Прямая задача электрокардиологии

редактировать

Моделирование реалистичного сердцебиения.

Схематическая диаграмма нормального синусового ритма человеческого сердца на ЭКГ.

Прямая задача электрокардиологии - это вычислительный и математический подход для изучения электрической активности сердца сердца через поверхность тела. Основная цель этого исследования - компьютерное воспроизведение электрокардиограммы (ЭКГ), которая имеет важное клиническое значение для определения, например, ишемии и инфаркта, или для тестирования. С учетом их важных функций и относительной малой инвазивности методы электрокардиографии довольно часто используются в качестве клинических диагностических тестов. Таким образом, естественно перейти к компьютерному воспроизведению ЭКГ, что означает математическое моделирование сердечного поведения внутри тела.

Тремя основными частями прямой модели для ЭКГ являются:

модель для электрическая активность сердца;
модель диффузии электрического потенциала внутри туловища, которая представляет экстракардиальную область;
некоторые специфические условия взаимодействия сердца и туловища.

Таким образом, чтобы Чтобы получить ЭКГ, необходимо рассмотреть математическую электрическую модель сердца в сочетании с диффузной моделью в пассивном проводнике, которая описывает распространение электричества внутри туловища.

Связанная модель обычно трехмерная модель, выраженная в терминах уравнений в частных производных. Такая модель обычно решается с помощью метода конечных элементов для пространственной эволюции решения и с использованием конечных разностей для временной эволюции решения. Однако вычислительные затраты на такие методы, особенно при трехмерном моделировании, довольно высоки. Таким образом, часто рассматриваются упрощенные модели, решающие, например, электрическую активность сердца независимо от проблемы на торсе. Для получения реалистичных результатов необходимо использовать трехмерные анатомически реалистичные модели сердца и туловища.

Еще одно возможное упрощение состоит из трех обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание

1 Сердце модели ткани
- 1.1 Бидоменная модель
- 1.2 Монодоменная модель
2 Модель ткани туловища
- 2.1 Выведение
- 2.2 Граничное условие
- 2.3 Проводимость туловища
3 Модели сердце-торс
- 3.1 Полностью связанные модели сердце-торс
  - 3.1.1 Альтернативные граничные условия
  - 3.1.2 Формулировка с использованием модели бидомена
  - 3.1.3 Формулировка с использованием модели монодоменной модели
- 3.2 Несвязанные модели сердце-торс
  - 3.2.1 Несвязанная модель сердце-торс с моделью бидомена
  - 3.2.2 Несвязанная модель сердце-торс с моделью модомена
4 Расчет электрокардиограммы
5 Численные методы
6 Геометрическая модель туловища
7 Динамическая модель электрокардиограммы
8 См. также
9 Ссылки

Модели ткани сердца

Электрическая активность сердца t вызывается потоком ионов через клеточную мембрану между внутриклеточным и внеклеточным пространствами, который определяет волну возбуждения вдоль сердечной мышцы, которая координирует сокращение сердца и, таким образом, насосное действие сердца, которое позволяет ему проталкивать кровь через кровеносную систему. Таким образом, моделирование сердечной электрической активности связано с моделированием потока ионов на микроскопическом уровне и с распространением волны возбуждения вдоль мышечных волокон на макроскопический уровень.

Между математической моделью на макроскопическом уровне, Виллем Эйнтховен и Август Валлер определили ЭКГ через концептуальную модель вращающегося диполя. вокруг фиксированной точки, проекция которой на ось отведения определяет записи отведений. Затем двумерная реконструкция сердечной деятельности во фронтальной плоскости стала возможной с использованием отведений конечностей Эйнтховена I, II и III в качестве теоретической основы. Позже вращающийся сердечный диполь был признан неадекватным и был заменен мультиполярными источниками, движущимися внутри ограниченной области туловища. Основным недостатком методов, используемых для количественной оценки этих источников, является отсутствие в них деталей, которые, однако, очень важны для реалистичного моделирования сердечных явлений.

С другой стороны, микроскопические модели пытаются представить поведение отдельных клеток и соединить их с учетом их электрических свойств. Эти модели представляют некоторые проблемы, связанные с различными масштабами, которые необходимо уловить, в частности, учитывая, что, особенно для крупномасштабных явлений, таких как повторный вход или коллективное поведение ячеек, более важно, чем поведение каждой отдельной ячейки.

