Сферическая упаковка в цилиндре

Иллюстрация столбчатой ​​структуры, собранной из мячей для гольфа.

Столбчатая структура или кристалл - это цилиндрическая структура, которая образует в контексте цилиндрических сферических упаковок внутри или на поверхности столбчатого удержания. Сферы одинакового размера $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$собираются на поверхности цилиндра в упорядоченную столбчатую структуру, если диаметр цилиндра имеет такой же порядок величины.

Типичная упорядоченная столбчатая структура собирается путем последовательного сбрасывания мячей для гольфа внутрь трубы.

• 1 Появление в науке
  • 1.1 Ботаника
  • 1.2 Пены
  • 1.3 Нанонаука
• 2 Классификация с использованием филлотактических обозначений
• 3 Типы упорядоченных столбчатых структур без внутренних сфер
  • 3.1 Равномерная структура
  • 3.2 Линейно-скользящая структура
• 4 Плотные сферические уплотнения в цилиндрах
• 5 Столбчатые структуры, создаваемые быстрым вращением
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Столбчатые структуры появляются в различных областях исследований в широком диапазоне масштабов длины от метров до наномасштаба. В самом крупном масштабе такие структуры можно найти в ботанике, где семена растения собираются вокруг стебля. В меньшем масштабе пузырьки равного размера кристаллизуются в столбчатые структуры пены, когда они заключены в стеклянную трубку. В нанонауке такие структуры могут быть обнаружены в искусственных объектах, длина которых составляет от микрона до наномасштаба.

Ягоды arum maculatum образуют столбчатую структуру (Буши Парк ).

Ботаника

Столбчатые структуры впервые были изучены в ботанике из-за их разнообразного внешнего вида у растений. Д'Арси Томпсон проанализировал такое расположение частей растения вокруг стебля в своей книге «О росте и форме » (1917). Но они также представляют интерес в других областях биологии, включая бактерии, вирусы, микротрубочки, а также хорда рыбы-зебры .

Одним из самых крупных цветов, у которых ягоды имеют правильную цилиндрическую форму, является titan arum. Этот цветок может достигать 3 м в высоту и произрастает исключительно на западной Суматре и западной Яве.

На меньших масштабах ягоды arum maculatum осенью образуют столбчатую структуру.Его ягоды похожи на ягоды трупного цветка, так как titan arum - его более крупный родственник. Однако кукушка-пинта намного меньше по высоте (высота ≈ 20 см.). Расположение ягод варьируется от стебля до размера ягоды.

Еще одно растение, которое можно найти во многих садах жилых районов, - это австралийская щетка для бутылок. Он собирает свои семенные коробочки вокруг ветки растения. Структура зависит от размера семенной коробочки до размера ветки.

Пены

Сферические мыльные пузыри, заключенные в цилиндрическую стеклянную трубку.

Еще одним проявлением упорядоченного столбчатого расположения на макроуровне являются структуры пены, заключенные внутри стеклянной трубки. Они могут быть реализованы экспериментально с помощью мыльных пузырей одинакового размера внутри стеклянной трубки, получаемых путем продувки воздухом постоянного потока газа через иглу, погруженную в раствор поверхностно-активного вещества. Поместив полученный столб пены в принудительный дренаж (подавая в него раствор поверхностно-активного вещества сверху), можно придать пене либо сухую (пузырьки в виде многогранников ), либо влажную (сферические пузырьки) структуру.

Благодаря этой простой экспериментальной установке многие столбчатые структуры были обнаружены и исследованы в контексте пен с помощью экспериментов, а также моделирования. Было проведено множество симуляций с использованием Surface Evolver для исследования сухой структуры или модели твердых сфер для влажного предела, когда пузырьки имеют сферическую форму.

В зигзагообразной структуре пузырьки уложены друг на друга в непрерывную W-образную форму. Для этой конкретной структуры о движущейся границе раздела с увеличивающейся жидкой фракцией сообщили Hutzler et al. в 1997 году. Это включало неожиданный интерфейс с поворотом на 180 °, объяснение которого до сих пор отсутствует.

Первое экспериментальное наблюдение структуры линейного скольжения было обнаружено Winkelmann et al. в системе пузырьков.

Далее обнаруженные структуры включают сложные структуры с внутренними сферами / ячейками пены. Было обнаружено, что некоторые структуры сухой пены с внутренними ячейками состоят из цепочки пятиугольных додекаэдров или ячеек Кельвина в центре трубки. Для многих других устройств этого типа было замечено, что внешний пузырьковый слой упорядочен, причем каждый внутренний слой напоминает другую, более простую столбчатую структуру с использованием рентгеновской томографии.

Нанонаука

Столбчатая структуры также интенсивно изучались в контексте нанотрубок. Их физические или химические свойства можно изменить, улавливая в них идентичные частицы. Обычно это делается путем самосборки фуллеренов, таких как C60, C70 или C78, ​​в углеродные нанотрубки, но также и нанотрубки из нитрида бора

Такие структуры также собираются, когда частицы покрывают поверхность сфероцилиндр в контексте фармацевтических исследований. Лазаро и др. исследовали морфологию белков капсида вируса, самоорганизующихся вокруг металлических наностержней. Частицы лекарства были нанесены на сфероцилиндр как можно плотнее, чтобы обеспечить наилучшее лечение.

