Войти
Многогранник и его средняя сфера. Красные кружки - это границы сферических шапочек, внутри которых поверхность сферы видна из каждой вершины. 
Куб и двойной октаэдр с общей средней сферой В геометрии, средняя сфера или межсфера многогранника - это сфера, которая касается каждого ребра многогранника. То есть он касается любого заданного края ровно в одной точке. Не каждый многогранник имеет среднюю сферу, но для каждого многогранника существует комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник, у которого действительно есть срединная сфера.
Средняя сфера называется так, потому что для многогранников, которые имеют среднюю сферу, вписанная сфера (которая касается каждой грани многогранника) и описанная сфера (который касается каждой вершины) средняя сфера находится посередине между двумя другими сферами. Радиус средней сферы называется мидрадиусом.
равномерные многогранники, включая правильные, квазирегулярные и полуправильные многогранники и их двойники все имеют средние сферы. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и являются концентрическими.
Если O - середина многогранника P, то пересечение O с любым грань P - это круг. Окружности, образованные таким образом на всех гранях P, образуют систему окружностей на O, которые касаются именно тогда, когда грани, на которых они лежат, имеют общее ребро.
Двойственно, если v является вершиной P, то существует конус, вершина которого находится в v и который касается O по окружности; этот круг образует границу сферической крышки, внутри которой поверхность сферы видна из вершины. То есть круг - это горизонт средней сферы, если смотреть из вершины. Образованные таким образом окружности касаются друг друга именно тогда, когда вершины, которым они соответствуют, соединены ребром.
Если многогранник P имеет среднюю сферу O, то полярный многогранник относительно O также имеет O в качестве средней сферы. Плоскости граней полярного многогранника проходят через окружности на O, которые касаются конусов с вершинами P в качестве вершин.
Одна более сильная форма окружности Теорема упаковки о представлении плоских графов системами касательных окружностей утверждает, что любой многогранный граф может быть представлен многогранником с серединой сферы. Круги горизонта канонического многогранника могут быть преобразованы с помощью стереографической проекции в набор кругов в евклидовой плоскости, которые не пересекаются друг с другом и касаются друг друга точно при соответствующие им вершины смежны. Напротив, существуют многогранники, которые не имеют эквивалентной формы с вписанной или описанной сферой.
Любые два многогранника с одинаковой решеткой граней и одной и той же средней сферой могут быть преобразованы в каждый другой - посредством проективного преобразования трехмерного пространства, которое оставляет среднюю сферу в том же положении. Ограничение этого проективного преобразования на среднюю сферу является преобразованием Мёбиуса. Существует уникальный способ выполнения этого преобразования, так что средняя сфера является единичной сферой и так, чтобы центроид точек касания находился в центре сферы; это дает представление данного многогранника, которое уникально до сравнения, канонический многогранник . В качестве альтернативы преобразованный многогранник, который максимизирует минимальное расстояние вершины от средней сферы, может быть найден за линейное время ; выбранный таким образом канонический многогранник имеет максимальную симметрию среди всех вариантов канонического многогранника.
