Теорема Гаусса – Лукаса

редактировать

Геометрическая связь между корнями многочлена и корнями его производной

В комплексный анализ, раздел математики, теорема Гаусса – Лукаса дает геометрическую связь между корнями полинома P и корни его производной P ′. Набор корней действительного или комплексного многочлена - это набор точек в комплексной плоскости. ne. Теорема утверждает, что все корни P ′ лежат внутри выпуклой оболочки корней P, то есть наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего корни P. Когда P имеет один root, то эта выпуклая оболочка является единственной точкой, и когда корни лежат на прямой, тогда выпуклая оболочка является сегментом этой прямой. Теорема Гаусса – Лукаса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Феликса Лукаса, по духу аналогична теореме Ролля.

Play media Иллюстрация теоремы Гаусса Лукаса, отображающая эволюцию корни производных многочлена.

Содержание

1 Формальное утверждение
2 Особые случаи
3 Доказательство
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние links

Формальное утверждение

Если P - (непостоянный) многочлен с комплексными коэффициентами, все нули P ′ принадлежат выпуклой оболочке множества нулей P.

Частные случаи

Легко видеть, что если P (x) = ax + bx + c является многочленом второй степени, нуль P ′ (x) = 2ax + b - это среднее корней P. В этом случае выпуклая оболочка - это отрезок прямой с двумя корнями в качестве конечных точек, и ясно, что среднее значение корней является средней точкой сегмент.

Для комплексного многочлена P третьей степени (кубическая функция ) с тремя различными нулями, теорема Мардена утверждает, что нули P 'являются фокусами Эллипс Штейнера, который является единственным касательным эллипсом к серединам треугольника, образованного нулями P.

Для комплексного многочлена P четвертой степени (функции четвертой степени ) с четырьмя различные нули образуют вогнутый четырехугольник, один из нулей P лежит внутри выпуклой оболочки трех других; все три нуля P ′ лежат в двух из трех треугольников, образованных внутренним нулем P и двумя другими нулями P.

Кроме того, если многочлен степени n от вещественных коэффициентов имеет n различных действительных нулей $x 1 < x 2 < ⋯ < x n, {\displaystyle x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_{n},}$ , мы видим, используя теорему Ролля, что нули производного многочлена находятся в интервале $[x 1, xn] {\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ - выпуклая оболочка множества корней.

Выпуклая оболочка корней многочлена

pnxn + pn - 1 xn - 1 + ⋯ + p 0 {\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}

{\ displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1 } x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}

, в частности, включает точку

- pn - 1 n ⋅ pn. {\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}.}

{\ displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}.}

Доказательство

Над комплексными числами P является произведением простых множителей

п (z) знак равно α ∏ я знак равно 1 N (z - ai) {\ displaystyle P (z) = \ alpha \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}

P (z) = \ alpha \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})

где комплексные числа $a 1, a 2,…, an {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ $a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}$ - не обязательно отличные - нули многочлена P, комплексное число $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - это старший коэффициент P, а n - степень P. Пусть z - любое комплексное число, для которого $P (z) ≠ 0. {\ displaystyle P (z) \ neq 0.}$ ${\ displaystyle P (z) \ neq 0.}$ Тогда для логарифмической производной

P ′ (z) P (z) = ∑ я знак равно 1 n 1 z - ai. {\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i} }}.}

{\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}}.

В частности, если z равно нулю из $P ′ {\ displaystyle P '}$ $P'$ и $P (z) ≠ 0 {\ displaystyle P (z) \ neq 0}$ $P (z) \ neq 0$ , затем

∑ i = 1 n 1 z - ai = 0 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z- a_ {i}}} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}

или

∑ i = 1 nz ¯ - ai ¯ | z - a i | 2 = 0. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {{\ o verline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} = 0.}

Это также можно записать как

(∑ i = 1 n 1 | z - ai | 2) z ¯ = (∑ i = 1 n 1 | z - ai | 2 ai ¯). {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} \ right) {\ overline {z}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ right). }

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n } {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} \ right) {\ overline {z}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ гидроразрыв {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ right).}

Взяв их сопряжения, мы видим, что $z {\ displaystyle z}$ $z$ представляет собой взвешенную сумму с положительными коэффициентами, сумма которых равна единице, или барицентр в аффинных координатах, комплексных чисел $ai {\ displaystyle a_ {i}}$ $a_ {i}$ (с разной массой, присвоенной каждому корню, веса которого в совокупности равны 1).

Если $P (z) = P ′ (z) = 0, {\ displaystyle P (z) = P '(z) = 0,}$ $P(z)=P'(z)=0,$ , то

z знак равно 1 ⋅ ai + (∑ j = 1, j ≠ в 0 ⋅ aj) {\ displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ { n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}

{\ displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}

для некоторого i, но по-прежнему является выпуклой комбинацией корней $P {\ displaystyle P}$ $P$ .

См. Также

Примечания

Ссылки

Лукас, Феликс (1874 г.). "Propriétés géométriques des Fractionnes rationnelles". CR Acad. Sci. Париж. 77 : 431–433.
Моррис Марден, Геометрия многочленов, AMS, 1966.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Теорема Лукаса – Гаусса Брюса Торренса, Демонстрационный проект Wolfram.