Расстояние ближайшего сближения

редактировать

Расстояние между центрами внешне касательных объектов

Расстояние максимального сближения из двух объекты - это расстояние между их центрами, когда они касаются друг друга. Объекты могут быть геометрическими формами или физическими частицами с четко определенными границами. Расстояние наибольшего сближения иногда называют контактным расстоянием.

Для простейших объектов, сфер, расстояние наибольшего сближения - это просто сумма их радиусов. Для несферических объектов расстояние наибольшего сближения зависит от ориентации объектов, и его расчет может быть затруднен. Максимальная плотность упаковки твердых частиц, важная проблема, вызывающая постоянный интерес, зависит от расстояния до них.

Взаимодействие частиц обычно зависит от их разделения, и расстояние максимального сближения играет важную роль в определении поведения систем конденсированного состояния.

Содержание

1 Исключенный том
2 Случай двух эллипсов
3 Случай двух эллипсоидов
4 См. Также
5 Ссылки

Исключенный том

Исключенный объем частиц (объем, исключенный из центров других частиц из-за наличия одной) является ключевым параметром в таких описаниях; расстояние наибольшего сближения требуется для расчета исключенного объема. Исключенный объем для одинаковых сфер всего в четыре раза больше объема одной сферы. Для других анизотропных объектов исключенный объем зависит от ориентации, и его расчет может быть удивительно сложным. Самыми простыми формами после сфер являются эллипсы и эллипсоиды; они привлекли значительное внимание, однако их исключенный объем неизвестен. Вийяр Барон смог предоставить критерий перекрытия для двух эллипсов. Его результаты были полезны для компьютерного моделирования систем твердых частиц и для задач упаковки с использованием моделирования Монте-Карло.

Два касательных эллипса с внешней стороны

Одной анизотропной формой, исключенный объем которой можно выразить аналитически, является сфероцилиндр ; Решение этой проблемы - классическая работа Онзагера. Проблема была решена путем рассмотрения расстояния между двумя линейными сегментами, которые являются центральными линиями закрытых цилиндров. Результаты для других форм недоступны. Ориентационная зависимость расстояния наибольшего сближения имеет удивительные последствия. Системы твердых частиц, взаимодействие которых носит только энтропийный характер, могут упорядочиваться. Твердые сфероцилиндры образуют не только ориентационно упорядоченные нематические, но и позиционно упорядоченные смектические фазы. Здесь система отказывается от некоторого (ориентационного и даже позиционного) беспорядка, чтобы получить беспорядок и энтропию в другом месте.

Случай двух эллипсов

Вийяр Барон первым исследовал эту проблему, и хотя он не получил результата для расстояния наибольшего сближения, он вывел критерий перекрытия для двух эллипсов. Его результаты были полезны для изучения фазового поведения твердых частиц и для решения задачи упаковки с использованием моделирования Монте-Карло. Хотя критерии перекрытия были разработаны, аналитические решения для расстояния наибольшего сближения и местоположения точки соприкосновения стали доступны только недавно. Детали расчетов приведены в работе. Подпрограмма Fortran 90 представлена в ссылке

Процедура состоит из трех шагов:

Преобразование двух касательных эллипсов $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_{1}$ и $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ , центры которых соединены вектор $d {\ displaystyle d}$ $d$ в круг $C 1 ′ {\ displaystyle C_ {1} '}$ $C_{1}'$ и эллипс $E 2 ′ {\ displaystyle E_ {2} '}$ $E_{2}'$ , центры которого соединены вектором $d ′ {\ displaystyle d'}$ $d'$ . Окружность $C 1 ′ {\ displaystyle C_ {1} '}$ $C_{1}'$ и эллипс $E 2 ′ {\ displaystyle E_ {2}'}$ $E_{2}'$ остаются касательными после преобразование.
Определение расстояния $d ′ {\ displaystyle d '}$ $d'$ ближайшего сближения $C 1 ′ {\ displaystyle C_ {1}'}$ $C_{1}'$ и $E 2 ′ {\ displaystyle E_ {2} '}$ $E_{2}'$ аналитически. Это требует соответствующего решения уравнения четвертой степени. Вычисляется нормальное $n ′ {\ displaystyle n '}$ $n'$ .
Определение расстояния $d {\ displaystyle d}$ $d$ ближайшего сближения и местоположение точки соприкосновения $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ и $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ с помощью обратные преобразования векторов $d ′ {\ displaystyle d '}$ $d'$ и $n ′ {\ displaystyle n'}$ $n'$ .

Ввод:

длины из полуоси $a 1, b 1, a 2, b 2 {\ displaystyle a_ {1}, b_ {1}, a_ {2}, b_ {2}}$ ${ \ displaystyle a_ {1}, b_ {1}, a_ {2}, b_ {2}}$ ,
единичные векторы $k 1 { \ displaystyle k_ {1}}$ $k_{1}$ , $k 2 {\ displaystyle k_ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ вдоль основных осей обоих эллипсов и
единичный вектор $d {\ displaystyle d }$ $d$ соединение центров двух эллипсов.