Третий вариант моделирования электрической активности сердца - это рассмотреть так называемый «средний подход», при котором модель включает как более низкий, так и более высокий уровень детализации. Эта опция учитывает поведение блока ячеек, называемого континуальной ячейкой, что позволяет избежать проблем с масштабом и детализацией. Полученная модель называется бидоменной моделью, которую часто заменяют ее упрощением, монодоменной моделью.

Бидоменной моделью

Стилизованное представление человеческого торса, которое описывает область и рассматриваемую нотацию. для прямой задачи электрокардиографии. Рассмотрены две разделенные области и их границы, которые представляют сердце и человеческий торс вокруг него.

Основное предположение модели бидомена состоит в том, что ткань сердца может быть разделена на две омически проводящие непрерывные среды, связанные, но разделенные через клетку. мембрана. Эти среды называются внутриклеточными и внеклеточными областями, первая из которых представляет клеточные ткани, а вторая представляет собой пространство между клетками.

Стандартная формулировка модели бидомена, включая динамическую модель ионного тока, - это следующее

{∇ ⋅ (σ i ∇ V m) + ∇ ⋅ (σ i ∇ ue) = A m (C m ∂ V m ∂ t + I ion (V m, w)) + I app в Ω H ∇ ⋅ ((σ я + σ е) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ я ∇ В м) = 0 в Ω H ∂ вес ∂ T + g (V m, w) = 0 в Ω H {\ Displaystyle {\ begin {case} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e}) = A_ {m} \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial V_ {m}} {\ partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) \ right) + I_ {app} {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\\ nabla \ cdot \ left ((\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e } \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\ {\ frac {\ partial w} {\ partial {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e })=A_{m}\left(C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{ion}(V_{m},w)\right)+I_{ app}{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}}

где $V м {\ disp laystyle V_ {m}}$ $V_{m}$ и $ue {\ displaystyle u_ {e}}$ $u_e$ - трансмембранный и внеклеточный потенциалы соответственно, $I ion {\ displaystyle I_ {ion }}$ $I_{ion}$ - ионный ток, который также зависит от так называемой стробирующей переменной $w {\ displaystyle w}$ $w$ (с учетом ионного поведения на клеточном уровне) и $I app {\ displaystyle I_ {app}}$ ${\displ aystyle I_{app}}$ - это внешний ток, приложенный к домену. Кроме того, $σ i {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {i}}$ $\mathbf {\sigma } _{i}$ и $σ e {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {e}}$ $\mathbf {\sigma } _{e}$ - тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости, $A m {\ displaystyle A_ {m}}$ $A_{m}$ - отношение поверхности к объему клеточной мембраны и $C m {\ displaystyle C_ {m}}$ $C_m$ - емкость мембраны на единицу площади. Здесь домен $Ω H {\ displaystyle \ Omega _ {H}}$ $\Omega _{H}$ представляет сердечную мышцу.

Граничные условия для этой версии модели бидомена получены в предположении что нет потока внутриклеточного потенциала вне сердца, что означает, что

σ i ∇ V m ⋅ n + σ i ∇ ue ⋅ n = 0 на Σ {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m} \ cdot \ mathbf {n} + \ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma}

\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma

где $Σ = ∂ Ω H {\ displaystyle \ Sigma = \ partial \ Omega _ {H}}$ ${\ displaystyle \ Sigma = \ partial \ Omega _ {H}}$ обозначает границу области сердца, а $n {\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\mathbf {n}$ - это внешняя единица, нормальная к $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\Sigma$ .

Модель однодоменной

Модель однодоменной является упрощением модели бидомена который, несмотря на некоторые нефизиологические допущения, может представлять реалистичные электрофизиологические явления, по крайней мере, в том, что касается трансмембранного потенциала $V m {\ displa ystyle V_ {m}}$ $V_{m}$ .

