Скаляр Лоренца

В релятивистской теории в физике, А скалярная Лоренца представляет собой выражение, формируется с позиций теории, которая вычисляется в скаляр, инвариантный при любых преобразованиях Лоренца. Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или из сжимающих тензоров теории. В то время как компоненты векторов и тензоров, как правило, изменяются при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.

Скаляр Лоренца не всегда сразу рассматривается как инвариантный скаляр в математическом смысле, но результирующее скалярное значение инвариантно при любом преобразовании базиса, применяемом к векторному пространству, на котором основана рассматриваемая теория. Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского - это пространственно-временное расстояние («длина» их разности) двух фиксированных событий в пространстве-времени. В то время как «позиционные» -4-векторы событий меняются между различными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается неизменным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. Ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности, которая является сжатием тензора кривизны Римана там.

• 1 Простые скаляры в специальной теории относительности
  • 1.1 Длина вектора положения
  • 1.2 Длина вектора скорости
  • 1.3 Внутреннее произведение ускорения и скорости
• 2 Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость из 4-импульса
  • 2.1 Измерение энергии частицы
  • 2.2 Измерение массы покоя частицы
  • 2.3 Измерение 3-импульса частицы
  • 2.4 Измерение 3-х скоростей частицы
• 3 Более сложные скаляры
• 4 ссылки

Длина вектора положения

Мировые линии для двух частиц с разной скоростью.

В специальной теории относительности положение частицы в 4-мерном пространстве - времени дается формулой

${\ Displaystyle х ^ {\ му} = (ct, \ mathbf {x})}$

где - положение частицы в трехмерном пространстве, - скорость в трехмерном пространстве и - скорость света. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {v} t}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle c}$

«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением

${\ displaystyle x _ {\ mu} x ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} = (ct) ^ {2} - \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (c \ tau) ^ {2}}$

где - собственное время, измеренное часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется выражением ${\ Displaystyle \ тау}$

${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; -1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \ end {pmatrix} }}$.

Это показатель времени.

Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского, в которой знаки единиц меняются местами.

${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} -1 amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {pmatrix}}}$.

Это метрика, подобная пространству.

В метрике Минковского пространственноподобный интервал определяется как ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle x _ {\ mu} x ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} - (ct) ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ s ^ {2}}$.

В оставшейся части статьи мы будем использовать пространственно-подобную метрику Минковского.

Длина вектора скорости

Векторы скорости в пространстве-времени для частицы с двумя разными скоростями. В теории относительности ускорение эквивалентно вращению в пространстве-времени.

Скорость в пространстве-времени определяется как

${\ displaystyle v ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {dx ^ {\ mu} \ over d \ tau} = \ left (c {dt \ over d \ tau }, {dt \ over d \ tau} {d \ mathbf {x} \ over dt} \ right) = \ left (\ gamma c, \ gamma {\ mathbf {v}} \ right) = \ gamma \ left ( c, {\ mathbf {v}} \ right)}$

где

${\ displaystyle \ gamma \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {1 \ over {\ sqrt {1 - {{\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}} \ over c ^ {2}}}}}}$.

Величина 4-скорости является скаляром Лоренца,

${\ Displaystyle v _ {\ mu} v ^ {\ mu} = - c ^ {2} \,}$.

Следовательно, c - скаляр Лоренца.

Внутренний продукт ускорения и скорости

4-ускорение определяется выражением

${\ displaystyle a ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {dv ^ {\ mu} \ over d \ tau}}$.

4-х скоростное ускорение всегда перпендикулярно 4-х скоростному.

${\ displaystyle 0 = {1 \ over 2} {d \ over d \ tau} \ left (v _ {\ mu} v ^ {\ mu} \ right) = {dv _ {\ mu} \ over d \ tau} v ^ {\ mu} = a _ {\ mu} v ^ {\ mu}}$.

Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение - просто выражение сохранения энергии:

${\ displaystyle {dE \ over d \ tau} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v}}$

где - энергия частицы, а - 3-сила, действующая на частицу. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

4-импульс частицы равен

${\ Displaystyle p ^ {\ mu} = mv ^ {\ mu} = \ left (\ gamma mc, \ gamma m \ mathbf {v} \ right) = \ left (\ gamma mc, \ mathbf {p} \ right) = \ left ({E \ over c}, \ mathbf {p} \ right)}$

где - масса покоя частицы, - импульс в трехмерном пространстве, и ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle E = \ gamma mc ^ {2} \,}$

это энергия частицы.

Измерение энергии частицы

Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростями и 3-скоростями. В системе покоя второй частицы внутренний продукт с пропорционален энергии первой частицы ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p _ {\ mu} u ^ {\ mu} = - {E_ {1}}}$

где нижний индекс 1 указывает на первую частицу.

Поскольку отношение истинно в системе отсчета второй частицы, оно верно в любой системе отсчета., энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы является скаляром Лоренца. Следовательно, ${\ displaystyle E_ {1}}$

${\ displaystyle {E_ {1}} = \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} m_ {1} c ^ {2} - \ gamma _ {2} \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf {u} _ {2}}$

в любой инерциальной системе отсчета, где по-прежнему остается энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы. ${\ displaystyle E_ {1}}$

Измерение массы покоя частицы

В системе покоя частицы внутреннее произведение импульса равно

${\ displaystyle p _ {\ mu} p ^ {\ mu} = - (mc) ^ {2} \,}$.

Следовательно, масса покоя (m) является скаляром Лоренца. Отношение остается истинным независимо от кадра, в котором вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается так, чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая равна ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ gamma m_ {0}}$

Измерение 3-импульса частицы

Обратите внимание, что

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p _ {\ mu} u ^ {\ mu}} {c}} \ right) ^ {2} + p _ {\ mu} p ^ {\ mu} = {E_ {1 } ^ {2} \ over c ^ {2}} - (mc) ^ {2} = \ left (\ gamma _ {1} ^ {2} -1 \ right) (mc) ^ {2} = \ gamma _ {1} ^ {2} {\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1}} m ^ {2} = \ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf { p} _ {1}}$.

Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчета второй частицы, является скаляром Лоренца.

Измерение 3-х скоростей частицы

Трехскоростная в рамках второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца.

${\ displaystyle v_ {1} ^ {2} = \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {1} = {{\ mathbf {p} _ {1} \ cdot \ mathbf {p } _ {1}} \ over {E_ {1} ^ {2}}} c ^ {4}}$.

Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (например,) или комбинаций сжатий тензоров и векторов (например,). ${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}$${\ Displaystyle г _ {\ му \ ню} х ^ {\ му} х ^ {\ ню}}$

• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN   0-7167-0344-0.
• Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN   0-08-018176-7.