \; |\; \le \; mp\; \alpha \; (Икс)\; D\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{|\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; leq\; m\}\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (x)\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

где $D\; \alpha \; =\; \partial \; x\; \alpha \; /\; i\; |\; \alpha \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; /\; i\; ^\; \{|\; \backslash \; alpha\; |\}\}$, затем ядро ​​$L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \}$определяется как

$1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; R\; nei\; \xi \; \cdot \; (x\; -\; y)\; \sum \; |\; \alpha \; |\; \le \; m\; p\; \alpha \; (x)\; \xi \; \alpha \; d\; \xi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; xi\; \backslash \; cdot\; (xy)\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; пределы\; \_\; \{|\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; leq\; m\}\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; xi\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; xi.\}$

Любое лагранжево распределение может быть представлено локально осциллирующими интегралами (см. Hörmander (1983)). Наоборот, любой осциллирующий интеграл является лагранжевым распределением. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

В Викицитаторе есть цитаты, относящиеся к: Колебательный интеграл

• лемма Римана – Лебега
• лемма ван дер Корпута

• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными IV, Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander, Lars (1971), " Интегральные операторы Фурье I ", Acta Math., 127 : 79–183, doi :10.1007/bf02392052