Войти
Слово вероятность использовалось по-разному с тех пор, как оно было впервые применено к математическому исследованию азартные игры. Измеряет ли вероятность реальную физическую тенденцию к чему-либо, или это мера того, насколько сильно человек верит, что это произойдет, или же она опирается на оба этих элемента? Отвечая на такие вопросы, математики интерпретируют значения вероятностей теории вероятностей.
. Есть две широкие категории интерпретаций вероятностей, которые можно назвать «физической» и «доказательной» вероятностями. Физические вероятности, которые также называются объективными или частотными вероятностями, связаны со случайными физическими системами, такими как колеса рулетки, игральные кости и радиоактивные атомы. В таких системах событие данного типа (например, игра на кубике с получением шестерки) имеет тенденцию происходить с постоянной скоростью или «относительной частотой» в течение длительного периода испытаний. Физические вероятности либо объясняют, либо используются для объяснения этих стабильных частот. Двумя основными видами теории физической вероятности являются частотные счета (например, теории Венна, Райхенбаха и фон Мизеса) и склонности (например, теории Поппера, Миллера, Гьера и Фетцер).
Доказательная вероятность, также называемая байесовской вероятностью, может быть назначена любому утверждению, даже когда не задействован случайный процесс, как способ представления его субъективной правдоподобности или степень, в которой заявление подтверждается имеющимися доказательствами. В большинстве случаев очевидные вероятности считаются степенью уверенности, определяемой в терминах склонности к игре с определенными шансами. Четыре основных доказательных интерпретации - это классическая интерпретация (например, Лапласа), субъективная интерпретация (де Финетти и Сэвидж), эпистемическая или индуктивная интерпретация (Рамси, Кокс ) и логическая интерпретация. (Кейнс и Карнап ). Существуют также доказательные интерпретации групп вероятностного покрытия, которые часто обозначаются как «интерсубъективные» (предложенные Гиллис и Роуботтомом).
Некоторые интерпретации вероятности связаны с подходами к статистическому выводу, включая теории оценки и проверки гипотез. Физическая интерпретация, например, используется последователями «частотных» статистических методов, такими как Рональд Фишер, Ежи Нейман и Эгон Пирсон. Статистики противоположной байесовской школы обычно признают существование и важность физических вероятностей, но также считают, что вычисление доказательных вероятностей является как достоверным, так и необходимым в статистике. Однако в этой статье основное внимание уделяется интерпретации вероятности, а не теориям статистического вывода.
Терминология этой темы довольно запутанная, отчасти потому, что вероятности изучаются в различных академических областях. Слово «частотный» особенно сложно. Для философов это относится к определенной теории физической вероятности, от которой более или менее отказались. С другой стороны, для ученых «частотная вероятность » - это просто другое название физической (или объективной) вероятности. Те, кто продвигает байесовский вывод, рассматривают «частотную статистику » как подход к статистическому выводу, который признает только физические вероятности. Также слово «объективный» в применении к вероятности иногда означает именно то, что здесь означает «физический», но также используется для доказательных вероятностей, которые фиксируются рациональными ограничениями, такими как логические и эпистемологические вероятности.
Все согласны с тем, что статистика так или иначе зависит от вероятности. Но что касается того, что такое вероятность и как она связана со статистикой, то со времен Вавилонской башни редко было такое полное разногласие и нарушение связи. Несомненно, большая часть разногласий носит чисто терминологический характер и исчезнет при достаточно тщательном анализе.
— (Savage, 1954, p 2)философия вероятности представляет проблемы в основном в вопросах эпистемологии и непростой связи между математическими концепциями и обычный язык, как он используется нематематиками. Теория вероятностей - это устоявшаяся область изучения математики. Он берет свое начало в переписке, в которой обсуждается математика азартных игр между Блезом Паскалем и Пьером де Ферма в семнадцатом веке, и был формализован и представлен аксиоматика как отдельный раздел математики Андреем Колмогоровым в ХХ веке. В аксиоматической форме математические утверждения о теории вероятностей несут такую же эпистемологическую уверенность в рамках философии математики, как и другие математические утверждения.
