Распределение Эрланга

редактировать

Эрланг
Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$k ∈ {1, 2, 3,…}, {\ displaystyle k \ in \ {1,2,3, \ ldots \},}$ ${\ displaystyle k \ in \ {1,2,3, \ ldots \},}$ shape. $λ ∈ (0, ∞), {\ displaystyle \ lambda \ in (0, \ infty),}$ ${ \ displaystyle \ lambda \ in (0, \ infty),}$ скорость. alt.: $μ = 1 / λ, {\ displaystyle \ mu = 1 / \ lambda,}$ ${\ displaystyle \ mu = 1 / \ lambda,}$ scale
Support	$Икс ∈ [0, ∞) {\ Displaystyle х \ в [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$
PDF	$λ kxk - 1 e - λ x (k - 1)! {\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x}} {(k-1)!}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x}} { (k-1)!}}}$
CDF	$P (k, λ x) = γ (k, λ x) (k - 1)! Знак равно 1 - ∑ N знак равно 0 К - 1 1 N! е - λ Икс (λ Икс) N {\ Displaystyle P (к, \ лямбда х) = {\ гидроразрыва {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}} = 1- \ сумма _ {n = 0} ^ {k-1} {\ frac {1} {n!}} e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {n}}$ ${\ displaystyle P (k, \ lambda x) = {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}} = 1- \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} {\ frac {1} {n!}} E ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {n}}$
Среднее	$k λ { \ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}}$ ${ \ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}}$
Медиана	Нет простой закрытой формы
Режим	$1 λ (k - 1) {\ displaystyle {\ frac {1} {\ лямбда}} (k-1)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ лямбда}} (k-1)}$
Дисперсия	$k λ 2 {\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda ^ {2}}}}$
Асимметрия	$2 k {\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {k}}}}$
Пример. эксцесс	$6 к {\ displaystyle {\ frac {6} {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {k}}}$
Энтропия	$(1 - k) ψ (k) + ln ⁡ [Γ (k) λ] + k {\ displaystyle (1-k) \ psi (k) + \ ln \ left [{\ frac {\ Gamma (k)} {\ lambda}} \ right] + k}$ ${\ displaystyle (1-k) \ psi (k) + \ ln \ left [{\ frac {\ Gamma (k)} {\ lambda}} \ right] + k}$
MGF	$(1 - t λ) - k {\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$ для $t < λ {\displaystyle t<\lambda }$ ${\ displaystyle t <\ lambda}$
CF	$(1 - it λ) - k { \ displaystyle \ left (1 - {\ frac {it} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$ ${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {it} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$

Распределение Эрланга - это двухпараметрическое семейство непрерывных распределения вероятностей с поддержкой $x ∈ [0, ∞) {\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$ . Двумя параметрами являются:

положительное целое число $k, {\ displaystyle k,}$ $k,$ «форма» и
положительное вещественное число $λ, { \ displaystyle \ lambda,}$ ${\ displaystyle \ lambda,}$ «скорость». Вместо этого иногда используется "масштаб", $μ, {\ displaystyle \ mu,}$ $\ mu,$ , обратная скорости.

Распределение Эрланга с параметром формы $k = 1 { \ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ упрощается до экспоненциального распределения. Это частный случай гамма-распределения. Это распределение суммы $k {\ displaystyle k}$ $k$ независимых экспоненциальных переменных со средним значением $1 / λ {\ displaystyle 1 / \ lambda}$ $1 / \ lambda$ каждый.

Распределение Эрланга было разработано А. К. Эрланг для проверки количества телефонных звонков, которые могут быть сделаны одновременно операторам коммутационных станций. Эта работа по организации телефонного трафика была расширена с учетом времени ожидания в системах очередей в целом. Распределение также используется в области случайных процессов.

