Махавира (математик)

Махавира (или Махавирачарья, «Махавира Учитель») был математиком - джайном 9-го века, возможно, родившимся в современном городе Майсур на юге Индии или недалеко от него. Он является автором Ганитасарасанаграхи ( Ганита Сара Санграха) или Компендиума по сути математики в 850 году нашей эры. Ему покровительствовал царь Раштракуты Амогхаварша. Он отделил астрологию от математики. Это самый ранний индийский текст, полностью посвященный математике. Он разъяснил те же вопросы, по которым спорили Арьябхата и Брахмагупта, но выразил их более ясно. Его работа представляет собой сильно синкопированный подход к алгебре, и в большей части его текста акцент делается на разработке методов, необходимых для решения алгебраических задач. Он пользуется большим уважением среди индийских математиков из-за его создания терминологии для таких понятий, как равносторонний и равнобедренный треугольник; ромб; круг и полукруг. Известность Махавиры распространилась по всей Южной Индии, и его книги оказались источником вдохновения для других математиков Южной Индии. Она была переведена на язык телугу по Павулери Маллана как Saara Санграха Ganitamu.

Он открыл алгебраические тождества типа a ³ = a ( a + b ) ( a - b ) + b ² ( a - b ) + b ³. Он также нашел формулу для ⁿ C r как [ n ( n - 1) ( n - 2)... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2)... 2 * 1]. Он разработал формулу, которая аппроксимирует площадь и периметр эллипсов, и нашел методы вычисления квадрата числа и кубических корней числа. Он утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует.

• 1 Правила разложения на дроби
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 ссылки

В « Ганита-сара-самграха» Махавиры даны систематические правила выражения дроби как суммы долей единицы. Это следует за использованием единичных дробей в индийской математике в ведический период и Шульба сутры, дающей приближение √ 2, эквивалентное. ${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}}}$

В « Ганита-сара-самграха» ( ОСШ) второй раздел главы, посвященный арифметике, называется кала-саварша-вьявахара (букв. «Операция сокращения дробей»). В этом разделе бхагаджати (стихи 55–98) приводятся следующие правила:

• Чтобы выразить 1 как сумму n долей единиц (GSS kalāsavarṇa 75, примеры на 76):

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Когда результат равен единице, знаменатели величин, имеющих единицу в числителе, - это [числа], начинающиеся с единицы и умноженные на три по порядку. Первое и последнее умножаются на две и две трети [соответственно].

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ dots + {\ гидроразрыв {1} {3 ^ {n-2}}} + {\ frac {1} {{\ frac {2} {3}} \ cdot 3 ^ {n-1}}}}$

• Чтобы выразить 1 как сумму нечетного числа долей единицы (GSS kalāsavarṇa 77):

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 1/2}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 1/2}} + \ dots + {\ frac { 1} {(2n-1) \ cdot 2n \ cdot 1/2}} + {\ frac {1} {2n \ cdot 1/2}}}$

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму n других дробей с заданными числителями (GSS kalāsavarṇa 78, примеры на 79): ${\ displaystyle 1 / q}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {a_ {1}} {q (q + a_ {1})}} + {\ frac {a_ {2}} {(q + a_ {1}) (q + a_ {1} + a_ {2})}} + \ dots + {\ frac {a_ {n-1}} {(q + a_ {1} + \ dots + a_ {n- 2}) (q + a_ {1} + \ dots + a_ {n-1})}} + {\ frac {a_ {n}} {a_ {n} (q + a_ {1} + \ dots + a_ {n-1})}}}$

• Чтобы выразить любую дробь как сумму единичных дробей (GSS kalāsavarṇa 80, примеры в 81): ${\ displaystyle p / q}$

Выберите целое число i такое, что это целое число r, затем напишите ${\ Displaystyle {\ tfrac {д + я} {р}}}$

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {1} {r}} + {\ frac {i} {r \ cdot q}}}$

и повторить процесс для второго члена рекурсивно. (Обратите внимание, что если i всегда выбирается как наименьшее такое целое число, это идентично жадному алгоритму для египетских дробей. )

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму двух других единичных дробей (GSS kalāsavarṇa 85, пример в 86):

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} = {\ frac {1} {p \ cdot n}} + {\ frac {1} {\ frac {p \ cdot n} {n-1}}} }$ где должно быть выбрано целое число (для которого должно быть кратно). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ frac {p \ cdot n} {n-1}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {a \ cdot b}} = {\ frac {1} {a (a + b)}} + {\ frac {1} {b (a + b)}}}$

• Чтобы выразить дробь как сумму двух других дробей с заданными числителями и (GSS kalāsavarṇa 87, пример в 88): ${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {a} {{\ frac {ai + b} {p}} \ cdot {\ frac {q} {i}}}} + {\ гидроразрыв {b} {{\ frac {ai + b} {p}} \ cdot {\ frac {q} {i}} \ cdot {i}}}}$ где должно быть выбрано такое, что делит ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle ai + b}$

Некоторые дополнительные правила были приведены в Gaṇita-kaumudi из Нараяны в 14 - м веке.

• Список индийских математиков

• Бибхутибхусан Датта и Авадхеш Нараян Сингх (1962). История индуистской математики: Справочник.
• Пингри, Дэвид (1970). «Махавира». Словарь научной биографии. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN   978-0-684-10114-9. (Доступно, наряду со многими другими статьями из других энциклопедий для других Махавир, в Интернете. )
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах, Springer, Bibcode : 2008ehst.book..... S, ISBN   978-1-4020-4559-2
• Хаяси, Такао (2013), «Махавира», Британская энциклопедия
• О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), "Махавира", архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс.
• Табак, Джон (2009), Алгебра: множества, символы и язык мысли, публикация информационной базы, ISBN   978-0-8160-6875-3
• Кребс, Роберт Э. (2004), Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия средневековья и эпохи Возрождения, издательство Greenwood Publishing Group, ISBN   978-0-313-32433-8
• Путтасвами, Т.К. (2012), Математические достижения до-современных индийских математиков, Newnes, ISBN   978-0-12-397938-4
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разбиения на дроби», у Чарльза Бернетта; Ян П. Хогендейк; Ким Плофкер ; и другие. (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри, Брилл, ISBN   9004132023, ISSN   0169-8729