Неточная вероятность

Неточная вероятность обобщает теорию вероятности, чтобы учесть спецификации частичной вероятности, и применима, когда информация редкие, расплывчатые или противоречивые, и в этом случае уникальное распределение вероятностей может быть трудно идентифицировать. Таким образом, теория стремится более точно представить имеющиеся знания. Неточность полезна при работе с экспертизой, потому что:

• Люди имеют ограниченную способность определять свои собственные субъективные вероятности и могут обнаружить, что они могут предоставить только интервал.
• Как интервал совместим с целым рядом мнений, анализ должен быть более убедительным для ряда разных людей.

• 1 Введение
• 2 История
• 3 Математические модели
• 4 Интерпретация неточных вероятности
• 5 Проблемы с неточными вероятностями
• 6 Библиография
• 7 См. также
• 8 Внешние ссылки

Неопределенность традиционно моделируется с помощью распределения вероятности, разработанные Колмогоров, Лаплас, де Финетти, Рэмси, Кокс, Линдли и многие другие. Однако это не было единодушно принято учеными, статистиками и специалистами по теории вероятностей: утверждалось, что требуется некоторая модификация или расширение теории вероятностей, потому что не всегда можно обеспечить вероятность для каждого события, особенно когда это мало информация или данные доступны - ранним примером такой критики является критика Буля работы Лапласа - или когда мы хотим смоделировать вероятности, с которыми согласна группа, скорее чем у одного человека.

Возможно, наиболее простое обобщение - это замена одной спецификации вероятности спецификацией интервала. Нижняя и верхняя вероятности, обозначаемые $P\; \_\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{P\}\}\; (A)\}$и $P\; ¯\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; (A)\}$или, в более общем плане, нижние и верхние ожидания (предвидения) стремятся заполнить этот пробел. Функция нижней вероятности является супераддитивной, но не обязательно аддитивной, тогда как верхняя вероятность является субаддитивной. Чтобы получить общее представление о теории, рассмотрим:

• частный случай с $P\; \_\; (A)\; =\; P\; ¯\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{P\}\}\; (A)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\; P\}\}\; (A)\}$для всех событий $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$эквивалентно точной вероятности
• $P\; \_\; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{P\}\}\; (A)\; =\; 0\}$и $P\; ¯\; (A)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; (A)\; =\; 1\}$для всех нетривиальных событий вообще не представляет никаких ограничений на спецификацию $P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\}$

Тогда у нас есть гибкий континуум более или менее точных моделей между ними.

Некоторые подходы, обобщенные под названием неаддитивные вероятности, напрямую используют одну из этих функций набора, предполагая, что другая определена естественным образом, так что $P\; \_\; (A\; c)\; =\; 1\; -\; P\; ¯\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{P\}\}\; (A\; ^\; \{c\})\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; (A)\}$, с $A\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{c\}\}$дополнение к $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Под другими связанными понятиями понимаются соответствующие интервалы $[P\; \_\; (A),\; P\; ¯\; (A)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; underline\; \{P\}\}\; (A),\; \{\backslash \; overline\; \{P\}\}\; (A)]\}$для всех событий как основной объект.

Идея использования неточной вероятности имеет долгую историю. Первая формальная трактовка относится, по крайней мере, к середине девятнадцатого века, Джорджем Булем, который стремился примирить теории логики (которые могут выражать полное незнание) и вероятности. В 1920-х годах в Трактате о вероятности Кейнс сформулировал и применил явный подход интервальной оценки к вероятности. Работа над неточными вероятностными моделями непрерывно шла в течение всего 20 века, при этом важный вклад внесли Бернар Купман, C.A.B. Смит, И.Дж. Гуд, Артур Демпстер, Гленн Шафер, П.М. Уильямс Генри Кибург, Исаак Леви и Тедди Зайденфельд. В начале 90-х эта область начала набирать обороты с публикацией основополагающей книги Питера Уолли «Статистическое мышление с неточными вероятностями» (отсюда и возник термин «неточная вероятность»). В 1990-е годы также были отмечены важные работы Кузнецова и Вайксельбергера, которые оба используют термин интервальная вероятность. Теория Уолли расширяет традиционную теорию субъективной вероятности с помощью цен покупки и продажи для азартных игр, тогда как подход Вайхзельбергера обобщает аксиомы Колмогорова, не навязывая интерпретации.

Стандартные условия согласованности связывают назначения верхней и нижней вероятности с непустыми замкнутыми выпуклыми наборами распределений вероятностей. Поэтому в качестве желанного побочного продукта теория также обеспечивает формальную основу для моделей, используемых в устойчивой статистике и непараметрической статистике. Включены также концепции, основанные на интеграции Шоке, и так называемые двухмонотонные и полностью монотонные, которые стали очень популярными в искусственном интеллекте под названием (Dempster-Shafer) функции веры. Более того, существует тесная связь с Шафером и представлением Вовка о.