Содержание

1 Характеристика
- 1.1 Функция плотности вероятности
- 1.2 Кумулятивная функция распределения (CDF)
- 1.3 Медиана
2 Создание Случайные переменные, распределенные по Эрлангу
3 Приложения
- 3.1 Время ожидания
- 3.2 Другие приложения
4 Свойства
5 Связанные распределения
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Характеристика

Функция плотности вероятности

функция плотности вероятности распределения Эрланга равна

f (x; k, λ) = λ kxk - 1 e - λ x (к - 1)! Икс, λ ≥ 0, {\ Displaystyle е (х; к, \ lambda) = {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x} \ over (k-1)! } \ quad {\ t_dv {for}} x, \ lambda \ geq 0,}

f (x; k, \ lambda) = {\ lambda ^ {k} x ^ {{k-1}} e ^ {{- \ lambda x} } \ over (k-1)!} \ quad {\ t_dv {for}} x, \ lambda \ geq 0,

Параметр k называется параметром формы, а параметр $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ называется параметром скорости.

Альтернативная, но эквивалентная параметризация использует параметр масштаба $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ , который является обратной величиной параметра скорости (т. Е. $μ = 1 / λ {\ displaystyle \ mu = 1 / \ lambda}$ $\ mu = 1 / \ lambda$ ):

f (x; k, μ) = xk - 1 e - x μ μ k (k - 1)! для x, μ ≥ 0. {\ Displaystyle f (x; k, \ mu) = {\ frac {x ^ {k-1} e ^ {- {\ frac {x} {\ mu}}}} {\ mu ^ {k} (k-1)!}} \ quad {\ t_dv {for}} x, \ mu \ geq 0.}

f (x; k, \ mu) = {\ frac {x ^ {{k-1}} e ^ {{- {\ frac {x} {\ mu}}}}}} { \ mu ^ {k} (k-1)!}} \ quad {\ t_dv {for}} x, \ mu \ geq 0.

Если параметр масштаба $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ равно 2, распределение упрощается до распределения хи-квадрат с 2k степенями свободы. Следовательно, его можно рассматривать как обобщенное распределение хи-квадрат для четного числа степеней свободы.

Кумулятивная функция распределения (CDF)

Кумулятивная функция распределения распределения Эрланга:

F (x; k, λ) = P (k, λ) х) = γ (к, λ х) (к - 1)!, {\ Displaystyle F (Икс; К, \ лямбда) = Р (к, \ лямбда х) = {\ гидроразрыва {\ гамма (к, \ лямбда х)} {(к-1)!}},}

{\ Displaystyle F (х; к, \ лямбда) = п (к, \ лямбда х) = {\ гидроразрыва {\ гамма (к, \ лямбда х)} {(к-1)! }},}

где $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - нижняя неполная гамма-функция, а $P {\ displaystyle P}$ $P$ - нижняя регуляризованная гамма-функция. CDF также может быть выражен как

F (x; k, λ) = 1 - ∑ n = 0 k - 1 1 n! е - λ x (λ x) n. {\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = 1- \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} {\ frac {1} {n!}} e ^ {- \ lambda x} (\ лямбда x) ^ {n}.}

F (x; k, \ lambda) = 1- \ sum _ { {n = 0}} ^ {{k-1}} {\ frac {1} {n!}} e ^ {{- \ lambda x}} (\ lambda x) ^ {n}.

Медиана

Известно асимптотическое разложение для медианы распределения Эрланга, для которого можно вычислить коэффициенты и известны границы. Приближение: $k λ (1–1 3 k + 0,2), {\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \ left (1 - {\ dfrac {1} {3k + 0,2}} \ справа),}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \ left (1 - {\ dfrac {1} {3k + 0.2}} \ right),}$ т.е. ниже среднего $k λ. {\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}.}$

Генерация случайных величин, распределенных по Эрлангу

Случайные величины, распределенные по Эрлангу, можно сгенерировать из равномерно распределенных случайных чисел ( $U ∈ (0, 1] {\ displaystyle U \ in (0,1]}$ $U \ in (0,1]$ ) по следующей формуле:

E (k, λ) ≈ - 1 λ ln ⁡ ∏ i = 1 k U i {\ displaystyle E (k, \ lambda) \ приблизительно - {\ frac {1} {\ lambda}} \ ln \ prod _ {i = 1} ^ {k} U_ {i}}

E (k, \ lambda) \ приблизительно - {\ frac {1} \ lambda} \ ln \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} U _ {{i}}

Приложения

Время ожидания

События, которые происходят независимо с некоторой средней скоростью, моделируются с помощью пуассоновского процесса. Время ожидания между k появлением события распределяется по Эрлангу (связанный вопрос количества событий за заданный промежуток времени описывается распределением Пуассона.)