Стандартная формулировка представляет собой следующее уравнение в частных производных, единственное неизвестное $V m {\ displaystyle V_ {m}}$ $V_{m}$ - это трансмембранный потенциал:

χ С м ∂ В м ∂ T - ∇ ⋅ (σ я λ 1 + λ ∇ В м) + χ I ion = I app в Ω H {\ displaystyle \ chi C_ {m} {\ frac {\ partial V_ {m} } {\ partial t}} - \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla V_ {m} \ right) + \ чи I_ {ion} = I_ {app} \ quad \ quad {\ text {in}} \ Omega _ {H}}

\chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(\mathbf {\sigma } _{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{ion}=I_{app}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}

где $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ - это параметр, который связывает тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости.

Граничное условие, используемое для этой модели:

(σ i ∇ V m) ⋅ n = 0 на ∂ Ω H. {\ displaystyle \ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m} \ right) \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ partial \ Omega _ {H}.}

\left(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.

Модель ткани туловища

В прямой задаче электрокардиографии туловище рассматривается как пассивный проводник, и его модель может быть получена, исходя из уравнений Максвелла под квазистатическое допущение.

Стандартная формулировка состоит из уравнения в частных производных с одним неизвестным скалярным полем, потенциалом туловища $u T {\ displaystyle u_ {T}}$ $u_{T}$ . По сути, модель торса представляет собой следующее обобщенное уравнение Лапласа

∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 в Ω T, {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 \ quad \ quad {\ text {in}} \ Omega _ {T},}

\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},

где $σ T {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {T} }$ $\mathbf {\sigma } _{T}$ - тензор проводимости, а $Ω T {\ displaystyle \ Omega _ {T}}$ $\ Omega _{T}$ - область, окружающая сердце, то есть торс человека.

Вывод

Что касается модели бидомена, модель туловища может быть получена из уравнений Максвелла и уравнения неразрывности после некоторых предположений. Прежде всего, поскольку электрическая и магнитная активность внутри тела создается на низком уровне, можно рассмотреть квазистатическое допущение. Таким образом, тело можно рассматривать как пассивный проводник, что означает, что его емкостным, индуктивным и распространяющим эффектом можно пренебречь.

В квазистатическом предположении уравнения Максвелла имеют вид

{∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ × E знак равно 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × B = μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \\\ nabla \ times \ mathbf {E} = 0 \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {cases}}}

{\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} =0\\\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}

и уравнение неразрывности имеет вид

∇ ⋅ J = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0.}

\nabla \cdot \mathbf {J} =0.

Поскольку его локон равен нулю, электрическое поле может быть представлено градиентом скалярного потенциального поля, потенциалом туловища

E = - ∇ u T {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla u_ {T} }

\mathbf {E} =-\nabla u_{T}

(1)

где отрицательный знак означает, что ток течет из областей с более высоким потенциалом в области с более низким потенциалом.

Затем общая плотность тока может быть выражена через ток проводимости и другие различные приложили токи так, чтобы, из уравнения неразрывности,

∇ ⋅ J = ∇ ⋅ (J app + σ TE) = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = \ nabla \ cdot (\ mathbf {J} _ {app} + \ mathbf {\ sigma} _ {T} \ mathbf {E}) = 0}

\nabla \cdot \mathbf {J} =\nabla \cdot (\mathbf {J} _{app}+\mathbf {\sigma } _{T}\mathbf {E})=0

(2)

Затем, подставив (1) в (2)

∇ ⋅ (σ T ∇ u T) Знак равно ∇ ⋅ J приложение = I v {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {app} = I_ { v}}

\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{app}=I_{v}

, в котором $I v {\ displaystyle I_ {v}}$ $I_v$ - это ток на единицу объема.

Наконец, поскольку кроме сердца нет источника тока внутри туловища, ток на единицу объема можно установить равным нулю, получив обобщенное уравнение Лапласа, которое представляет собой стандартную формулировку диффузионной проблемы внутри туловища

∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 in Ω T. {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 \ quad \ quad {\ text {in}} \ Omega _ {T}.}

\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.

Граница condition

Граничные условия учитывают свойства среды, окружающей туловище, то есть воздуха вокруг тела. Как правило, воздух имеет нулевую проводимость, что означает, что ток не может выходить за пределы туловища. Это переводится в следующем уравнении:

σ T ∇ u T ⋅ n T = 0 на Γ T {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} _ {T} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ Gamma _ {T}}

\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}

где $n T {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {T}}$ $\mathbf {n} _{T}$ - единица измерения, направленная наружу по нормали к туловищу, а $Γ T {\ displaystyle \ Gamma _ {T}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {T}}$ - граница туловища, что означает поверхность туловища.

