Магнитное число Рейнольдса

редактировать

Магнитное число Рейнольдса ( R м ) представляет собой магнитный аналог числа Рейнольдса, фундаментальной безразмерной группы, которая происходит в магнитогидродинамики. Он дает оценку относительного воздействия адвекции или индукции магнитного поля за счет движения проводящей среды, часто жидкости, на магнитную диффузию. Обычно это определяется:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} ~~ \ sim {\ frac {\ mathrm {индукция}} {\ mathrm {диффузия}}} }

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} ~~ \ sim {\ frac {\ mathrm {индукция}} {\ mathrm {диффузия}}} }

где

${\ displaystyle U}$ $U$ типичный масштаб скорости потока
${\ displaystyle L}$ $L$ - типичный масштаб длины потока
${\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ это коэффициент магнитной диффузии

Механизм, с помощью которого движение проводящей жидкости создает магнитное поле, является предметом теории динамо. Однако, когда магнитное число Рейнольдса очень велико, диффузия и динамо не вызывают беспокойства, и в этом случае вместо этого основное внимание уделяется влиянию магнитного поля на поток.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Вывод
2 Общие характеристики для больших и малых R м
3 Диапазон значений
4 границы
5 Связь с числом Рейнольдса и числом Пекле
6 Связь с вихретоковым торможением
7 См. Также
8 ссылки
9 Дальнейшее чтение

Вывод

${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ широко используется в физике плазмы, где распространены два типа единиц ( гауссова CGS и SI MKS ), потому что гауссовские единицы cgs часто позволяют более чистые выводы, из которых физическое обоснование более ясно, поэтому стоит записать вывод в оба набора единиц. В теории магнитогидродинамики уравнение переноса для магнитного поля имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e }} {\ mu _ {o}}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e }} {\ mu _ {o}}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}

в единицах СИ мкс и

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e } c ^ {2}} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e } c ^ {2}} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}

в гауссовых единицах cgs, для проницаемости свободного пространства, скорости света, скорости жидкости и удельного сопротивления. Единицами измерения являются Ом-м в СИ-мкс и секунды в гауссовых единицах измерения. Последний член в каждом из этих уравнений - это диффузионный член с кинематическим коэффициентом диффузии, имеющий единицы расстояния, возведенные в квадрат в единицу времени, являющийся множителем, умножающим. Таким образом, независимая от единиц форма этих двух уравнений имеет вид ${\ displaystyle \ mu _ {o}}$ $\ mu _ {o}$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ rho _ {e}}$ $\ rho _ {e}$ ${\ displaystyle \ rho _ {e}}$ $\ rho _ {e}$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ ${\ Displaystyle \ набла ^ {2} \ mathbf {B}}$ ${\ Displaystyle \ набла ^ {2} \ mathbf {B}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}.}

${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ - это отношение двух членов в правой части при предположении, что они имеют общую длину шкалы, такую, что в обоих терминах, и что масштаб равен. Таким образом, можно найти ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ Displaystyle \ набла \ сим 1 / L}$ ${\ Displaystyle \ набла \ сим 1 / L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ ${\ displaystyle U}$ $U$

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {UL \ mu _ {o}} {\ rho _ {e}}} }

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {UL \ mu _ {o}} {\ rho _ {e}}} }

в единицах СИ мкс и

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {4 \ pi UL} {\ rho _ {e} c ^ {2} }}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} = {\ frac {4 \ pi UL} {\ rho _ {e} c ^ {2} }}}

в гауссовых единицах cgs.

Некоторая путаница часто возникает из-за того, что обычно используется как для коэффициента магнитной диффузии, так и для удельного сопротивления плазмы, причем соотношение в единицах СИ мкс является таковым. ${\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ ${\ displaystyle \ eta = \ rho _ {e} / \ mu _ {o}}$ ${\ displaystyle \ eta = \ rho _ {e} / \ mu _ {o}}$

Общие характеристики для больших и малых R м

Ведь адвекция относительно не важна, и поэтому магнитное поле будет стремиться релаксировать к чисто диффузионному состоянию, определяемому скорее граничными условиями, чем потоком. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ ll 1}$ ${\ mathrm {R}} _ {{\ mathrm {m}}} \ ll 1$

Для получения, диффузии относительно небольшое значение по длине шкалы L. Затем силовые линии магнитного поля адвектируются с потоком жидкости до тех пор, пока градиенты не концентрируются в областях с достаточно коротким масштабом длины, чтобы диффузия могла уравновесить адвекцию. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ gg 1}$ ${\ mathrm {R}} _ {{\ mathrm {m}}} \ gg 1$

