Войти
A нецелочисленное представление использует не целые числа в виде системы счисления или оснований позиционной системы счисления. Для нецелого основания β>1 значение
равно
Числа d i являются неотрицательными целыми числами меньше β. Это также известно как β-расширение, понятие, введенное Реньи (1957) и впервые подробно изученное Парри (1960). Каждое действительное число имеет хотя бы одно (возможно, бесконечное) β-расширение. Множество всех β-расширений, которые имеют конечное представление, является подмножеством кольца Z[β, β].
В теории кодирования (Kautz 1965) и модели квазикристаллов (Burdik et al. 1998 ; Thurston 1989).
β-расширения являются обобщением десятичных разложений. Хотя бесконечные десятичные разложения не уникальны (например, 1.000... = 0,999... ), все конечные десятичные разложения уникальны. Однако даже конечные β-расширения не обязательно уникальны, например φ + 1 = φ для β = φ, золотое сечение. Канонический выбор для β-разложения данного действительного числа может быть определен с помощью следующего жадного алгоритма, в основном из-за Реньи (1957) и сформулированного, как здесь, Фруни (1992).
Пусть β>1 - основание, а x - неотрицательное действительное число. Обозначим через ⌊x⌋ нижнюю функцию от x, то есть наибольшее целое число, меньшее или равное x, и пусть {x} = x - ⌊x⌋ будет дробной частью x. Существует целое число k такое, что β ≤ x < β. Set
и
Для k - 1 ≥ j>−∞ положим
Другими словами, каноническое β-расширение x определяется путем выбора наибольшего d k такого, что βd k ≤ x, а затем выбора наибольшего d k − 1 такого, что βd k + βd k − 1 ≤ x и т. Д. Таким образом, он выбирает лексикографически наибольшую строку, представляющую x.
С целочисленным основанием это определяет обычное расширение системы счисления для числа x. Эта конструкция расширяет обычный алгоритм на, возможно, нецелые значения β.
База √2 ведет себя очень похоже на основание 2, как и все остальные to do для преобразования числа из двоичного в основание √2 ставится нулевая цифра между каждой двоичной цифрой; например, 1911 10 = 11101110111 2 становится 101010001010100010101 √2, а 5118 10 = 1001111111110 2 становится 1000001010101010101010100 √2. Это означает, что каждое целое число может быть выражено с основанием √2 без десятичной точки. Основание также можно использовать для отображения отношения между стороной квадрата и его диагональю в виде квадрата со стороной 1 √ 2 будет иметь диагональ 10 √2, а квадрат со стороной 10 √2 будет иметь диагональ 100 √2. Другое использование основания - показать соотношение серебра , поскольку его представление в базе √2 просто 11 √2. Кроме того, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны 1 √2 равна 1100 √2, площадь правильного восьмиугольника со стороной 10 √2 составляет 110000 √2, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны 100 √2 равна 11000000 √2 и т. Д.
В золотом основании некоторые числа имеют более одного эквивалента десятичного основания: они неоднозначны . Например: 11 φ = 100 φ.
101 ψ = 1000 ψ
С основанием e натуральный логарифм ведет себя как десятичный логарифм, поскольку ln (1 e) = 0, ln (10 e) = 1, ln (100 e) = 2 и ln (1000 e) = 3.
Основание e является наиболее экономичным выбором системы счисления β>1. (Hayes 2001), где основание системы счисления измеряется как произведение системы счисления и длины строки символов, необходимых для выражения заданного диапазона значений.
Основание π можно использовать для более простого отображения взаимосвязи между диаметром круга круга и его окружность, которая соответствует его периметру ; так как окружность = диаметр × π, круг диаметром 1 π будет иметь длину окружности 10 π, круг диаметром 10 π будет иметь окружность 100 π и т.д. Кроме того, поскольку площадь = π × радиус, круг с радиусом 1 π будет имеют площадь 10 π, круг с радиусом 10 π будет иметь площадь 1000 π, а круг с радиусом 100 π будет иметь площадь 100000 π.
Ни в одной позиционной системе счисления каждое число не может быть выражено однозначно. Например, в десятичной системе счисления число 1 имеет два представления: 1.000... и 0.999.... Набор чисел с двумя различными представлениями плотен в вещественных числах (Petkovšek 1990), но вопрос классификации действительных чисел с помощью уникальных β-разложений значительно более тонкий, чем вопрос целочисленных основы (Глендиннинг и Сидоров 2001).
Другая проблема - классифицировать действительные числа, β-разложения которых являются периодическими. Пусть β>1 и Q (β) будет наименьшим расширением поля рациональных чисел, содержащих β. Тогда любое действительное число в [0,1), имеющее периодическое β-разложение, должно лежать в Q (β). С другой стороны, обратное не обязательно. Обратное верно, если β является числом Пизо (Schmidt 1980), хотя необходимые и достаточные условия не известны.