Проводимость туловища

Обычно считается, что туловище обладает изотропной проводимостью, что означает, что ток течет одинаково во всех направлениях. Однако туловище не является пустой или однородной оболочкой, а содержит разные органы, характеризующиеся разными коэффициентами проводимости, которые могут быть получены экспериментально. Простой пример параметров проводимости туловища с учетом костей и легких представлен в следующей таблице.

Значения проводимости туловища.
$σ T легких {\ displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ text {легкие}}}$ $\sigma _{T}^{\text{lungs}}$	$σ T кости {\ displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ text {кости}}}$ $\sigma _{T}^{\text{bones}}$	$σ T оставшиеся области {\ displaystyle \ sigma _ {T} ^ {\ text {остальные области}}}$ $\sigma _{T}^{\text{remaining regions}}$
(См / см)	(См / см)	(См / см)
$2,4 × 10 - 4 {\ displaystyle 2.4 \ times 10 ^ {- 4}}$ $2.4\times 10^{-4}$	$4 × 10 - 5 {\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {- 5}}$ $4\times 10^{-5}$	$6 × 10 - 4 {\ displaystyle 6 \ times 10 ^ {- 4}}$ ${\ displaystyle 6 \ умножить на 10 ^ {- 4}}$

Модели сердце-торс

Связь между моделью электрической активности и моделью туловища достигается с помощью подходящих граничных условий на эпикарде, то есть на поверхности раздела между сердцем и туловищем.

Модель сердце-торс может быть полностью связана, если рассматривается идеальная электрическая передача между двумя доменами, или может быть разъединена, если электрическая модель сердца и модель туловища являются Они решаются отдельно с ограниченным или несовершенным обменом информацией между ними.

Полностью связанные модели сердце-торс

Полная связь между сердцем и туловищем достигается за счет идеального состояния электрической передачи между сердце и туловище. Это делается с учетом следующих двух уравнений, которые устанавливают связь между внеклеточным потенциалом и потенциалом туловища

ue = u T на Σ (σ e ∇ ue) ⋅ ne = - (σ T ∇ u T) ⋅ n T на Σ. {\ displaystyle {\ begin {align} u_ {e} = u_ {T} \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ { e}) \ cdot \ mathbf {n} _ {e} = - (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) \ cdot \ mathbf {n} _ {T} \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma. \ end {align}}}

{\begin{aligned}u_{e}=u_{T}\quad \quad {\text{on }}\Sigma \\(\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}=-(\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad \quad {\text{on }}\Sigma.\end{aligned}}

Эти уравнения обеспечивают непрерывность как потенциала, так и тока в эпикарде.

Используя эти граничные условия, Можно получить две разные полностью связанные модели сердце-торс, учитывая либо бидоменную, либо монодоменную модель электрической активности сердца. С числовой точки зрения две модели являются очень дорогими в вычислительном отношении и имеют схожие вычислительные затраты.

Альтернативные граничные условия

Граничные условия, которые представляют идеальную электрическую связь между сердцем и торсом, являются наиболее распространенными. б / у и классические. Однако между сердцем и туловищем находится перикард, мешок с двойной стенкой, содержащий серозную жидкость, которая оказывает определенное влияние на электрическую передачу. Учитывая емкость $C p {\ displaystyle C_ {p}}$ $C_{p}$ и резистивный $R p {\ displaystyle R_ {p}}$ $R_{p}$ эффект перикарда, альтернативные граничные условия, учитывающие этот эффект, могут быть сформулированы следующим образом

R p σ e ∇ ue ⋅ n = R p C p ∂ (u T - ue) ∂ t + (u T - ue) на Σ σ e ∇ ue ⋅ N = σ T ∇ u T ⋅ n на Σ {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {p} \ mathbf {\ sigma} _ {e} \ набла u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = R_ {p} C_ {p} {\ frac {\ partial (u_ {T} -u_ {e})} {\ partial t}} + (u_ { T} -u_ {e}) \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma \\\ mathbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = \ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma \ end {align}}}