Wu et al. построены стержни размером в несколько микрон. Эти микростержни создаются путем плотной упаковки коллоидных частиц кремнезема внутри цилиндрических пор. Путем отверждения собранных структур микростержни были визуализированы и исследованы с помощью сканирующей электронной микроскопии (SEM).

Столбчатые конструкции также исследуются как возможные кандидаты в оптические метаматериалы (т.е. материалы с отрицательным преломлением). index), которые находят применение в суперлинзах или оптических масках. Tanjeem et al. строят такой резонатор путем самосборки наносфер на поверхности цилиндра. Наносферы подвешены в растворе SDS вместе с цилиндром диаметром $D\; \{\backslash \; textstyle\; D\}$, который намного больше диаметра наносфер $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$($D\; /\; d\; \approx \; от\; 3\; до\; 5\; \{\backslash \; textstyle\; D\; /\; d\; \backslash \; приблизительно\; 3\; \{\backslash \; text\; \{to\}\}\; 5\}$). Затем наносферы прилипают к поверхности цилиндров с помощью истощающей силы.

Самый распространенный способ классификации упорядоченных столбчатых структур использует филлотактическую нотацию, заимствовано из ботаники. Он используется для описания расположения листьев растения, сосновых шишек или ананасов, а также плоских узоров соцветий на головке подсолнуха. В то время как расположение в первом цилиндрическое, спирали во втором расположены на диске. Для столбчатых структур принят филлотаксис в контексте цилиндрических структур.

Филлотактическая нотация описывает такие структуры тройкой положительных целых чисел $(l\; =\; m\; +\; n,\; m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (l\; =\; m\; +\; n,\; m,\; n)\}$с $l\; \ge \; m\; \ge \; n\; \{\backslash \; textstyle\; l\; \backslash \; geq\; m\; \backslash \; geq\; n\}$. Каждое число $l\; \{\backslash \; textstyle\; l\}$, $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; textstyle\; n\}$описывает семейство спиралей в 3-х мерная упаковка. Они считают количество спиралей в каждом направлении, пока спираль не повторится. Однако это обозначение применимо только к треугольным решеткам и поэтому ограничивается упорядоченными структурами без внутренних сфер.

Упорядоченные столбчатые структуры без внутренних сфер подразделяются на два отдельных класса: однородные и линейно-скользящие структуры. Для каждой структуры, которая может быть идентифицирована с триплетом $(l,\; m,\; n)\; \{\backslash \; textstyle\; (l,\; m,\; n)\}$, существует единообразная структура и, по крайней мере, один сдвиг строки.

Единая структура

Пример единой структуры и соответствующей развернутой контактной сети. Идентичная близость каждой сферы определяет однородную структуру.

Равномерная структура идентифицируется каждой сферой, имеющей одинаковое количество контактирующих соседей. Это дает каждой сфере идентичное окружение. На изображении в качестве примера сбоку каждая сфера имеет шесть соседних контактов.

Количество контактов лучше всего визуализируется в развернутой контактной сети. Он создается путем развертывания контактной сети в плоскости высотой $z\; \{\backslash \; textstyle\; z\}$и азимутальным углом $\theta \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; theta\}$каждого из них. сфера. Для однородной структуры, такой как изображенная в примере, это приводит к правильной гексагональной решетке. Каждая точка в этом шаблоне представляет сферу упаковки, а каждая линия - контакт между соседними сферами.

Для всех однородных структур с отношением диаметров выше $D\; /\; d>2.0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; /\; d>2.0\}$, характерной особенностью является правильная шестиугольная решетка, поскольку этот тип решетки имеет максимальное количество контактов.. Для различных однородных структур $(l,\; m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (l,\; m,\; n)\}$развернутая диаграмма контактов изменяется только путем поворота в $z\; -\; \theta \; \{\backslash \; textstyle\; z\; \{\backslash \; text\; \{-\}\}\; \backslash \; theta\}$плоскость. Таким образом, каждая единообразная структура отличается своим вектором периодичности $V\; \{\backslash \; textstyle\; V\}$, который определяется филлотактическим триплетом $(l,\; m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (l,\; m,\; n)\}$.

Структура скольжения по линии

Пример структуры с проскальзыванием по линии и соответствующий выкатной контакт Сеть. Проскальзывание линии определяется потерей контактов.

Для каждой однородной структуры также существует связанный но другая структура, называемая компоновкой с линейным скольжением.

Различия между однородной структурой и структурой с линейным скольжением незначительны, и их трудно обнаружить на изображениях упаковок сфер. Однако, сравнивая их развернутые контактные сети, можно заметить, что некоторые линии (которые представляют контакты) отсутствуют.

