Упаковка сфер

редактировать

Упаковка сфер находит практическое применение при штабелировании ядер

В геометрии, упаковка сфер - это расположение неперекрывающихся сфер внутри вмещающего пространства. Рассматриваемые сферы обычно имеют одинаковый размер, а пространство обычно трех- мерное евклидово пространство. Однако проблемы упаковки сфер могут быть обобщены для рассмотрения неравных сфер, пространств других измерений (где проблема становится упаковкой кругов в двух измерениях или упаковкой гиперсферы в высшие измерения) или в неевклидово пространства, такие как гиперболическое пространство.

Типичная проблема упаковки сфер - найти такое расположение, при котором сферы заполняют как можно большую часть пространства. Пропорция пространства, заполненного сферами, называется плотностью расположения. Поскольку локальная плотность упаковки в бесконечном пространстве может изменяться в зависимости от объема, в котором она измеряется, проблема обычно заключается в максимизации средней или асимптотической плотности, измеренной на достаточно большой объем.

Для равных сфер в трех измерениях самая плотная упаковка занимает примерно 74% объема. Случайная упаковка равных сфер обычно имеет плотность около 64%.

Содержание

  • 1 Классификация и терминология
  • 2 Обычная упаковка
    • 2.1 Плотная упаковка
    • 2.2 Другие распространенные решетчатые насадки
    • 2.3 Забитые насадки с низкой плотностью
  • 3 Нерегулярная упаковка
  • 4 Гиперсферная упаковка
  • 5 Неравная упаковка сфер
  • 6 Гиперболическое пространство
  • 7 Касание пар, троек и четверок
  • 8 Другие пространства
  • 9 См. Также
  • 10 Ссылки
  • 11 Библиография
  • 12 Внешние ссылки

Классификация и терминология

A структура решетки (обычно называемая регулярным расположением) - это такая структура, в которой центры сфер образуют очень симметричный узор, который необходимо однозначно определить только n векторов (в n- мерном евклидовом пространстве ). Расположение решеток периодическое. Компоновки, в которых сферы не образуют решетку (часто обозначаемые как нерегулярные ), могут быть периодическими, но также периодическими (собственно не -периодический ) или случайный. Решетчатые конструкции легче обрабатывать, чем неправильные - их высокая степень симметрии упрощает их классификацию и измерение их плотности.

Обычная упаковка

Регулярное расположение равных сфер в плоскости сменяется нерегулярным расположением неравных сфер (пузырьков). Решетка HCP (слева) и решетка FCC (справа) - две наиболее обычное расположение с максимальной плотностью. Два способа штабелирования трех плоскостей, сделанных из сфер

Плотная упаковка

В трехмерном евклидовом пространстве наиболее плотная упаковка равных сфер достигается с помощью семейства структур, называемых плотно упакованные структуры. Один из способов создания такой структуры заключается в следующем. Рассмотрим плоскость с компактным расположением на ней сфер. Назовите это А. Для любых трех соседних сфер четвертую сферу можно поместить сверху в полость между тремя нижними сферами. Если мы сделаем это для половины отверстий во второй плоскости над первой, мы создадим новый компактный слой. Для этого есть два возможных варианта, назовите их B и C. Предположим, что мы выбрали B. Тогда одна половина полостей B лежит над центрами шаров в A, а половина - над полостями A, которые не были используется для B. Таким образом, шары третьего слоя могут быть размещены либо непосредственно над шарами первого слоя, получая слой типа A, либо над отверстиями первого слоя, которые не были заняты вторым слоем, что дает слой типа C. Комбинирование слоев типов A, B и C дает различные плотноупакованные структуры.

Два простых расположения в пределах семейства плотно упакованных соответствуют правильным решеткам. Один называется кубической плотной упаковкой (или гранецентрированный куб, «FCC») - где слои чередуются в последовательности ABCABC... Другой называется гексагональной плотной упаковкой («HCP»), где слои чередуются в последовательности ABAB... Но возможно множество последовательностей наложения слоев (ABAC, ABCBA, ABCBAC и т. Д.), Которые по-прежнему создают плотноупакованную структуру. Во всех этих схемах каждая сфера касается 12 соседних сфер, и средняя плотность составляет

π 3 2 ≃ 0,74048. {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0.74048.}{\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0.74048.

Карл Фридрих Гаусс в 1831 году доказал, что эти упаковки имеют самую высокую плотность среди всех возможных решетчатых упаковок.

В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что это максимально возможная плотность как среди регулярных, так и среди нерегулярных расположений - это стало известно как гипотеза Кеплера. В 1998 году Томас Каллистер Хейлз, следуя подходу, предложенному Ласло Фейес Тот в 1953 году, объявил о доказательстве гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза - это доказательство исчерпания, включающее проверку многих отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Судьи заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза. 10 августа 2014 г. Хейлз объявил о завершении формального доказательства с использованием автоматизированной проверки, что устраняет любые сомнения.