{\begin{aligned}R_{p}\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad {\text{on }}\Sigma \\\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad {\text{on }}\Sigma \end{aligned}}

Формулировка с использованием биддомена модель

Модель полностью связанного сердца и туловища, учитывая модель бидомена для электрической активности сердца, в ее полной форме составляет

{∇ ⋅ (σ i ∇ V m) + ∇ ⋅ (σ i ∇ ue) = A m (C m ∂ V m ∂ t + I ion (V m, w)) + I app в Ω H ∇ ⋅ ((σ i + σ e) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ i ∇ V m) = 0 в Ω H ∂ w ∂ t + g (V m, w) = 0 в Ω H ∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 в Ω T (σ i ∇ V m) ⋅ n + (σ i ∇ ue) ⋅ n = 0 на Σ ue = u T на Σ (σ e ∇ ue) ⋅ N знак равно (σ T ∇ U T) ⋅ N на Σ (σ T ∇ U T) ⋅ N = 0 на Γ T {\ displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e}) = A_ {m} \ left (C_ {m} {\ frac {\ частичное V_ {m}} {\ partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) \ right) + I_ {app} {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\\ набла \ cdot \ left ((\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\ {\ frac {\ partial w} {\ partial {t}}} + g (V_ {m }, w) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\\ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 {\ text {in }} \ Omega _ {T} \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) \ cdot \ mathbf {n} + (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e}) \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Sigma \\ u_ {e} = u_ {T} {\ text {on}} \ Sigma \\ (\ m athbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ {e}) \ cdot \ mathbf {n} = (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) \ cdot \ mathbf {n} {\ text {on}} \ Sigma \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Gamma _ {T } \ end {ases}}}

{\begin{cases}\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{ion}(V_{m},w)\right)+I_{app}{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0{\text{in }}\Omega _{T}\\(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e})\cd ot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Sigma \\u_{e}=u_{T}{\text{on }}\Sigma \\(\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =(\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} {\text{on }}\Sigma \\(\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}

где первые четыре уравнения являются уравнениями в частных производных, представляющими двухдоменную модель, ионную модель и модель туловища, а остальные представляют собой граничные условия для модели бидомена и туловища и условия связи между ними.

Формулировка с использованием монодоменной модели

Полностью связанная модель сердце-торс с учетом монодоменной модели для электрической активности сердце сложнее, чем проблема бидомена. Действительно, условия сцепления связывают потенциал туловища с внеклеточным потенциалом, который не рассчитывается с помощью модели монодомена. Таким образом, необходимо также использовать второе уравнение бидоменной модели (при тех же предположениях, при которых выводится модель монодоменной области), что дает:

∇ ⋅ ((σ i + σ e) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ i ∇ V m) = 0 в Ω H. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ((\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 \ quad \ quad {\ text {in}} \ Omega _ {H}.}

\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.

Таким образом, условия связывания не должны быть изменена, и полная модель сердце-туловище состоит из двух разных блоков:

Сначала необходимо решить монодоменную модель с ее обычным граничным условием:

{χ C m ∂ V m ∂ t - ∇ ⋅ (σ i λ 1 + λ ∇ V m) + χ I ion = I app в Ω H (σ i ∇ V m) ⋅ n = 0 на ∂ Ω H. {\ displaystyle {\ begin {case} \ chi C_ {m} {\ frac {\ partial V_ {m}} {\ partial t}} - \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla V_ {m} \ right) + \ chi I_ {ion} = I_ {app} {\ text {in}} \ Omega _ {H} \ \\ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m} \ right) \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega _ {H}. \ end {case}}}

{\begin{cases}\chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(\mathbf {\sigma } _{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{ion}=I_{app}{\text{in }}\Omega _{H}\\\left(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}

Затем необходимо решить связанную модель, которая включает вычисление внеклеточного потенциала, модель туловища и условия связи:

{∇ ⋅ ((σ i + σ e) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ i ∇ V m) = 0 в Ω H ∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 в Ω T σ T ∇ u T ⋅ n = 0 на Γ T ue = u T на Σ (σ e ∇ уэ) ⋅ N знак равно (σ T ∇ U T) ⋅ N на Σ {\ Displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot \ left ((\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma } _ {e}) \ nabla u_ {e} \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\\ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {T} \\\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Gamma _ {T} \\ u_ {e} = u_ {T} {\ text {on}} \ Sigma \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ {e}) \ cdot \ mathbf {n } = (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) \ cdot \ mathbf {n} {\ text {on}} \ Sigma \ end {cases}}}

