Линейная динамическая система

редактировать

Линейные динамические системы - это динамические системы, функции оценки которых являются линейными. Хотя динамические системы, как правило, не имеют решений в замкнутой форме, линейные динамические системы могут быть решены точно, и они обладают богатым набором математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания качественного поведения общих динамических систем путем вычисления точек равновесия системы и аппроксимации ее как линейной системы вокруг каждой такой точки.

Содержание

1 Введение
2 Решение линейных динамических систем
3 Классификация в двух измерениях
4 См. Также

Введение

В линейной динамической системе изменение вектора состояния ( $N {\ displaystyle N}$ $N$ -мерный вектор, обозначенный $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ ) равняется постоянной матрице (обозначается $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ ), умноженной на $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ . Этот вариант может принимать две формы: либо как поток, в котором $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ непрерывно изменяется со временем

ddtx (t) Знак равно A ⋅ x (t) {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} (t)}

{\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} (t)

или как отображение, в котором $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ изменяется с дискретными шагами

xm + 1 = A ⋅ xm {\ displaystyle \ mathbf { x} _ {m + 1} = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} _ {m}}

\ mathbf {x } _ {m + 1} = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {x} _ {m}

Эти уравнения линейны в следующем смысле: если $x (t) {\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ и $y (t) {\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ $\ mathbf {y} (t)$ являются двумя допустимыми решениями, то есть любые линейная комбинация двух решений, например, $z (t) = def α x (t) + β y (t) {\ displaystyle \ mathbf {z} (t) \ {\ stackrel { \ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha \ mathbf {x} (t) + \ beta \ mathbf {y} (t)}$ $\ mathbf {z} (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha \ mathbf {x} (t) + \ beta \ mathbf {y} (t)$ где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - любые два скаляра. Матрица $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда нелинейная система может быть решена точно заменой переменных на линейную систему. Более того, решения (почти) любой нелинейной системы могут быть хорошо аппроксимированы эквивалентной линейной системой вблизи ее неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решений является важным первым шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решение линейных динамических систем

Если начальный вектор $x 0 = defx (t = 0) {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} \ {\ stackrel { \ mathrm {def}} {=}} \ \ mathbf {x} (t = 0)}$ $\ mathbf {x} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ mathbf {x} (t = 0)$ выровнен по правому собственному вектору $rk {\ displaystyle \ mathbf { r} _ {k}}$ $\ mathbf {r} _ {k}$ из matrix $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , динамика проста

ddtx (T) знак равно A ⋅ rk = λ krk {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ лямбда _ {k} \ mathbf {r} _ {k}}

{\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ lambda _ {k} \ mathbf {r} _ {k }

где $λ k {\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ $\ lambda _ {k}$ - соответствующее собственное значение ; решение этого уравнения:

x (t) = rke λ kt {\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

\ mathbf { x} (t) = \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}

что может быть подтверждено заменой.

Если $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ диагонализуемый, то любой вектор в $N {\ displaystyle N}$ $N$ -мерное пространство может быть представлено линейной комбинацией правого и левого собственных векторов (обозначается $lk {\ displaystyle \ mathbf {l} _ {k}}$ $\ mathbf {l} _ {k}$ ) матрицы $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ .

x 0 = ∑ k = 1 N (lk ⋅ x 0) rk {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {l} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k}}

\ mathbf {x} _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {l} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r } _ {k}

Следовательно, общее решение для $x (t) {\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ представляет собой линейную комбинацию отдельных решений для правых собственных векторов

x (t) Знак равно ∑ К знак равно 1 N (LK ⋅ Икс 0) rke λ КТ {\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {l} _ { k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

\ mathbf {x} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {l} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}

Аналогичные соображения применимы к дискретным преобразованиям.

Классификация в двух измерениях

Линейная аппроксимация нелинейной системы: классификация 2D фиксированной точки по следу и определителю матрицы Якоби (линеаризация системы вблизи точки равновесия).

Корни характеристического многочлена det (A - λ I ) являются собственными значениями A . Знак и отношение этих корней, $λ n {\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ $\ lambda _ {n}$ друг к другу, могут использоваться для определения устойчивости динамической системы

ddtx (t) = A x (t). {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t).}

{\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t).

Для двумерной системы характеристический многочлен имеет вид $λ 2 - τ λ + Δ = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} - \ tau \ lambda + \ Delta = 0}$ $\ lambda ^ {2} - \ tau \ lambda + \ Delta = 0$ где $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - это след, а $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ - определитель для A . Таким образом, два корня имеют вид:

λ 1 = τ + τ 2 - 4 Δ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {\ tau + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}}}

\ lambda _ {1} = {\ frac {\ tau + {\ sqrt {\ tau ^ {2} - 4 \ Delta}}} {2}}

λ 2 = τ - τ 2-4 Δ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2} = {\ frac {\ tau - {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}}}

\ lambda _ {2} = {\ frac {\ tau - {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta }}} {2}}

и $Δ = λ 1 λ 2 {\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ $\ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}$ и $τ = λ 1 + λ 2 {\ displaystyle \ tau = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ $\ tau = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}$ . Таким образом, если $Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0}$ $\ Delta <0$ , то собственные значения имеют противоположный знак, и неподвижная точка является седлом. Если $Δ>0 {\ displaystyle \ Delta>0}$ $\Delta>0$ , то собственные значения одного знака. Следовательно, если $τ>0 {\ displaystyle \ tau>0}$ $\ tau>0$ оба положительные и точка нестабильна, и если $τ < 0 {\displaystyle \tau <0}$ $\ tau <0$ то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант сообщит вам, является ли точка узловой или спиральной (т. Е. Действительными или комплексными собственными значениями).

См. Также