Математический анализ возник в результате наблюдений за поведением. игрового оборудования, такого как игральные карты и кости, которые разработаны специально для введения случайных и уравновешенных элементов; с математической точки зрения они являются объектами безразличия. Это не единственный способ использования вероятностных утверждений в обычном человеческом языке: когда люди говорят, что «вероятно, будет дождь», они обычно не означают, что результат дождя по сравнению с отсутствием дождя является случайным фактором, которому в настоящее время благоприятствуют шансы; вместо этого такие утверждения, возможно, лучше понимать как квалифицирующие их ожидание дождя с некоторой степенью уверенности. Аналогичным образом, когда написано, что "наиболее вероятное объяснение" названия Ладлоу, Массачусетс "состоит в том, что оно было названо в честь Роджера Ладлоу ", здесь имеется в виду не то, что Роджеру Ладлоу благоприятствует случайный фактор, а скорее то, что это наиболее правдоподобное объяснение свидетельств, которое допускает другие, менее вероятные объяснения.
Томас Байес попытался предоставить логику , которая могла бы работать с различной степенью уверенности; как таковая, байесовская вероятность - это попытка переработать представление вероятностных утверждений как выражение степени уверенности, которой придерживаются выражаемые ими убеждения.
Хотя изначально вероятность имела несколько приземленных мотивов, ее современное влияние и использование широко распространено: от доказательной медицины до шести сигм, вплоть до вероятностно проверяемое доказательство и ландшафт теории струн.
| Классический | Frequentist | Субъективный | Склонность | |
|---|---|---|---|---|
| Основная гипотеза | Принцип безразличия | Частота появления | Степень убежденности | Степень причинной связи |
| Концептуальная основа | Гипотетическая симметрия | Прошлые данные и справочный класс | Знания и интуиция | Текущее состояние системы |
| Концептуальный подход | Предполагаемый | Эмпирический | Субъективный | Метафизический |
| Возможен единичный случай | Да | No | Да | Да |
| Точный | Да | No | No | Да |
| Проблемы | Неопределенность в принципе безразличия | Круговое определение | Ссылка Проблема класса эренса | Спорная концепция |
Теперь известна первая попытка математической строгости в области вероятности, которую отстаивал Пьер-Симон Лаплас как классическое определение . Разработанный на основе исследований азартных игр (таких как бросание кубиков ), он утверждает, что вероятность делится поровну между всеми возможными исходами, при условии, что эти исходы могут считаться одинаково вероятными. (3.1)
Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, о существовании которых мы можем быть в равной степени нерешительным, и при определении количества случаев, благоприятных для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.
— Пьер- Саймон Лаплас, Философское эссе о вероятностях
Классическое определение вероятности хорошо работает для ситуаций только с конечным числом равновероятных исходов. Математически это можно представить следующим образом: Если случайный эксперимент может привести к N взаимоисключающие и равновероятные исходы, и если N A из этих исходов приводят к возникновению события A, вероятность A определяется как
У классического определения есть два явных ограничения. Во-первых, это применимо только к ситуациям, в которых существует только «конечное» число возможных результатов. Но некоторые важные случайные эксперименты, такие как подбрасывание монеты до тех пор, пока она не поднимет голову, дают бесконечный набор результатов. А во-вторых, вам необходимо заранее определить, что все возможные исходы одинаково вероятны, не полагаясь на понятие вероятности, чтобы избежать замкнутости, например, из соображений симметрии.
Для частотников вероятность попадания шара в любую лунку может быть определена только путем повторных испытаний, в которых наблюдаемый результат сходится с лежащей в основе вероятностью в долгосрочной перспективе. Frequentists постулируют, что вероятность события - это его относительная частота во времени, (3.4) т. е. его относительная частота возникновения после повторения процесса большое количество раз в аналогичных условиях. Это также известно как случайная вероятность. Предполагается, что событиями управляют некоторые случайные физические явления, которые являются либо явлениями, которые в принципе предсказуемы при наличии достаточной информации (см. детерминизм ); или явления, которые по существу непредсказуемы. Примеры первого типа включают бросание игральных костей или вращение колеса рулетки ; Примером второго вида является радиоактивный распад. В случае подбрасывания справедливой монеты частотные специалисты говорят, что вероятность выпадения орла равна 1/2, не потому, что есть два равновероятных исхода, а потому, что повторяющиеся серии большого количества испытаний демонстрируют, что эмпирическая частота сходится к пределу 1 / 2, поскольку количество попыток стремится к бесконечности.