{\begin{cases}\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0{\text{in }}\Omega _{T}\\\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}{\text{on }}\Sigma \\(\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =(\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} {\text{on }}\Sigma \end{cases}}

Несвязанное сердце- модели торса

Полностью связанные модели сердце-торс - очень подробные модели, но их решение требует больших вычислительных ресурсов. Возможное упрощение обеспечивается так называемым несвязанным допущением, в котором сердце считается полностью электрически изолированным от сердца. Математически это делается так, чтобы ток не мог течь через эпикард, от сердца к туловищу, а именно

σ e ∇ u e ⋅ n = 0 на Σ. {\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ Sigma.}

\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma.

Применение этого уравнения к При граничных условиях полностью связанных моделей можно получить две несвязанные модели сердце-торс, в которых электрические модели могут быть решены отдельно от модели торса, что снижает вычислительные затраты.

Несвязанная модель сердце-торс с моделью бидомена

Несвязанная версия полностью связанной модели сердце-торс, которая использует бидомен для представления электрической активности сердца, состоит из двух отдельных частей:

модель бидомена в изолированном виде

{∇ ⋅ (σ i ∇ V m) + ∇ ⋅ (σ i ∇ ue) = A m (C m ∂ V m ∂ t + I ion (V m, w)) + I app в Ω H ∇ ⋅ ((σ i + σ e) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ i ∇ V m) = 0 в Ω H ∂ w ∂ t + g (V m, w) = 0 в Ω H (σ i ∇ V m) ⋅ n + (σ i ∇ ue) ⋅ n = 0 на Σ σ e ∇ ue ⋅ n = 0 на Σ. {\ displaystyle {\ begin {case} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e}) = A_ {m} \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial V_ {m}} {\ partial t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) \ right) + I_ {app} {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\\ nabla \ cdot \ left ((\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\ { \ frac {\ partial w} {\ partial {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) \ cdot \ mathbf {n} + (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla u_ {e}) \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on }} \ Sigma \\\ mathbf {\ sigma} _ {e} \ nabla u_ {e} \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Sigma. \ End {cases}}}

{\displayst yle {\begin{cases}\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{ion}(V_{m},w)\right)+I_{app}{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0{\text{in }}\Omega _{H}\\(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Sigma \\\mathbf {\sigma } _{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Sigma.\end{cases}}}

Модель диффузии туловища в ее стандартной формулировке с условием непрерывности потенциала

{∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 в Ω T σ T ∇ u T ⋅ n = 0 на Γ T u T = ue на Σ {\ displaystyle {\ begin {case} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {T} \\\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Gamma _ {T} \\ u_ {T} = u_ {e} {\ text {on}} \ Sigma \ \\ end {cases}}}

{\begin{cases}\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0{\text{in }}\Omega _{T}\\\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}{\text{on }}\Sigm a \\\end{cases}}

Несвязанная модель сердце-торс с моделью модомена

Как и в случае полностью связанной модели сердце-торс, которая использует монодоменную модель, также в соответствующей несвязанной модели внеклеточный потенциал необходимо вычислить. В этом случае необходимо решить три разные и независимые задачи:

Модель монодоменной области с ее обычным граничным условием:

{χ C m ∂ V m ∂ t - ∇ ⋅ (σ i λ 1 + λ ∇ V m) + χ I ion = I app в Ω H (σ i ∇ V m) ⋅ n = 0 на ∂ Ω H. {\ displaystyle {\ begin {case} \ chi C_ {m} {\ frac {\ partial V_ {m}} {\ partial t}} - \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla V_ {m} \ right) + \ chi I_ {ion} = I_ {app} {\ text {in}} \ Omega _ {H} \ \\ left (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m} \ right) \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega _ {H}. \ end {case}}}

{\begin{cases}\chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(\mathbf {\sigma } _{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{ion}=I_{app}{\text{in }}\Omega _{H}\\\left(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}

Задача для вычисления внеклеточного потенциала с граничным условием на эпикарде, предписывающим отсутствие внутриклеточного тока:

{∇ ⋅ ((σ i + σ e) ∇ ue) + ∇ ⋅ (σ я ∇ В м) знак равно 0 в Ω ЧАС (σ я + σ е) ∇ UE ⋅ N = - (σ я ∇ В м) ⋅ N на Σ {\ Displaystyle {\ begin {cases} \ nabla \ cdot \ left ( (\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e} \ right) + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {H} \\ (\ mathbf {\ sigma} _ {i} + \ mathbf {\ sigma} _ {e}) \ nabla u_ {e } \ cdot \ mathbf {n} = - (\ mathbf {\ sigma} _ {i} \ nabla V_ {m}) \ cdot \ mathbf {n} {\ text {on}} \ Sigma \ end {case} }}

{\begin{cases}\nabla \cdot \left((\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})=0{\text{in }}\Omega _{H}\\(\mathbf {\sigma } _{i}+\mathbf {\sigma } _{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\sigma } _{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} {\text{on }}\Sigma \end{cases}}

Диффузионная модель туловища с потенциальным конт. граничное условие inuity на эпикарде:

{∇ ⋅ (σ T ∇ u T) = 0 в Ω T σ T ∇ u T ⋅ n = 0 на Γ T u T = ue на Σ {\ displaystyle {\ begin { case} \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ sigma} _ {T} \ nabla u_ {T}) = 0 {\ text {in}} \ Omega _ {T} \\\ mathbf {\ sigma} _ {T } \ nabla u_ {T} \ cdot \ mathbf {n} = 0 {\ text {on}} \ Gamma _ {T} \\ u_ {T} = u_ {e} {\ text {on}} \ Sigma \\\ end {cases}}}

{\begin{cases}\nabla \cdot (\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T})=0{\text{in }}\Omega _{T}\\\mathbf {\sigma } _{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}{\text{on }}\Sigm a \\\end{cases}}

Расчет электрокардиограммы

Прекардиальные отведения на ЭКГ

Решение полностью связанных или несвязанных моделей сердце-торс позволяет получить электрический потенциал, генерируемый сердцем в каждой точке туловище человека, и в частности на всей поверхности туловища. Определив положение электродов на туловище, можно определить временную эволюцию потенциала в таких точках. Затем можно вычислить электрокардиограммы, например, в соответствии с 12 стандартными отведениями, учитывая следующие формулы

{I = u T (L) - u T (R) II = u T (F) - u T (R) III = u T (F) - u T (L) a VR = 3 2 (u T (R) - uw) a VL = 3 2 (u T (L) - uw) a VF Знак равно 3 2 (u T (F) - uw) V i = u T (V i) - uwi = 1,…, 6 {\ displaystyle {\ begin {cases} I = u_ {T} (L) -u_ { T} (R) \\ II = u_ {T} (F) -u_ {T} (R) \\ III = u_ {T} (F) -u_ {T} (L) \\ aVR = {\ frac {3} {2}} (u_ {T} (R) -u_ {w}) \\ aVL = {\ frac {3} {2}} (u_ {T} (L) -u_ {w}) \ \ aVF = {\ frac {3} {2}} (u_ {T} (F) -u_ {w}) \\ V_ {i} = u_ {T} (V_ {i}) - u_ {w} \ quad i = 1, \ dots, 6 \ end {cases}}}

{\begin{cases}I=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\II=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\III=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\aVR={\fr ac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\aVL={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\aVF={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\V_{i}=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots,6\end{cases}}

где $u W = (u T (L) + u T (R) + u T (F)) / 3 {\ displaystyle u_ {W} = (u_ {T} (L) + u_ {T} (R) + u_ {T} (F)) / 3}$ ${\ displaystyle u_ {W} = (u_ {T} (L) + u_ {T} (R) + u_ {T} (F)) / 3}$ и $L, R, F, {V i} i = 1,…, 6 {\ displaystyle L, R, F, \ {V_ {i} \} _ {i = 1, \ dots, 6}}$ $L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1,\dots,6}$ - стандартные местоположения электродов.