Термин «неточная вероятность» несколько вводит в заблуждение, поскольку точность часто ошибочно принимается за точность, тогда как неточное представление может быть более точным, чем ложно точное представление. В любом случае этот термин, похоже, утвердился в 1990-х годах и охватывает широкий диапазон расширений теории вероятности, включая:

• наборы верований или наборы распределений вероятностей
• Теория случайных множеств
• Теория свидетельств Демпстера-Шейфера
• нижняя и верхняя вероятности или интервальные вероятности
• функции убеждений
• меры возможности и необходимости
• сравнительный порядок вероятностей
• частичное упорядочение предпочтений
• наборы желаемых азартных игр
• p-блоки
• устойчивые байесовские методы

Объединение многих из вышеупомянутых неточных теории вероятностей были предложены Уолли, хотя это никоим образом не первая попытка формализовать неточные вероятности. В терминах интерпретаций вероятностей формулировка Уолли неточных вероятностей основана на субъективном варианте байесовской интерпретации вероятности. Уолли определяет верхнюю и нижнюю вероятности как частные случаи верхнего и нижнего предвидения и схемы азартных игр, разработанной Бруно де Финетти. Проще говоря, нижнее предвидение лица, принимающего решения, - это самая высокая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверено, что он или она купит азартную игру, а верхнее предвидение - это самая низкая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверен, что он или она купит противоположное. игры (что эквивалентно продаже исходной игры). Если верхнее и нижнее предвидения равны, то они вместе представляют справедливую цену для лица, принимающего решения, - цену, по которой лицо, принимающее решения, готово принять любую сторону игры. Наличие справедливой цены ведет к точным вероятностям.

Допуск на неточность или разрыв между верхним и нижним предвидением лица, принимающего решения, является основным различием между точной и неточной теориями вероятности. Такие пробелы естественно возникают на рынках ставок, которые оказываются финансово неликвидными из-за асимметричной информации. Этот пробел также неоднократно приводится Генри Кибургом для его интервальных вероятностей, хотя он и Исаак Леви также приводят другие причины для интервалов или наборов распределений, представляющих состояния убеждений.

Одна проблема с неточными вероятностями заключается в том, что часто существует независимая степень осторожности или смелости, присущая использованию одного интервала, а не более широкого или более узкого. Это может быть степень уверенности, степень нечеткого членства или порог принятия. Это не такая большая проблема для интервалов, которые являются нижними и верхними границами, полученными из набора распределений вероятностей, например набора априорных значений, за которыми следует условность для каждого члена набора. Однако это может привести к вопросу, почему некоторые дистрибутивы включены в набор априорных значений, а некоторые нет.

Другая проблема заключается в том, почему можно быть точным относительно двух чисел, нижней и верхней границы, а не одного числа, то есть вероятности точки. Этот вопрос может быть чисто риторическим, поскольку надежность модели с интервалами по своей природе выше, чем у модели с точечными вероятностями. Это вызывает опасения по поводу несоответствующих заявлений о точности в конечных точках, а также в отношении значений точек.

Более практический вопрос заключается в том, какая теория принятия решений может использовать неточные вероятности. Для нечетких мер есть работа Ягера. Для выпуклых множеств распределений поучительны работы Леви. Другой подход спрашивает, имеет ли значение пороговое значение, контролирующее смелость интервала, больше для принятия решения, чем просто взятие среднего значения или использование правила принятия решения Гурвича. В литературе встречаются и другие подходы.