Диапазон значений

Солнце огромное и имеет большое, порядка 10 ⁶. Диссипативные эффекты обычно невелики, и нет никаких трудностей в поддержании магнитного поля против диффузии. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

Для Земли оценивается порядка 10 ³. Диссипация более значительна, но магнитное поле поддерживается движением во внешнем сердечнике из жидкого железа. В солнечной системе есть другие тела, которые имеют работающие динамо, например, Юпитер, Сатурн и Меркурий, и другие тела, которые не имеют, например Марс, Венера и Луна. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

Человеческий масштаб длины очень мал, что обычно. Генерация магнитного поля движением проводящей жидкости была достигнута лишь в нескольких крупных экспериментах с использованием ртути или жидкого натрия. ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} \ ll 1}$ ${\ mathrm {R}} _ {{\ mathrm {m}}} \ ll 1$

Границы

В ситуациях, когда постоянное намагничивание невозможно, например, выше температуры Кюри, для поддержания магнитного поля должно быть достаточно большого, чтобы индукция перевешивала диффузию. Для индукции важна не абсолютная величина скорости, а скорее относительные различия и сдвиги в потоке, которые растягивают и складывают силовые линии магнитного поля. Поэтому более подходящей формой для магнитного числа Рейнольдса в этом случае является ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {L ^ {2} S} {\ eta}}}

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {L ^ {2} S} {\ eta}}}

где S - мера деформации. Один из наиболее известных результатов принадлежит Бэкусу, который утверждает, что минимум для генерации магнитного поля потоком в сфере таков, что ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} \ geq \ pi ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} \ geq \ pi ^ {2}}

где - радиус сферы, - максимальная скорость деформации. С тех пор Проктор улучшил эту границу примерно на 25%. ${\ Displaystyle L = а}$ ${\ Displaystyle L = а}$ ${\ displaystyle S = e_ {max}}$ ${\ displaystyle S = e_ {max}}$

Во многих исследованиях генерации магнитного поля потоком рассматривается удобный в вычислительном отношении периодический куб. В этом случае минимум оказывается

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = 2,48}

{\ displaystyle \ mathrm {\ hat {R}} _ {\ mathrm {m}} = 2,48}

где - среднеквадратичная деформация в масштабированной области со сторонами длины. Если исключается срезание по мелким масштабам в кубе, то - минимум, где - среднеквадратичное значение. ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ пи$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = 1,73}$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = 1,73}$ ${\ displaystyle U}$ $U$

Связь с числом Рейнольдса и числом Пекле

Магнитное число Рейнольдса имеет форму, аналогичную числу Пекле и числу Рейнольдса. Все три могут рассматриваться как дающие отношение адвективных к диффузионным эффектам для конкретного физического поля и имеют аналогичную форму скорости, умноженной на длину, деленную на коэффициент диффузии. Магнитное число Рейнольдса связано с магнитным полем в МГД-потоке, в то время как число Рейнольдса связано с самой скоростью жидкости, а число Пекле связано с теплотой. Группы безразмерные возникают в не-dimensionalization соответствующих регулирующих уравнений, то уравнение индукции, то уравнение импульса, и уравнение теплопроводности.

Связь с вихретоковым торможением

Безразмерное магнитное число Рейнольдса также используется в случаях, когда физическая жидкость не используется. ${\ displaystyle R_ {m}}$ $R_m$

{\ Displaystyle R_ {m} = \ mu \ sigma}

R_ {m} = \ mu \ sigma

× (характерная длина) × (характерная скорость)

где

{\ displaystyle \ mu}

\ му

магнитная проницаемость

{\ displaystyle \ sigma}

\сигма

- электропроводность.

Для получения в скин - эффекта можно пренебречь, и вихретоковый тормозного момента следует теоретическую кривую асинхронного двигателя. ${\ displaystyle R_ {m} lt;1}$ $R_ {m} lt;1$

Поскольку преобладает скин-эффект, и тормозной момент уменьшается с увеличением скорости намного медленнее, чем предсказывается моделью асинхронного двигателя. ${\ displaystyle R_ {m}gt; 30}$ $R_ {m}gt; 30$

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Моффатт, Х. Кейт, 2000, " Размышления о магнитогидродинамике ". В: Перспективы динамики жидкости ( ISBN 0-521-53169-1 ) (под ред. Г. К. Бэтчелора, Х. К. Моффатта и М. Г. Уорстера) Cambridge University Press, стр. 347–391.
PA Davidson, 2001, Введение в магнитогидродинамику ( ISBN 0-521-79487-0 ), Cambridge University Press.