Численные методы

Модели сердце-торс выражаются в виде частичного диаметра дифференциальные уравнения, неизвестные которых зависят как от пространства, так и от времени. Они, в свою очередь, связаны с ионной моделью, которая обычно выражается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения этих задач можно использовать различные численные схемы. Обычно для дискретизации по пространству применяется метод конечных элементов, а для дискретизации по времени используются полунеявные конечно-разностные схемы.

Несвязанная модель сердце-торс проще всего обрабатывать численно поскольку электрическая модель сердца может быть решена отдельно от модели туловища, поэтому для решения каждой из них могут применяться классические численные методы. Это означает, что бидоменная и монодоменная модели могут быть решены, например, с помощью формулы обратного дифференцирования для дискретизации по времени, в то время как проблемы вычисления внеклеточного потенциала и потенциала туловища могут быть легко решены с помощью только конечного элемента метод, потому что они не зависят от времени.

Полностью связанные модели сердце-торс, напротив, более сложны и требуют более сложных численных моделей. Например, модель полностью сердце-туловище, в которой используется бидоменная модель для электрического моделирования сердечного поведения, может быть решена с использованием методов декомпозиции домена, таких как декомпозиция домена Дирихле-Неймана.

Геометрическая модель туловища

Трехмерная модель туловища, включающая большинство органов.

Для моделирования и электрокардиограммы с использованием полностью связанных или несвязанных моделей необходима трехмерная реконструкция человеческого торса. Сегодня методы диагностической визуализации, такие как МРТ и КТ, могут обеспечить достаточно точные изображения, которые позволяют детально реконструировать анатомические части человека и, таким образом, получить подходящую геометрию туловища. Например, Visible Human Data - полезный набор данных для создания трехмерной модели туловища с подробными сведениями о внутренних органах, включая структуру скелета и мышцы.

Динамическая модель для электрокардиограммы

Даже если результаты достаточно подробны, решение трехмерной модели обычно довольно дорогое. Возможным упрощением является динамическая модель, основанная на трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнениях.

. Квазипериодичность сердечных сокращений воспроизводится трехмерной траекторией вокруг предельного цикла притяжения в $(x, y) { \ displaystyle (x, y)}$ $(x,y)$ плоскость. Основные пики ЭКГ, а именно P, Q, R, S и T, описываются под фиксированными углами $θ P, θ Q, θ R, θ S и θ T {\ displaystyle \ theta _ {P }, \ theta _ {Q}, \ theta _ {R}, \ theta _ {S} {\ text {и}} \ theta _ {T}}$ $\theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}$ , которые дают следующие три ОДУ

{x ′ = α z - ω yy ′ = α y + ω xz ′ = - ∑ i ∈ {P, Q, R, S, T} ai Δ θ i exp (- Δ θ i 2 2 bi 2) - (z - z 0) {\ displaystyle {\ begin {case} x '= \ alpha z- \ omega y \\ y' = \ alpha y + \ omega x \\ z '= - \ sum _ { i \ in \ {P, Q, R, S, T \}} a_ {i} \ Delta \ theta _ {i} {\ text {exp}} \ left (- {\ frac {\ Delta \ theta _ { i} ^ {2}} {2b_ {i} ^ {2}}} \ right) - (z-z_ {0}) \ end {cases}}}

{\begin{cases}x'=\alpha z-\omega y\\y'=\alpha y+\omega x\\z'=-\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\frac {\Delta \theta _{i}^{2}}{2b_{i}^{2}}}\right)-(z-z_{0})\end{cases}}

с $α = 1 - x 2 + Y 2 {\ Displaystyle \ альфа = 1 - {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ $\alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , $Δ θ i = (θ - θ i) mod (2 π) {\ displaystyle \ Дельта \ theta _ {я} = (\ theta - \ theta _ {i}) {\ text {mod}} (2 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ Delta \ theta _ {i} = (\ theta - \ theta _ {i}) {\ text {mod}} (2 \ pi)}$ , $θ = atan 2 (y, x) {\ displaystyle \ theta = {\ text {atan}} 2 (y, x)}$ $\theta ={\text{atan}}2(y,x)$

Уравнения можно легко решить с помощью классических численных алгоритмов, таких как методы Рунге-Кутты для ОДУ.

См. Также

Ссылки