Все сферы в однородной структуре имеют одинаковое количество контактов, но количество контактов для сфер в линейном скольжении может отличаться от сферы к сфере. В примере смещения линии на изображении справа некоторые сферы насчитывают пять, а другие шесть контактов. Таким образом, структура линейного скольжения характеризуется этими зазорами или потерей контактов.

Такая структура называется проскальзыванием линии, потому что потери в контактах происходят вдоль линии в развернутой контактной сети. Впервые это было идентифицировано Пикетом и др., Но не названо проскальзыванием линии.

Направление, в котором происходит потеря контактов, может быть обозначено в филлотактическом обозначении $(l,\; m,\; n)\; \{\; \backslash \; textstyle\; (l,\; m,\; n)\}$, поскольку каждое число представляет один из векторов решетки в гексагональной решетке. Обычно это обозначается жирным шрифтом.

Срезая ряд сфер ниже потери контакта по ряду выше потери контакта, можно восстановить две однородные структуры, связанные с этим проскальзыванием линии. Таким образом, каждое линейное скольжение связано с двумя соседними однородными структурами, одна с более высоким и одна с меньшим соотношением диаметров $D\; /\; d\; \{\backslash \; textstyle\; D\; /\; d\}$.

Winkelmann et al. были первыми, кто экспериментально реализовал такую ​​структуру с использованием мыльных пузырей в системе деформируемых сфер.

Оптимальная фракция упаковки для твердых сфер диаметром $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$внутри цилиндра диаметром $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$.

Столбчатые структуры возникают естественным образом в контексте плотной упаковки твердых сфер внутри цилиндра. Mughal et al. исследовали такие насадки с помощью моделированного отжига до отношения диаметров $D\; /\; d\; =\; 2,873\; \{\backslash \; textstyle\; D\; /\; d\; =\; 2,873\}$для цилиндра диаметром $D\; \{\backslash \; textstyle\; D\}$в диаметр сферы $d\; \{\backslash \; textstyle\; d\}$. Сюда входят некоторые конструкции с внутренними сферами, не контактирующими со стенкой цилиндра.

Они рассчитали долю упаковки для всех этих структур как функцию отношения диаметров. На вершинах этой кривой лежат однородные структуры. Между этими дискретными соотношениями диаметров находятся линейные проскальзывания при более низкой плотности упаковки. Их доля упаковки значительно меньше, чем у упаковки с неограниченной решеткой, такой как fcc, bcc или hcp, из-за свободного объема, оставленного цилиндрическим ограничением.

Богатое разнообразие таких упорядоченных структур также может быть получено путем последовательного размещения сфер в цилиндре. Чан воспроизвел все плотные упаковки сфер до с использованием алгоритма, в котором шары помещаются последовательно и сбрасываются внутрь цилиндра.

Mughal et al. также обнаружил, что такие структуры могут быть связаны с дисковыми набивками на поверхности цилиндра. Контактная сеть обеих упаковок идентична. Для обоих типов насадки было обнаружено, что различные однородные структуры связаны друг с другом линейными скользящими элементами.

Fu et al. расширил эту работу до более высоких соотношений диаметров с помощью линейного программирования и обнаружил 17 новых плотных структур с внутренними сферами, не контактирующими со стенкой цилиндра.

Подобное разнообразие плотных кристаллических структур также было обнаружено для столбчатых упаковок от сфероидов до моделирования Монте-Карло. Такие упаковки включают ахиральные структуры с особыми сфероидными ориентациями и хиральные спиральные структуры с вращающимися сфероидными ориентациями.

Столбчатые структуры собираются с использованием быстрых вращений вокруг центральной оси для движения сфер к этой оси.

Еще один динамический метод сборки таких структур был представлен Ли и другие. Здесь полимерные шарики помещаются вместе с жидкостью более высокой плотности внутри вращающегося токарного станка.

. Когда токарный станок находится в статическом состоянии, шарики плавают поверх жидкости. При увеличении скорости вращения центростремительная сила толкает жидкость наружу, а шарики - к центральной оси. Следовательно, шарики по существу ограничены потенциалом, задаваемым энергией вращения

$E\; rot\; =\; 1\; 2\; m\; R\; 2\; \omega \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\backslash \; text\; \{rot\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; mR\; ^\; \{2\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\},\}$где $m\; \{\backslash \; textstyle\; m\}$- масса бусинок, $R\; \{\backslash \; textstyle\; R\}$расстояние от центральной оси и $\omega \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; omega\}$скорость вращения. Из-за пропорциональности $R\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; R\; ^\; \{2\}\}$, ограничивающий потенциал напоминает потенциал цилиндрического гармонического осциллятора.

В зависимости от количества сфер и скорости вращения было обнаружено множество упорядоченных структур, сопоставимых с плотными упаковками сфер.

Всесторонняя теория этого эксперимента была разработана Винкельманном и др. Он основан на аналитических расчетах энергии с использованием типовой сферической модели и предсказывает переходы перитектоидной структуры.

• Упаковка сфер
• Плотная упаковка равных сфер
• Проблемы с упаковкой

• Беккер, Аарон Т. и Хуанг, Л. «Упаковка сфер в тонкий цилиндр». MathWorld.