Другие распространенные решетчатые упаковки

Часто встречаются другие решетчатые упаковки в физических системах. К ним относятся кубическая решетка с плотностью π 6 ≈ 0,5236 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} \ приблизительно 0,5236}{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} \ приблизительно 0,5236} , гексагональная решетка с плотностью π 3 3 ≈ 0.6046 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}} \ приблизительно 0.6046}{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}} \ приблизительно 0.6046} и тетраэдрическая решетка с плотностью π 3 16 ≈ 0,3401 {\ displaystyle {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {16}} \ приблизительно 0,3401}{\ displaystyle {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {16}} \ приблизительно 0,3401} , и самый рыхлый из возможных при плотности 0,0555.

Заклинившие насадки с низкой плотностью

Набивки, в которых все сферы удерживаются соседями в одном месте, называются жесткими или застрявшими. Строго заклинившая упаковка сфер с самой низкой плотностью представляет собой разбавленный ("туннельный") кристалл ГЦК с плотностью всего лишь 0,49365.

Нерегулярная упаковка

Если мы попытаемся построить плотно упакованный набор сфер, у нас будет искушение всегда помещать следующую сферу в полость между тремя упакованными сферами. Если пять сфер собраны таким образом, они будут соответствовать одной из описанных выше схем регулярной упаковки. Однако шестая сфера, размещенная таким образом, сделает структуру несовместимой с обычным расположением. Это приводит к возможности случайной плотной упаковки сфер, устойчивой к сжатию. Вибрация беспорядочной рыхлой упаковки может привести к расположению сферических частиц в регулярные упаковки, процесс, известный как гранулированная кристаллизация. Такие процессы зависят от геометрии контейнера, содержащего сферические зерна.

Когда сферы случайным образом добавляются в контейнер и затем сжимаются, они обычно образуют так называемую «неправильную» или «застрявшую» конфигурацию упаковки когда их больше нельзя сжимать. Эта неправильная насадка обычно имеет плотность около 64%. Недавние исследования аналитически предсказывают, что он не может превышать предел плотности в 63,4%. Эта ситуация отличается от случая с одним или двумя измерениями, когда сжатие набора одномерных или двухмерных сфер (то есть сегментов линий или кругов) даст обычная упаковка.

Гиперсферная упаковка

Задача упаковки сфер - это трехмерная версия класса задач по упаковке шаров в произвольных размерах. В двух измерениях эквивалентная задача - упаковка кругов на плоскости. В одном измерении это упаковка линейных сегментов в линейную вселенную.

В измерениях больше трех известны самые плотные регулярные упаковки гиперсфер до 8 измерений. О нерегулярных гиперсферных упаковках известно очень мало; возможно, что в некоторых измерениях самая плотная упаковка может быть неправильной. Некоторое подтверждение этой гипотезы исходит из того факта, что в определенных размерах (например, 10) самая плотная из известных нерегулярных упаковок более плотная, чем самая плотная из известных регулярных упаковок.

В 2016 году Марина Вязовская объявила доказательство того, что решетка E8 обеспечивает оптимальную упаковку (независимо от регулярности) в восьмимерном пространстве, и вскоре после этого она и группа сотрудников анонсировали аналогичное доказательство того, что решетка Пиявки является оптимальной в 24 измерениях. Этот результат основан на и улучшил предыдущие методы, которые показали, что эти две решетки очень близки к оптимальным. Новые доказательства включают использование преобразования Лапласа тщательно выбранной модульной функции для построения радиально-симметричной функции f, такой что f и ее преобразование Фурье f̂ оба равны единице в начале координат, и оба обращаются в нуль во всех других точках оптимальной решетки, причем f отрицательно за пределами центральной сферы упаковки, а f̂ положительно. Затем формула суммирования Пуассона для f используется для сравнения плотности оптимальной решетки с плотностью любой другой упаковки. До того, как доказательство было официально прорецензировано и опубликовано, математик Питер Сарнак назвал доказательство «потрясающе простым» и написал, что «вы просто начинаете читать статью, и вы знаете, что это правильно».

Другое направление исследований в области высоких размерностей - попытка найти асимптотические границы плотности наиболее плотных упаковок. По состоянию на 2017 год известно, что для больших n самая плотная решетка в размерности n имеет плотность от cn · 2 (для некоторой константы c) до 2. Гипотетические границы находятся посередине.