Результат:

расстояние $d {\ displaystyle d}$ $d$ между центрами, когда эллипсы $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_{1}$ и $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ являются внешне касательной и
местонахождение точки контакта с учетом $k 1 {\ displaystyle k_ {1}}$ $k_{1}$ , $k 2 {\ displaystyle k_ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ .

Случай двух эллипсоидов

Рассмотрим два эллипсоида, каждый с заданной формой и ориентацией, центры которых находятся на линии с заданным направлением . Мы хотим определить расстояние между центрами, когда эллипсоиды находятся в точечном контакте снаружи. Это расстояние наибольшего сближения зависит от формы эллипсоидов и их ориентации. Аналитического решения этой проблемы нет, так как решение для расстояния требует решения полиномиального уравнения шестого порядка. Здесь разработан алгоритм для определения этого расстояния на основе аналитических результатов для расстояния максимального сближения эллипсов в 2D, который может быть реализован численно. Подробности приведены в публикациях. Подпрограммы представлены в двух форматах: Fortran90 и C.

Алгоритм состоит из трех шагов.

Построение плоскости, содержащей линию, соединяющую центры двух эллипсоидов, и нахождение уравнений эллипсов, образованных пересечением этой плоскости и эллипсоидов.
Определение расстояния максимального сближения эллипсов; то есть расстояние между центрами эллипсов, когда они находятся в точечном контакте снаружи.
Вращение плоскости до тех пор, пока расстояние наибольшего сближения эллипсов не станет максимумом. Расстояние наибольшего сближения эллипсоидов - это максимальное расстояние.

См. Также

Ссылки

^Torquato, S.; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 460 (7257): 876–879. arXiv : 0908.4107. doi : 10.1038 / nature08239. ISSN 0028-0836. PMID 19675649. S2CID 52819935.
^T.L. Хилл, Введение в статистическую термодинамику (Аддисон-Уэсли, Лондон, 1960)
^Т.А. Виттен, П.А. Пинкус, Структурированные жидкости (Oxford University Press, Oxford, 2004)
^Силы, рост и форма в мягком конденсированном веществе: на стыке физики и биологии, под ред. В. Скельтроп, А.В. Белушкин, (НАТО Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),
^Донев, Александар; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Чайкин, П. М.; Торквато, Сальваторе (23.06.2004). «Необычно плотные кристаллические упаковки эллипсоидов». Письма с физическим обзором. Американское физическое общество (APS). 92 (25): 255506. arXiv : cond-mat / 0403286. doi : 10.1103 / Physrevlett.92.255506. ISSN 0031-9007. PMID 15245027. S2CID 7982407.
^Онсагер, Ларс (1949). «Влияние формы на взаимодействие коллоидных частиц». Летопись Нью-Йоркской академии наук. Вайли. 51 (4): 627–659. doi : 10.1111 / j.1749-6632.1949.tb27296.x. ISSN 0077-8923.
^Френкель, Даан. (1987-09-10). "Повторное посещение сфероцилиндров Онзагера". Журнал физической химии. Американское химическое общество (ACS). 91 (19): 4912–4916. doi : 10.1021 / j100303a008. HDL : 1874/8823. ISSN 0022-3654.
^Вийяр-Барон, Жак (1972-05-15). «Фазовые переходы классической системы жесткого эллипса». Журнал химической физики. Издательство AIP. 56 (10): 4729–4744. doi : 10.1063 / 1.1676946. ISSN 0021-9606.
^Перрам, Джон В.; Вертхайм, М. (1985). «Статистическая механика твердых эллипсоидов. I. Алгоритм перекрытия и контактная функция». Журнал вычислительной физики. Elsevier BV. 58 (3): 409–416. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (85) 90171-8. ISSN 0021-9991.
^X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, «Расстояние максимального сближения двух произвольных твердых эллипсов в двух измерениях», electronic Liquid Crystal Communications, 2007
^Чжэн, Сяоюй; Палфи-Мухорай, Питер (26.06.2007). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсов в двух измерениях». Physical Review E. 75 (6): 061709. arXiv : 0911.3420. doi : 10.1103 / physreve.75.061709. ISSN 1539-3755. PMID 17677285. S2CID 7576313.
^X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, Полная версия, содержащая алгоритм точки контакта, 4 мая 2009 г.
^Подпрограмма Fortran90 для расстояния контакта и точки контакта для двумерных эллипсов Автор X. Zheng и P. Palffy-Muhoray, Май 2009 г.
^Чжэн, Сяоюй; Иглесиас, Уайлдер; Палфи-Мухорай, Питер (20 мая 2009 г.). «Расстояние максимального сближения двух произвольных твердых эллипсоидов». Physical Review E. Американское физическое общество (APS). 79 (5): 057702. doi : 10.1103 / Physreve.79.057702. ISSN 1539-3755. PMID 19518604.
^X. Чжэн, В. Иглесиас, П. Палффи-Мухорай, «Расстояние максимального сближения двух произвольных твердых эллипсоидов», electronic Liquid Crystal Communications, 2008
^Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния максимального сближения эллипсоидов
^Подпрограмма C для определения расстояния максимального сближения эллипсоидов