1. ^Колмогоров А. Н. (1950). Основы теории вероятностей. Нью-Йорк: Chelsea Publishing Company.
2. ^ де Финетти, Бруно (1974). Теория вероятностей. Нью-Йорк: Уайли.
3. ^ Буль, Джордж (1854). Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей. Лондон: Уолтон и Маберли.
4. ^Смит, Седрик А. Б. (1961). «Последовательность статистических выводов и решений». Журнал Королевского статистического общества. B (23): 1–37.
5. ^ Уильямс, Питер М. (1975). Примечания к условным предвидениям. Школа математики. и Phys. Наук, Univ. Сассекса.
6. ^ Уильямс, Питер М. (2007). «Примечания к условным предвидениям». Международный журнал приблизительного мышления. 44 (3): 366–383. doi : 10.1016 / j.ijar.2006.07.019.
7. ^ Уолли, Питер (1991). Статистическое обоснование с неточными вероятностями. Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0-412-28660-5.
8. ^Деннеберг, Дитер (1994). Неаддитивная мера и интеграл. Дордрехт: Kluwer.
9. ^ Weichselberger, Kurt (2000). «Теория интервальной вероятности как объединяющее понятие неопределенности». Международный журнал приблизительного мышления. 24 (2–3): 149–170. doi : 10.1016 / S0888-613X (00) 00032-3.
10. ^ Weichselberger, K. (2001). Elementare Grundbegriffe einer allgemeineren Wahrscheinlichkeitsrechnung I - Intervallwahrscheinlichkeit als umfassendes Konzept. Гейдельберг: Physica.
11. ^ Кейнс, Джон Мейнард (1921). Трактат о вероятности. Лондон: Macmillan And Co.
12. ^https://plato.stanford.edu/entries/imprecise-probabilities/supplement-historical.html
13. ^Кузнецов, Владимир П. (1991). Интервальные статистические модели. М.: Радио и связь.
14. ^Руджери, Фабрицио (2000). Надежный байесовский анализ. Д. Риос Инсуа. Нью-Йорк: Springer.
15. ^Augustin, T.; Кулен, Ф. П. А. (2004). «Непараметрический прогнозный вывод и интервальная вероятность» (PDF). Журнал статистического планирования и вывода. 124 (2): 251–272. doi : 10.1016 / j.jspi.2003.07.003.
16. ^de Cooman, G.; Troffaes, M.C.M.; Миранда, Э. (2008). «n-Монотонные точные функционалы». Журнал математического анализа и приложений. 347 (1): 143–156. arXiv : 0801.1962. Bibcode : 2008JMAA..347..143D. doi : 10.1016 / j.jmaa.2008.05.071.
17. ^Huber, P.J.; В. Штрассен (1973). «Минимаксные тесты и лемма Неймана-Пирсона для емкостей». Летопись статистики. 1 (2): 251–263. doi : 10.1214 / aos / 1176342363.
18. ^ Демпстер, А. П. (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением». Анналы математической статистики. 38 (2): 325–339. doi : 10.1214 / aoms / 1177698950. JSTOR 2239146.
19. ^ Шафер, Гленн (1976). Математическая теория доказательств. Princeton University Press.
20. ^de Cooman, G.; Германс, Ф. (2008). «Неточные деревья вероятностей: мост между двумя теориями неточной вероятности». Искусственный интеллект. 172 (11): 1400–1427. arXiv : 0801.1196. doi : 10.1016 / j.artint.2008.03.001.
21. ^Шафер, Гленн; Владимир Вовк (2001). Вероятность и финансы: это всего лишь игра !. Wiley.
22. ^Заде, Л. А. (1978). «Нечеткие множества как основа теории возможностей». Нечеткие множества и системы. 1 : 3–28. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (78) 90029-5. hdl : 10338.dmlcz / 135193.
23. ^Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1985). Теория возможностей. Париж: Массон.
24. ^Дюбуа, Дидье; Анри Прад (1988). Теория возможностей - подход к компьютерной обработке неопределенности. Нью-Йорк: Plenum Press.
25. ^Troffaes, Matthias C.M.; де Куман, Герт (2014). Нижнее предвидение. Вайли. doi : 10.1002 / 9781118762622. ISBN 9780470723777.
26. ^де Финетти, Бруно (1931). "Sulignato soggettivo della probabilità". Fundamenta Mathematicae. 17 : 298–329. doi : 10.4064 / fm-17-1-298-329.
27. ^Хорошо, Терренс Л. (1973). Теории вероятностей. Нью-Йорк: Academic Press.
28. ^Fishburn, P. C. (1986). «Аксиомы субъективной вероятности». Статистическая наука. 1 (3): 335–358. doi : 10.1214 / ss / 1177013611.
29. ^Ферсон, Скотт; Владик Крейнович ; Лев Гинзбург; Дэвид С. Майерс; Кари Сенц (2003). «Построение ящиков вероятностей и структур Демпстера-Шейфера». SAND2002-4015. Сандийские национальные лаборатории. Архивировано с оригинального 22.07.2011. Проверено 23 сентября 2009 г.
30. ^Бергер, Джеймс О. (1984). «Надежная байесовская точка зрения». В Кадане, Дж. Б. (ред.). Устойчивость байесовского анализа. Elsevier Science. стр. 63 –144. У сайта пустой неизвестный параметр: | editors =()
31. ^Зайденфельд, Тедди. «Решения с неопределенными вероятностями». and Brain Sciences 6, № 2 (1983): 259-261.
32. ^Ягер, Р.Р., 1978. Нечеткое принятие решений, включая неравные цели. Нечеткие множества и системы, 1 (2), стр.87-95.
33. ^Леви, И., 1990. Трудный выбор: принятие решений в условиях неразрешенного конфликта. Издательство Кембриджского университета.
34. ^Луи, Р.П., 1986. Решения с неопределенными вероятностями. Теория и решение, 21 (3), стр.283-309.
35. ^Го П. и Танака Х., 2010. Принятие решений с интервалом вероятностей. Европейский журнал операционных исследований, 203 (2), стр. 444-454.
36. ^Каселтон, У. Ф. и Луо, В., 1992. Принятие решений с неточными вероятностями: теория и применение Демпстера-Шафера. Исследование водных ресурсов, 28 (12), стр. 3071-3083.
37. ^Бриз, Дж. С. и Фертиг, К. В., 2013. Принятие решений с помощью интервальных диаграмм влияния. Препринт arXiv arXiv: 1304.1096.
38. ^Gärdenfors, P. и Сахлин, Н.Е., 1982. Ненадежные вероятности, принятие риска и принятие решений. Synthese, 53 (3), стр. 361-386.

• Неприятие двусмысленности
• Надежное принятие решений
• Неточный процесс Дирихле

• Общество неточной вероятности: теории и приложения
• Реализация классификатора с открытым исходным кодом на основе Неточные вероятности
• Неточная группа вероятностей в статье IDSIA
• Стэнфордской энциклопедии философии о неточных вероятностях