Распределение Эрланга, которое измеряет время между входящими вызовами, может использоваться в сочетании с ожидаемая продолжительность входящих вызовов для получения информации о загруженности трафика, измеряемой в эрлангах. Это можно использовать для определения вероятности потери или задержки пакета в соответствии с различными предположениями о том, прерываются ли заблокированные вызовы (формула Эрланга B) или ставятся в очередь до обслуживания (формула Эрланга C). Формулы Erlang-B и C до сих пор ежедневно используются для моделирования трафика для таких приложений, как проектирование центров обработки вызовов.

других приложений

Распределение по возрасту рака заболеваемости часто следует распределению Эрланга, тогда как параметры формы и масштаба предсказывают, соответственно, количество событий водителя и временной интервал между их. В более общем плане распределение Эрланга было предложено как хорошее приближение распределения времени цикла ячеек в результате многоступенчатых моделей.

Оно также использовалось в экономике бизнеса для описания времени между покупками.

Свойства

Если $X ∼ Erlang ⁡ (k, λ) {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$ , то $a ⋅ X ∼ Эрланг ⁡ (к, λ a) {\ displaystyle a \ cdot X \ sim \ operatorname {Erlang} \ left (k, {\ frac {\ lambda} {a}} \ right)}$ ${\ displaystyle a \ cdot X \ sim \ operatorname {Erlang} \ left (k, {\ frac {\ lambda} {a}} \ right)}$ с $a ∈ R {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ $a \ in {\ mathbb {R}}$
Если $X ∼ Erlang ⁡ (k 1, λ) {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1}, \ lambda)}$ и $Y ∼ Erlang ⁡ (k 2, λ) {\ displaystyle Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {2}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {2}, \ lambda)}$ затем $X + Y ∼ Erlang ⁡ (k 1 + k 2, λ) {\ displaystyle X + Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1} + k_ {2}, \ lambda)}$ ${\ displaystyle X + Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1} + k_ {2}, \ lambda)}$

Связанные распределения

Распределение Эрланга - это распределение суммы k независимых и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение. Долгосрочная скорость, с которой происходят события, является обратной величиной ожидания X, {\ displaystyle X,}, то есть λ / k. {\ displaystyle \ lambda / k.}Частота (возрастных событий) распределения Эрланга для k>1, {\ displaystyle k>1,}монотонный в x, {\ displaystyle x,}увеличивается от 0 при x = 0, {\ displaystyle x = 0,}до λ {\ displaystyle \ lambda}as x {\ displaystyle x}стремится к бесконечности.
- То есть: если $X i ∼ Exponential ⁡ (λ), {\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda),}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda),}$ , затем $∑ i = 1 k X i ∼ Erlang ⁡ (k, λ) {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} {X_ {i}} \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {k} {X_ {i}} \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$
Из-за факториальной функции в знаменателе PDF и CDF, распределение Эрланга определяется только тогда, когда параметр k является положительным целым числом. Фактически, это распределение иногда называют Эрланг-k распределение (например, распределение Эрланга-2 является распределением Эрланга с k = 2 {\ displaystyle k = 2}). Гамма-распределение обобщает распределение Эрланга, позволяя k быть любым положительным вещественным числом, используя гамма-функцию вместо факториальной функции.
- То есть: если k является целым числом и $X ∼ Gamma ⁡ (k, λ), {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Gamma} (k, \ lambda),}$ ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Gamma} (k, \ lambda),}$ , тогда $X ∼ Erlang ⁡ (k, λ) {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$ ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$
Если $U ∼ Exponential ⁡ (λ) {\ displaystyle U \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle U \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda)}$ и $V ∼ Erlang ⁡ (n, λ) {\ displaystyle V \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$ ${\ displaystyle V \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$ , затем $UV + 1 ∼ Pareto ⁡ (1, n) {\ displaystyle {\ frac {U} {V}} + 1 \ sim \ operatorname {Pareto} (1, n)}$ ${\ displaystyle {\ frac {U} {V}} + 1 \ sim \ operatorname {Pareto} (1, n)}$
Распределение Эрланга является частным случаем распределения Пирсона типа III
Распределение Эрланга связано с распределением хи-квадрат. Если $X ∼ Erlang ⁡ (k, λ), {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda),}$ ${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda),}$ , то $2 λ X ∼ χ 2 k 2. {\ displaystyle 2 \ lambda X \ sim \ chi _ {2k} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle 2 \ lambda X \ sim \ chi _ {2k} ^ {2}.}$
Распределение Эрланга связано с распределением Пуассона посредством процесса Пуассона : Если $S n = ∑ i = 1 n X i {\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ ${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ такой, что $Икс я ∼ экспоненциальный ⁡ (λ), {\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda),}$ ${\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponential} (\ lambda),}$ , затем $S n ∼ Erlang ⁡ (n, λ) { \ Displaystyle S_ {n} \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$ ${\ displaystyle S_ {n} \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$ и $Pr ⁡ (N (x) ≤ n - 1) = Pr ⁡ (S n>x) = 1 - FX (х; N, λ) = ∑ К знак равно 0 N - 1 1 К! е - λ x (λ x) k. {\ displaystyle \ operatorname {Pr} (N (x) \ leq n-1) = \ operatorname {Pr} (S_ {n}>x) = 1-F_ {X} (x; n, \ lambda) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {k!}} e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {k}.}$ $\operatorname {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x) = 1-F_ {X} (x; n, \ lambda) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {k!}} E ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {k}.$ Если взять различия в $n {\ displaystyle n}$ $n$ , получим распределение Пуассона.