Неравная упаковка сфер

Плотная упаковка сфер с коэффициентом радиуса 0,64799 и плотностью 0,74786

Многие проблемы в химических и физических науках могут быть связаны с проблемами упаковки, когда доступны сферы более одного размера. Здесь есть выбор между разделением сфер на области плотно упакованных равных сфер или объединением сфер нескольких размеров в составную или промежуточную упаковку. Когда доступны сферы многих размеров (или распределение ), проблема быстро становится неразрешимой, но некоторые исследования бинарных твердых сфер (двух размеров) доступны.

Когда вторая сфера намного меньше первой, можно расположить большие сферы плотно упакованными, а затем расположить маленькие сферы внутри октаэдрических и тетраэдрических зазоров. Плотность этой промежуточной упаковки сильно зависит от отношения радиусов, но в пределе крайних соотношений размеров меньшие сферы могут заполнять зазоры с такой же плотностью, как и большие сферы, заполняющие пространство. Даже если большие сферы не находятся в плотной упаковке, всегда можно вставить несколько меньших сфер с радиусом до 0,29099 от радиуса большей сферы.

Когда меньшая сфера имеет радиус больше чем 0,41421 радиуса большей сферы, уже невозможно поместиться даже в октаэдрические отверстия плотноупакованной структуры. Таким образом, за пределами этой точки либо структура-хозяин должна расширяться, чтобы вместить межузельные слои (что снижает общую плотность), либо перестраиваться в более сложную структуру кристаллического соединения. Известны структуры, которые превышают плотность плотной упаковки для отношений радиусов до 0,659786.

Также были получены верхние границы для плотности, которая может быть получена в таких бинарных упаковках.

Во многих химических ситуациях таких как ионные кристаллы, стехиометрия ограничивается зарядами составляющих ионов. Это дополнительное ограничение на упаковку вместе с необходимостью минимизировать кулоновскую энергию взаимодействующих зарядов приводит к разнообразию оптимальных устройств упаковки.

Гиперболическое пространство

Хотя концепция кругов и сфер может быть расширена до гиперболического пространства, найти наиболее плотную упаковку становится намного сложнее. В гиперболическом пространстве нет ограничений на количество сфер, которые могут окружать другую сферу (например, круги Форда можно представить себе как расположение идентичных гиперболических кругов, в котором каждый круг окружен бесконечное количество других кругов). Понятие средней плотности также становится все труднее точно определить. Плотнейшие упаковки в любом гиперболическом пространстве почти всегда нерегулярны.

Несмотря на эту трудность, К. Борёчки дает универсальную верхнюю оценку плотности упаковок сфер в гиперболическом n-пространстве, где n ≥ 2. В трех измерениях Граница Бёрёчки составляет приблизительно 85,327613% и реализуется посредством ориосферы упаковки тетраэдрических сот порядка 6 с символом Шлефли {3,3,6}. В дополнение к этой конфигурации, как известно, существуют по крайней мере три других упаковки ориосферы в гиперболическом 3-пространстве, которые реализуют верхнюю границу плотности.

Касающиеся пары, тройки и четверки

Контактный граф произвольной конечной упаковки единичных шаров - это граф, вершины которого соответствуют элементам упаковки, а две вершины соединены ребром, если соответствующие два элемента упаковки касаются друг друга. Мощность набора ребер графа контактов дает количество соприкасающихся пар, количество 3-циклов в графе контактов дает количество соприкасающихся троек, а количество тетраэдров в графе контактов дает количество касающихся четверок ( в общем случае для контактного графа, связанного со сферой, упакованной в n измерений, мощность множества n-симплексов в контактном графе дает количество соприкасающихся (n + 1) -наборов в упаковке сфер). В случае трехмерного евклидова пространства нетривиальные оценки сверху количества соприкасающихся пар, троек и четверок были доказаны Кароли Бездек и Сэмюэлем Ридом из Университета Калгари.

Проблема нахождения такого расположения n идентичных сфер, которое максимизирует количество точек контакта между сферами, известна как «проблема липких сфер». Максимум известен для n ≤ 11, и для большего n известны только предположительные значения.

Другие пространства

Упаковка сфер на углах гиперкуба (со сферами, определяемыми Расстояние Хэмминга ) соответствует разработке кодов с исправлением ошибок : если сферы имеют радиус t, то их центры являются кодовыми словами (2t + 1) -кода с исправлением ошибок. Упаковки решеток соответствуют линейным кодам. Есть и другие, более тонкие отношения между упаковкой евклидовой сферы и кодами, исправляющими ошибки. Например, двоичный код Голея тесно связан с 24-мерной решеткой Пиявки.

Для получения дополнительной информации об этих соединениях см. Книгу Sphere Packings, Lattices and Groups автора Conway и Sloane.

См. Также

Ссылки

Библиография

Внешние ссылки

Не -технический обзор упаковки в гиперболическом пространстве.
Последняя правка сделана 2021-06-09 02:36:17
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте