Лифт Косманна

редактировать

В дифференциальной геометрии, лифт Косманна, названный в честь Иветт Косманн -Шварцбах векторного поля $X {\ displaystyle X \,}$ $X \,$ на римановом многообразии $(M, g) {\ displaystyle (M, g) \,}$ ${\ displaystyle (M, g) \,}$ - каноническая проекция $XK {\ displaystyle X_ {K} \,}$ ${\ displaystyle X_ {K} \,}$ на ортонормированный набор кадров его естественного лифт $X ^ {\ displaystyle {\ hat {X}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}} \,}$ , определенный на связке линейных фреймов.

Существуют обобщения для любого данного редуктивного G- структура.

Содержание

1 Введение
2 Определение
3 См. также
4 Примечания
5 Ссылки

Введение

В общем, для подгруппы $Q ⊂ E {\ displaystyle Q \ subset E \,}$ ${\ displaystyle Q \ subset E \,}$ из пучка волокон $π E: E → M {\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие E \ to M \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {E} \ двоеточие E \ to M \,}$ над $M {\ displaystyle M}$ $M$ и векторное поле $Z {\ displaystyle Z \,}$ $Z \,$ на $E {\ displaystyle E}$ $E$ , его ограничение $Z | Q {\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ ${\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ to $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ - векторное поле «вдоль» $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ не на (т. Е. Касательно) $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ . Если обозначить как $i Q: Q ↪ E {\ displaystyle i_ {Q} \ двоеточие Q \ hookrightarrow E}$ ${\ displaystyle i_ {Q} \ двоеточие Q \ hookrightarrow E}$ каноническое вложение, то $Z | Q {\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ ${\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ является разделом из пакета отката $i Q ∗ (TE) → Q {\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) \ to Q \,}$ ${\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) \ to Q \,}$ , где

i Q ∗ (TE) = {(q, v) ∈ Q × TE ∣ я (q) знак равно τ E (v)} ⊂ Q × TE, {\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) = \ {(q, v) \ in Q \ times TE \ mid i (q) = \ tau _ {E} (v) \} \ подмножество Q \ times TE, \,}

{\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) = \ {(q, v) \ in Q \ times TE \ mid i (q) = \ tau _ {E} (v) \} \ подмножество Q \ times TE, \,}

и $τ E: TE → E {\ displaystyle \ tau _ {E} \ двоеточие TE \ to E \,}$ ${\ displaystyle \ tau _ {E} \ двоеточие TE \ to E \,}$ - это касательный пучок пучка волокон $E {\ displaystyle E}$ $E$ . Предположим, что нам дано разложение Космана пучка откатов $i Q ∗ (TE) → Q {\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) \ to Q \,}$ ${\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) \ to Q \,}$ , такое, что

я Q * (TE) = TQ ⊕ M (Q), {\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) = TQ \ oplus {\ mathcal {M}} (Q), \,}

{\ displaystyle i_ {Q} ^ {\ ast} (TE) = TQ \ oplus { \ mathcal {M}} (Q), \,}

т.е. на каждом $q ∈ Q {\ displaystyle q \ in Q}$ $q \ in Q$ имеется $T q E = T q Q ⊕ M U, {\ Displaystyle T_ {q} E = T_ {q} Q \ oplus {\ mathcal {M}} _ {u} \,,}$ ${\ displaystyle T_ {q} E = T_ {q} Q \ oplus {\ mathcal {M}} _ {u} \,,}$ где $M u {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ - это векторное подпространство из $T q E {\ displaystyle T_ {q} E \,}$ ${\ displaystyle T_ {q} E \,}$ и мы предполагаем, что $M (Q) → Q {\ displaystyle {\ mathcal {M}} (Q) \ to Q \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (Q) \ to Q \,}$ , как векторный набор over $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ , называемый трансверсальным пучком разложения Космана . Отсюда следует, что ограничение $Z | Q {\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ ${\ displaystyle Z \ vert _ {Q} \,}$ to $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ разбивается на касательное векторное поле $ZK {\ displaystyle Z_ {K} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {K} \,}$ на $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ и поперечном векторном поле $ZG, {\ displaystyle Z_ {G}, \,}$ ${\ displaystyle Z_ {G}, \,}$ - часть векторного расслоения $M (Q) → Q. {\ displaystyle {\ mathcal {M}} (Q) \ to Q. \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (Q) \ to Q. \,}$

Определение

Пусть $FSO (M) → M {\ displaystyle \ mathrm {F} _ { SO} (M) \ to M}$ $\ mathrm F_ {SO} (M) \ to M$ быть ориентированным ортонормированным пучком фреймов ориентированного $n {\ displaystyle n}$ $n$ -мерного риманова многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ с заданной метрикой $g {\ displaystyle g \,}$ $g \,$ . Это основная $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (п) \,}$ -подгруппа $FM {\ displaystyle \ mathrm {F} M \,}$ ${\ mathrm F} M \,$ , касательная связка кадров линейных кадров над $M {\ displaystyle M}$ $M$ со структурной группой $GL (N, R) {\ Displaystyle {\ mathrm {G} \ mathrm {L}} (п, \ mathbb {R}) \,}$ ${\ displaystyle { \ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R}) \,}$ . По определению можно сказать, что нам дана классическая редуктивная $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (п) \,}$ -структура. Специальная ортогональная группа $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (п) \,}$ является редуктивной подгруппой Ли в $GL (n, R) {\ displaystyle {\ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R}) \,}$ ${\ displaystyle { \ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R}) \,}$ . Фактически, существует прямая сумма разложение $gl (n) = so (n) ⊕ m {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = {\ mathfrak {so}} (n) \ oplus {\ mathfrak {m}} \,}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (п) = {\ mathfrak {so}} (п) \ oplus {\ mathfrak {m}} \,}$ , где $gl (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) \,}$ - это алгебра Ли $GL (n, R) {\ displaystyle {\ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R}) \,}$ ${\ displaystyle { \ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R}) \,}$ , $so (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ( n) \,}$ - это алгебра Ли $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} ( n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (п) \,}$ и $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \,}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \,}$ - это $A d SO {\ displaystyle \ mathrm { Ad} _ {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} \,}$ -инвариантное векторное подпространство симметричных матриц, т.е. $плотина ⊂ m {\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ { a} {\ mathfrak {m}} \ subset {\ mathfrak {m}} \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {a} { \ mathfrak {m}} \ subset {\ mathfrak {m}} \,}$ для всех $a ∈ SO (n). {\ displaystyle a \ in {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n) \,.}$ ${\ displaystyle а \ ин {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (п) \,.}$

Пусть $i FSO (M): FSO (M) ↪ FM {\ displaystyle i _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} \ двоеточие \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ hookrightarrow \ mathrm {F} M}$ ${\ displaystyle i _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} \ двоеточие \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ hookrightarrow \ mathrm {F} M}$ каноническое вложение.

Затем можно доказать, что существует каноническое разложение Космана пучка откатов $i FSO (M) ∗ (TFM) → FSO (M) {\ displaystyle i_ { \ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} (T \ mathrm {F} M) \ to \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ Displaystyle я _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} (T \ mathrm {F} M) \ to \ mathrm {F} _ {SO} (M) }$ такой, что

я FSO (M) * (TFM) = TFSO (M) ⊕ M (FSO (M)), {\ displaystyle i _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} ( T \ mathrm {F} M) = T \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ oplus {\ mathcal {M}} (\ mathrm {F} _ {SO} (M)) \,,}

{\ Displaystyle я _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} (T \ mathrm {F} M) = T \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ oplus {\ mathcal {M}} (\ mathrm {F} _ {SO} (M)) \,,}

т.е. для каждого $u ∈ FSO (M) {\ displaystyle u \ in \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ имеется $T u FM = T U FSO (M) ⊕ M U, {\ Displaystyle T_ {u} \ mathrm {F} M = T_ {u} \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ oplus {\ mathcal {M}} _ { u} \,,}$ ${\ displaystyle T_ {u} \ mathrm {F } M = T_ {u} \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ oplus {\ mathcal {M}} _ {u} \,,}$ $M u {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ будучи th е волокно над $u {\ displaystyle u}$ $u$ из подгруппы $M (FSO (M)) → FSO (M) {\ displaystyle {\ mathcal {M }} (\ mathrm {F} _ {SO} (M)) \ to \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (\ mathrm {F} _ {SO} (M)) \ to \ math rm {F} _ {SO} (M)}$ из $i FSO (M) ∗ (VFM) → FSO (M) {\ displaystyle i _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} (V \ mathrm {F} M) \ to \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle i _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} ^ {\ ast} (V \ mathrm {F} M) \ to \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ . Здесь $VFM {\ displaystyle V \ mathrm {F} M \,}$ ${\ displaystyle V \ mathrm {F} M \,}$ - вертикальное подразделение $TFM {\ displaystyle T \ mathrm {F} M \,}$ ${\ displaystyle T \ mathrm {F} M \,}$ и на каждом $u ∈ FSO (M) {\ displaystyle u \ in \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ волокно $M u {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {u}}$ изоморфен векторному пространству симметричных матриц $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ .

Из приведенного выше канонического и эквивариантного разложения следует, что ограничение $Z | FSO (M) {\ displaystyle Z \ vert _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)}}$ ${\ displaystyle Z \ vert _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} }$ из $GL (n, R) {\ displaystyle {\ mathrm { G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {G} \ mathrm {L}} (n, \ mathbb {R})}$ -инвариантное векторное поле $Z {\ displaystyle Z \,}$ $Z \,$ на $FM {\ displaystyle \ mathrm {F} M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F} M}$ до $FSO (M) {\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ разбивается на $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n)}$ -инвариантное векторное поле $ZK {\ displaystyle Z_ {K} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {K} \,}$ на $FSO (M) {\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , называемое векторным полем Космана, связанным с $Z {\ displaystyle Z \,}$ $Z \,$ и поперечное векторное поле $ZG {\ displaystyle Z_ {G} \,}$ ${\ displaystyle Z_ {G} \,}$ .

В частности, для общего векторного поля $X {\ displaystyle X \,}$ $X \,$ на базовом коллекторе $(M, g) {\ displaystyle (M, g) \,}$ ${\ displaystyle (M, g) \,}$ , следует, что ограничение $X ^ | FSO (M) {\ displaystyle {\ hat {X}} \ vert _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}} \ vert _ {\ mathrm {F} _ {SO} (M)} \,}$ до $FSO (M) → M {\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ to M}$ $\ mathrm F_ {SO} (M) \ to M$ естественной подъемной силы $X ^ {\ displaystyle {\ hat {X}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}} \,}$ на $FM → M {\ displaystyle \ mathrm {F} M \ to M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F} M \ to M}$ разбивается на $SO (n) {\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n)}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {S} \ mathrm {O}} (n)}$ -инвариантное векторное поле $XK {\ displaystyle X_ {K} \,}$ ${\ displaystyle X_ {K} \,}$ на $FSO (M) {\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M)}$ , называется лифтом Космана из $X {\ displaystyle X \,}$ $X \,$ , и поперечное векторное поле $XG {\ displaystyle X_ {G} \,}$ ${\ displaystyle X_ {G} \,}$ .

См. также

Примечания

Ссылки

Кобаяси, Сошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
Коларж, Иван; Михор, Питер; Slovák, Jan (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF), Springer-Verlag, архивировано из исходного (PDF) 30 марта 2017 г., извлечено 4 июня 2011 г.
Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
Фатибене, Лоренцо ; Francaviglia, Mauro (2003), Natural and Gauge Natural Formalism for Classical Field Theories, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1703-2