Эффективный потенциал

эффективный потенциал (также известный как эффективная потенциальная энергия ) объединяет несколько, возможно, противоположных эффектов в единый потенциал. В своей основной форме это сумма «противоположной» центробежной потенциальной энергии с потенциальной энергией динамической системы. Его можно использовать для определения орбит планет (как ньютоновских, так и релятивистских ) и для выполнения полуклассических атомных вычислений, и часто позволяет уменьшить проблемы к меньшему размерам.

• 1 Определение
• 2 Важные свойства
• 3 Гравитационный потенциал
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Эффективный потенциал. E>0 гипербола и A 1 - перицентр, E = 0 парабола и A 2 - перицентр, E <0 ellipse and A3- перицентр, A 3 '- апоцентр, E = E min окружность и A 4 радиус. Точки A 1,..., A 4 называются точками поворота.

Основная форма потенциала $U\; eff\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\; \}\}$определяется как:

$U\; eff\; (r)\; =\; L\; 2\; 2\; \mu \; r\; 2\; +\; U\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; mu\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$,

где

L - угловой момент

r - расстояние между двумя массами;

;

; μ - приведенная масса двух тел (примерно равна массе движущегося на орбите тела, если одна масса намного больше другой); и

U (r) - общая форма потенциала.

Тогда эффективная сила - это отрицательный градиент эффективного потенциала:

$F\; eff\; Знак\; равно\; -\; \nabla \; U\; эфф\; (г)\; знак\; равно\; L\; 2\; \mu \; р\; 3\; р\; ^\; -\; \nabla \; U\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; =\; -\; \backslash \; nabla\; U\_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mu\; r\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$где $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\}$обозначает единичный вектор в радиальном направлении.

Эффективный потенциал обладает множеством полезных свойств, таких как

$U\; эфф\; \le \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; \backslash \; leq\; E\}$.

Чтобы найти радиус круговой орбиты, просто минимизируйте эффективный потенциал относительно $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$или, что то же самое, установите чистую силу на ноль и затем решите для $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$:

$d\; U\; eff\; dr\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dU\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{dr\}\}\; =\; 0\}$

После решения для $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$, подключите это обратно к $U\; eff\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}$, чтобы найти максимальное значение эффективный потенциал $U\; eff\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\}$.

Круговая орбита может быть стабильной или нестабильной. Если он нестабилен, небольшое возмущение может дестабилизировать орбиту, но устойчивая орбита более устойчива. Чтобы определить устойчивость круговой орбиты, определите вогнутость эффективного потенциала. Если вогнутость положительная, орбита стабильна:

$d\; 2\; U\; eff\; dr\; 2>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \}>0\}$

Частота малых колебаний, согласно основному анализу гамильтониана, составляет

$\omega \; =\; U\; eff\; ″\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; \text{'}\text{'}\}\; \{m\}\}\}\}$,

где двойной штрих указывает вторую производную эффективного потенциала относительно $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, и она вычисляется как минимум.

Визуализация эффективного потенциала в плоскости, содержащей орбиту (модель серого резинового листа с фиолетовыми контурами равного потенциала), точки Лагранжа ( красный) и планета (синий), вращающаяся вокруг звезды (желтый)

Рассмотрим частицу массы m, вращающуюся вокруг гораздо более тяжелого объекта массы M. Предположим, ньютоновская механика, который является одновременно классическим и нерелятивистским. Сохранение энергии и углового момента дает две константы E и L, которые имеют значения

$E\; =\; 1\; 2\; m\; (r\; \dot{}\; 2\; +\; r\; 2\; \varphi \; \dot{}\; 2)\; -\; G\; m\; M\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GmM\}\; \{r\}\},\}$

$L\; =\; mr\; 2\; \varphi \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; mr\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; \backslash ,\}$

когда движение большей массы незначительно. В этих выражениях

$r\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\}$- производная от r по времени,

$\varphi \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\; \}\}\}$- угловая скорость массы m,

G - гравитационная постоянная,,

E - полная энергия, и

L - угловой момент.

Требуются только две переменные, поскольку движение происходит в плоскости. Подстановка второго выражения в первое и перестановка дает

$mr\; \dot{}\; 2\; =\; 2\; E\; -\; L\; 2\; mr\; 2\; +\; 2\; G\; m\; M\; r\; =\; 2\; E\; -\; 1\; r\; 2\; (L\; 2\; m\; -\; 2\; G\; m\; M\; r),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 2E\; -\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{mr\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2GmM\}\; \{r\}\}\; =\; 2E-\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{m\}\}\; -\; 2GmMr\; \backslash \; right),\}$

$1\; 2\; mr\; \dot{}\; 2\; =\; E\; -\; U\; eff\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; E-U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; (r),\}$

где

$U\; eff\; (r)\; =\; L\; 2\; 2\; mr\; 2\; -\; G\; m\; M\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{2\}\}\; \{2mr\; ^\; \{2\}\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GmM\}\; \{r\}\}\}$

- эффективный потенциал. Исходная проблема двух переменных была сведена к задаче с одной переменной. Для многих приложений эффективный потенциал можно рассматривать точно так же, как потенциальную энергию одномерной системы: например, энергетическая диаграмма, использующая эффективный потенциал, определяет точки поворота и местоположения стабильных и нестабильных равновесий. Аналогичный метод может использоваться в других приложениях, например, для определения орбит в общей релятивистской метрике Шварцшильда.

Эффективные потенциалы широко используются в различных подполях конденсированных сред, например потенциал ядра Гаусса (Likos 2002, Baeurle 2004) и экранированный кулоновский потенциал (Likos 2001).

• José, JV; Салетан, EJ (1998). Классическая динамика: современный подход (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63636-0..
• Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Баллауфф, М. ; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; и другие. (2002). «Гауссово эффективное взаимодействие гибких дендримеров четвертого поколения: теоретическое и экспериментальное исследование». J. Chem. Phys. 117 (4): 1869–1877. Bibcode : 2002JChPh.117.1869L. doi : 10.1063 / 1.1486209. Архивировано из оригинала 19 июля 2011 г.

• Baeurle, S.A.; Кроенер Дж. (2004). «Моделирование эффективных взаимодействий мицеллярных агрегатов ионных поверхностно-активных веществ с потенциалом ядра Гаусса». J. Math. Chem. 36 (4): 409–421. doi : 10.1023 / B: JOMC.0000044526.22457.bb.

• Ликос, К.Н. (2001). «Эффективные взаимодействия в физике мягкого конденсированного состояния». Отчеты по физике. 348 (4–5): 267–439. Bibcode : 2001PhR... 348..267L. CiteSeerX 10.1.1.473.7668. doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1.