Если мы обозначим 
У частотной точки зрения есть свои проблемы. Конечно, на самом деле невозможно выполнить бесконечное количество повторений случайного эксперимента, чтобы определить вероятность события. Но если выполняется только конечное число повторений процесса, разные относительные частоты будут появляться в разных сериях испытаний. Если эти относительные частоты должны определять вероятность, вероятность будет немного отличаться каждый раз при ее измерении. Но реальная вероятность всегда должна быть одинаковой. Если мы признаем тот факт, что мы можем измерить вероятность только с некоторой ошибкой измерения, мы все равно столкнемся с проблемами, поскольку ошибка измерения может быть выражена только как вероятность, то самое понятие, которое мы пытаемся определить. Это делает даже определение частоты круговым; см., например, «Какова вероятность землетрясения? ”
Азартные игры Шансы отражают« степень веры »среднего игрока в исход. Субъективисты, также известные как Байесовцы или сторонники эпистемической вероятности придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая его как меру «степени убежденности» человека, оценивающего неопределенность конкретной ситуации. Эпистемическая или субъективная вероятность иногда называется достоверностью, в отличие от термина шанс для вероятности склонности.
Некоторые примеры эпистемической вероятности состоят в том, чтобы приписать вероятность утверждению о том, что предложенный закон физики истинен, или определить, насколько вероятно, что подозреваемый совершил преступление, на основе представленных доказательств.
Коэффициенты ставок на азартные игры не отражают веру букмекеров в вероятного победителя в такой степени, как веру других участников пари, потому что участники пари фактически делают ставки друг против друга. Коэффициенты устанавливаются на основе того, сколько людей сделало ставку на возможного победителя, так что даже если игроки с высокими коэффициентами всегда выигрывают, букмекеры всегда будут делать свои проценты.
Использование байесовской вероятности вызывает философские дебаты относительно того, может ли она способствовать действительным оправданиям убеждений.
Байесовцы указывают на работу Рамси (стр. 182) и де Финетти (стр. 103) как доказательство того, что субъективные убеждения должны подчиняться законам вероятности, чтобы быть последовательными. Свидетельства вызывают сомнения в том, что у людей будут последовательные убеждения.
Использование байесовской вероятности включает определение априорной вероятности. Это может быть получено из рассмотрения того, является ли требуемая априорная вероятность большей или меньшей, чем эталонная вероятность, связанная с моделью урны или мысленным экспериментом. Проблема в том, что для данной проблемы можно применить несколько мысленных экспериментов, и выбор одного - это вопрос суждения: разные люди могут назначать разные априорные вероятности, известные как проблема эталонного класса. Пример "проблема восхода солнца ".
Теоретики склонности рассматривают вероятность как физическую склонность, или предрасположенность, или тенденцию определенного типа физической ситуации, приводить к определенному результату или давать долгосрочные родственники. частота такого исхода. Такого рода объективную вероятность иногда называют «случайностью».
Склонности или шансы - это не относительные частоты, а предполагаемые причины наблюдаемых стабильных относительных частот. Пристрастия используются для объяснения того, почему повторение определенного типа эксперимента будет приводить к определенным типам результатов с постоянной скоростью, которые известны как склонности или шансы. Фраквенционисты не могут использовать этот подход, поскольку относительные частоты не существуют для одиночных подбрасываний монеты, а существуют только для больших ансамблей или коллективов (см. «Возможен единичный случай» в таблице выше). Напротив, предрасположенный человек может использовать закон больших чисел для объяснения поведения долгосрочных частот. Этот закон, который является следствием аксиом вероятности, гласит, что если (например) монету подбрасывают многократно, много раз, таким образом, что вероятность выпадения орла при каждом подбрасывании одинакова, а результаты вероятностно независимо, то относительная частота выпадения орлов будет близка к вероятности выпадения орлов при каждом броске. Этот закон допускает, что стабильные длительные частоты являются проявлением инвариантных вероятностей одного случая. Помимо объяснения появления стабильных относительных частот, идея предрасположенности мотивируется желанием разобраться в однозначных вероятностных атрибуциях в квантовой механике, таких как вероятность распада определенного атом в определенное время.
Основная проблема, с которой сталкиваются теории склонности, - это точно сказать, что означает склонность. (И затем, конечно, чтобы показать, что определенная таким образом склонность обладает необходимыми свойствами.) В настоящее время, к сожалению, ни одно из общепризнанных объяснений склонности даже близко не подходит к решению этой проблемы.
Теория вероятности склонности была предложена Чарльзом Сандерсом Пирсом. Более поздняя теория склонностей была предложена философом Карлом Поппером, который, однако, имел лишь небольшое представление о сочинениях К.С. Пирса. Поппер отмечал, что результат физического эксперимента определяется определенным набором «порождающих условий». Когда мы повторяем эксперимент, как говорится, мы действительно проводим еще один эксперимент с (более или менее) похожим набором порождающих условий. Сказать, что набор порождающих условий имеет склонность p к достижению результата E, означает, что эти точные условия, если они будут повторяться бесконечно, дадут последовательность результатов, в которой E возникнет с предельной относительной частотой p. Таким образом, для Поппера детерминированный эксперимент имел бы склонность 0 или 1 для каждого результата, поскольку условия, порождающие условия, будут иметь одинаковый результат в каждом испытании. Другими словами, нетривиальные склонности (отличные от 0 и 1) существуют только для действительно недетерминированных экспериментов.