См. Также

Примечания

^Чой, К.П. (1994). «О медианах гамма-распределений и уравнении Рамануджана». Proceedings of the American Mathematical Society. 121 : 245–251. doi : 10.1090 / S0002-9939-1994-1195477-8. JSTOR 2160389.
^Adell, JA; Jodrá, P. (2007). «Об уравнении Рамануджана соедините с медианой гамма-распределения ". Труды Американского математического общества. 360 (7): 3631. doi : 10.1090 / S0002-9947-07-04411-X.
^Йодра, П. (2012). «Вычисление асимптотического разложения медианы распределения Эрланга». Математическое моделирование и анализ. 17 (2): 281–292. doi : 10.3846 / 13926292.2012.664571.
^Баннехека, BMSG; Эканаяке, GEMUPD (2009). «Новая точечная оценка медианы гамма-распределения». Viyodaya J Science. 14 : 95–103.
^Resa. «Статистические распределения - Распределение Эрланга - Генератор случайных чисел». www.xycoon.com. Дата обращения 4 апреля 2018 г.
^Беликов Алексей В. (22 сентября 2017 г.). «Количество ключевых канцерогенных событий можно предсказать по заболеваемости раком». Научные отчеты. 7 (1). DOI : 10.1038 / s41598-017-12448-7. PMC 5610194. PMID 28939880.
^Йейтс, Кристиан А. (21 апреля 2017 г.). «Многоступенчатое представление клеточной пролиферации как марковского процесса». Вестник математической биологии. 79 (1): 2905–2928. doi : 10.1007 / s11538-017-0356-4.
^Гаваньин, Энрико (14 октября 018 г.). «Скорость вторжения моделей миграции клеток с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии. 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140. doi : 10.1016 / j.jtbi.2018.09.010.
^C. Чатфилд и Г.Дж. Гудхардт: «Модель потребительских закупок с учетом времени межпокупок в Эрланге»; Журнал Американской статистической ассоциации, декабрь 1973 г., том 68, стр. 828-835
^Кокс, Д. (1967) Теория обновления, стр. 20, Метуэн.

Ссылки

Ян Ангус «Введение в Erlang B и Erlang C», Telemanagement # 187 (документ PDF - содержит термины и формулы, а также краткую биографию)
Стюарт Харрис «Вычисления Erlang против моделирования»

Внешние ссылки