Тип заказа

редактировать

Тип изоморфизма упорядоченных множеств

В математике, особенно в теории множеств, два упорядоченных множества X и Y, как говорят, имеют один и тот же тип порядка, если они изоморфны по порядку, то есть если существует биекция (каждый элемент соответствует точно одному в другом наборе) $f: X → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to Y}$ $f \ двоеточие X \ to Y$ таким образом, что и f, и его обратный являются монотонными (с сохранением порядков элементов). В частном случае, когда X полностью упорядочен, монотонность f подразумевает монотонность его обратного.

Например, набор из целых и набор четных целых чисел имеют один и тот же тип порядка, потому что отображение $n ↦ 2 n {\ displaystyle n \ mapsto 2n}$ ${\ displaystyle n \ mapsto 2n}$ - биекция, сохраняющая порядок. Но набор целых чисел и набор рациональных чисел (со стандартным порядком упорядочения) не имеют одного и того же типа порядка, потому что даже если наборы имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), между ними нет сохраняющего порядок биективного отображения. К этим двум типам порядка мы можем добавить еще два: набор положительных целых чисел (который имеет наименьший элемент) и набор отрицательных целых чисел (который имеет наибольший элемент). Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел по порядку изоморфен рациональным числам (так как, например, $f (x) = 2 x - 1 1 - | 2 x - 1 | {\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {2x-1} {1- \ vert {2x-1} \ vert}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {2x-1} {1- \ vert {2x-1 } \ vert}}}$ - строго возрастающая биекция от первого ко второму); рациональные числа, содержащиеся в полузакрытых интервалах [0,1) и (0,1], а также в закрытом интервале [0,1], являются тремя дополнительными примерами типа порядка.

Поскольку эквивалентность порядка является отношение эквивалентности, оно разделяет класс всех упорядоченных наборов на классы эквивалентности.

Содержание

1 Тип порядка хорошо упорядоченных
2 Рациональные числа
3 Обозначение
4 См. Также
5 Внешние ссылки
6 Ссылки

Тип упорядочивания хороших номеров

Три хороших порядка на множестве натуральных чисел с различные типы порядка (сверху вниз):

ω {\ displaystyle \ omega}

\ omega

ω + 5 {\ displaystyle \ omega +5}

{\ displaystyle \ omega +5}

ω + ω {\ displaystyle \ omega + \ omega}

\ омега + \ omega

Каждый упорядоченный набор по порядку эквивалентен ровно одному порядковому номеру. Порядковые номера считаются каноническими представителями своих классов, поэтому тип порядка упорядоченного множества обычно идентифицируется с соответствующим порядковым номером. Например, порядок тип натуральных чисел - ω.

. Тип порядка упорядоченного множества V иногда выражается как ord (V).

Например, рассмотрим множество V из четных порядковых чисел меньше чем ω ⋅ 2 + 7:

V = {0, 2, 4,…; ω, ω + 2, ω + 4,…; ω ⋅ 2, ω ⋅ 2 + 2, ω ⋅ 2 + 4, ω ⋅ 2 + 6}. {\ Displaystyle V = \ {0,2,4, \ ldots; \ omega, \ omega +2, \ omega +4, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2 + 4, \ omega \ cdot 2 + 6 \}.}

{\ displaystyle V = \ {0,2,4, \ ldots; \ omega, \ omega +2, \ omega +4, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2 + 4, \ omega \ cdot 2 + 6 \}.}

Тип его порядка:

ord ⁡ (V) = ω ⋅ 2 + 4 = {0, 1, 2,…; ω, ω + 1, ω + 2,…; ω ⋅ 2, ω ⋅ 2 + 1, ω ⋅ 2 + 2, ω ⋅ 2 + 3}, {\ displaystyle \ operatorname {ord} (V) = \ omega \ cdot 2 + 4 = \ {0,1,2, \ ldots; \ omega, \ omega +1, \ omega +2, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 1, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2 + 3 \ },}

{\ displaystyle \ Operatorname {ord} (V) = \ omega \ cdot 2 + 4 = \ {0,1,2, \ ldots; \ omega, \ omega +1, \ omega +2, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 1, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2 + 3 \},}

потому что есть 2 отдельных списка подсчета и 4 последовательных в конце.

Рациональные числа

Любой исчисляемый полностью упорядоченный набор может быть инъективно преобразован в рациональные числа способом, сохраняющим порядок. Любое плотное счетное полностью упорядоченное множество без высшего и без наименьшего элемента может быть биективно отображено на рациональные числа способом, сохраняющим порядок.

Обозначение

Тип порядка рациональных значений обычно обозначается $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ . Если набор S имеет тип заказа $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , тип заказа двойного элемента S (обратный порядок) обозначается $σ ∗ {\ displaystyle \ sigma ^ {*}}$ $\ sigma ^ {*}$ .

См. также

Хороший порядок

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Тип заказа». MathWorld.

Ссылки