Ряд других философов, в том числе Дэвид Миллер и Дональд А. Гиллис, предложили теории склонностей, несколько похожие на теории Поппера.
Другие теоретики склонности (например, Рональд Гьер) вообще не определяют явным образом склонности, а скорее видят склонность как определенную теоретической ролью, которую она играет в науке. Они утверждали, например, что физические величины, такие как электрический заряд, также нельзя явно определить в терминах более простых вещей, а только в терминах того, что они делают (например, притягивают и отталкивают другие электрические заряды).. Точно так же склонность - это то, что выполняет различные роли, которые физическая вероятность играет в науке.
Какую роль в науке играет физическая вероятность? Каковы его свойства? Одно из центральных свойств случая состоит в том, что, когда оно известно, оно заставляет рациональную веру принимать одно и то же числовое значение. Дэвид Льюис назвал это Основным Принципом (3.3 и 3.5), термином, который в основном применяют философы. Например, предположим, что вы уверены, что определенная смещенная монета имеет склонность 0,32 выпадать орел каждый раз, когда ее бросают. Какова же тогда правильная цена для игры, в которой выплачивается 1 доллар, если монета выпадает орлом, и ничего в противном случае? Согласно Основному принципу справедливая цена составляет 32 цента.
Широко признано, что термин «вероятность» иногда используется в контекстах, где он не имеет ничего общего с физической случайностью. Рассмотрим, например, утверждение о том, что вымирание динозавров было вероятно вызвано падением большого метеорита на землю. Такие утверждения, как «Гипотеза H, вероятно, верна», были интерпретированы как означающие, что (имеющиеся в настоящее время) эмпирические данные (скажем, E) поддерживают H. Эта степень поддержки H со стороны E была названа логической вероятностью H с учетом E, или эпистемической вероятностью H с учетом E, или индуктивной вероятностью of H при E.
Различия между этими интерпретациями довольно малы и могут показаться несущественными. Один из основных пунктов разногласий заключается в отношении между вероятностью и верой. Логические вероятности задуманы (например, в Кейнсе 'Трактат о вероятности ) как объективные, логические отношения между предложениями (или предложениями) и, следовательно, никоим образом не зависят от убеждений. Это степени (частичного) следствия или степени логического следствия, а не степени убеждения. (Тем не менее, они диктуют надлежащие степени веры, как обсуждается ниже.) Фрэнк П. Рэмси, с другой стороны, скептически относился к существованию таких объективных логических отношений и утверждал, что (доказательно) вероятность - это «логика частичной веры». (стр. 157) Другими словами, Рэмси считал, что эпистемологические вероятности - это просто степени рациональной веры, а не логические отношения, которые просто ограничивают степени рациональной веры.
Еще один момент разногласий касается уникальности доказательной вероятности относительно данного состояния знаний. Рудольф Карнап, например, считал, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность любого утверждения относительно любой совокупности доказательств. Рэмси, напротив, полагал, что, хотя степени веры подчиняются некоторым рациональным ограничениям (таким как, но не ограничиваясь, аксиомами вероятности), эти ограничения обычно не определяют уникальное значение. Другими словами, рациональные люди могут несколько отличаться по степени своей веры, даже если все они обладают одинаковой информацией.
Альтернативный учет вероятности подчеркивает роль предсказания - предсказания будущих наблюдений на основе прошлых наблюдений, а не ненаблюдаемых параметров. В современном виде это в основном байесовская вена. Это была основная функция вероятности до 20-го века, но потеряла популярность по сравнению с параметрическим подходом, который моделировал явления как физическую систему, наблюдаемую с ошибкой, например, в небесной механике.
Современная предсказательная Впервые этот подход был предложен Бруно де Финетти с центральной идеей взаимозаменяемости - что будущие наблюдения должны вести себя так же, как прошлые наблюдения. Эта точка зрения привлекла внимание англоязычного мира с переводом книги де Финетти в 1974 году, и с тех пор она была предложена такими статистиками, как Сеймур Гейссер.
Математика вероятности может быть разработаны на полностью аксиоматической основе, не зависящей от какой-либо интерпретации: см. статьи по теории вероятности и аксиомам вероятности для подробного рассмотрения.
 | Викискладе есть средства массовой информации, связанные с интерпретациями вероятности. |
