(10-1) / 97 = 01030927835051546391752577319587628865979381443298632212832865979381443298963222017525773195876288659793814432989632220164124164124164124164124128 к повторяющимся цифровым представлениям единиц измерения. Циклическое число длины L является цифровым представлением- 1 / (L + 1).
И наоборот, если цифровой период 1 / p (где p - простое число) равен
- p - 1,
тогда цифры представляют собой циклическое число.
Например:
- 1/7 = 0,142857 142857...
Множители этих дробей демонстрируют циклическую перестановку:
- 1/7 = 0,142857 142857...
- 2/7 = 0,285714 285714...
- 3/7 = 0,428571 428571...
- 4/7 = 0,571428 571428...
- 5/7 = 0,714285 714285...
- 6/7 = 0,857142 857142...
Форма циклических чисел
Из отношения к единичным дробям можно показать, что циклические числа имеют вид от частного Ферма
, где b - основание числа (10 для десятичного ), а p - простое число, которое не делит b. (Простые числа p, которые дают циклические числа в базе b, называются простыми числами с полным повторением или длинными простыми числами в базе b).
Например, случай b = 10, p = 7 дает циклическое число 142857, а случай b = 12, p = 5 дает циклическое число 2497.
Не все значения p даст циклическое число, используя эту формулу; например, случай b = 10, p = 13 дает 076923076923, а случай b = 12, p = 19 дает 076B45076B45076B45. Эти неудачные случаи всегда будут содержать повторение цифр (возможно, несколько).
Первыми значениями p, для которых эта формула дает циклические числа в десятичном (b = 10), являются (последовательность A001913 в OEIS )
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983,...
Для b = 12 (двенадцатеричный ) эти ps равны (последовательность A019340 в OEIS )
- 5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991,...
Для b = 2 (двоичный ), эти ps (последовательность A001122 в OEIS )
- 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 13 1, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947,...
Для b = 3 (троичный ) эти ps равны (последовательность A019334 в OEIS )
- 2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977,...
Таких пс нет в шестнадцатеричная система.
Известный образец этой последовательности взят из теории алгебраических чисел, в частности, эта последовательность представляет собой набор простых чисел p, таких что b является первообразным корнем по модулю p. гипотеза Эмиля Артина состоит в том, что эта последовательность содержит 37,395..% простых чисел (для b в OEIS : A085397 ).
Построение циклических чисел
Циклические числа могут быть построены с помощью следующей процедуры :
Пусть b будет основанием числа (10 для десятичного). Пусть p будет простым который не делит b.. Пусть t = 0.. Пусть r = 1.. Пусть n = 0.. цикл:
- Пусть t = t + 1
- Пусть x = r · b
- Пусть d = int (x / p)
- Пусть r = x mod p
- Пусть n = n · b + d
- Если r ≠ 1, то повторить цикл.
если t = p - 1, то n - циклическое число.
Эта процедура работает путем вычисления цифр 1 / p в базе b на деление в столбик. r - это остаток на каждом шаге, а d - полученная цифра.
Шаг
- n = n · b + d
служит просто для сбора цифр. Для компьютеров, не способных выражать очень большие целые числа, цифры можно выводить или собирать другим способом.
Если t когда-либо превышает p / 2, то число должно быть циклическим, без необходимости вычислять оставшиеся цифры.
Свойства циклических чисел
- При умножении на их порождающее простое число дает последовательность цифр с основанием –1 (9 в десятичной системе). Десятичное число 142857 × 7 = 999999.
- Если разделить на два, три, четыре и т. Д. По основанию 10, 100, 1000 и т. Д. По его цифрам и сложить результат, получается последовательность девяток. 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714+ 2857 = 9999 и т.д. (Это частный случай теоремы Миди.)
- Все циклические числа делятся на 'base− 1 '(9 в десятичной системе), а сумма остатка кратна делителю. (Это следует из предыдущего пункта.)
Другие числовые основания
Используя описанную выше технику, циклические числа могут быть найдено в других числовых базисах. (Не все из них следуют второму правилу (все последовательные кратные являются циклическими перестановками), перечисленным в разделе Особые случаи выше) В каждом из этих случаев цифры в половине периода складываются в основание минус один. Таким образом, для двоичного кода сумма битов за половину периода равна 1, для троичного - 2 и т. Д.
В двоичном последовательность циклических чисел начинается: (последовательность A001122 в OEIS )
- 11 (3) → 01
- 101 (5) → 0011
- 1011 (11) → 0001011101
- 1101 (13) → 000100111011
- 10011 (19) → 000011010111100101
- 11101 (29) → 0000100011010 011110111001011
- 100101 (37) → 00000110101011100101111100101010001101
- 110101 (53) → 00000100101101001111001001101101111101101001011000011011001001
In <7643>тройная последовательность <7643>: тройная последовательность>OEIS )
- 2 (2) → 1
- 12 (5) → 0121
- 21 (7) → 010212
- 122 (17) → 0011202122110201
- 201 (19) → 001102100221120122
. В четвертичном :
- (нет)
В пятерном : (последовательность A019335 в OEIS )
- 2 (2) → 2
- 3 (3) → 13
- 12 (7) → 032412
- 32 (17) → 0121340243231042
- 43 (23) → 0102041332143424031123
- 122 (37) → 003142122040113342441302322404331102
- 133 (43) → 002423141223434043111442021303221010401333 <18816последовательность <50125>Sen94 43>в OEIS )
- 15 (11) → 0313452421
- 21 (13) → 024340531215
- 25 (17) → 0204122453514331
- 105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211
- 135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052 541
- 141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335
- 211 (79) → 002422325434441304033512354102140052450553133230121110145152102140052450553133230121110142515220 2 (2) → 3
- 5 (5) → 1254
- 14 (11) → 0431162355
- 16 (13) → 035245631421
- 23 ( 17) → 0261143464055232
- 32 (23) → 0206251134364604155323
- 56 (41) → 0112363262135202250565543034045314644161
In восьмеричное число : (последовательность A019 OEIS )
- 3 (3) → 25
- 5 (5) → 1463
- 13 (11) → 0564272135
- 35 (29) → 0215173454106475626043236713
- 65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743
- 73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415
- 123 (83) → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045
В девятеричный :
- 2 (2) → 4
- (других нет)
В базе 11: (последовательность A019339 в OEIS )
- 2 (2) → 5
- 3 (3) → 37
- 12 (13) → 093425A17685
- 16 (17) → 07132651A3978459
- 21 (23) → 05296243390A581486771A
- 27 (29) → 04199534608387A69115764A2723
- 29 (31) → 039A32146818574A71078964292536
In двенадцатеричный A019 последовательность <273>A019 43>в OEIS )
- 5 (5) → 2497
- 7 (7) → 186A35
- 15 (17) → 08579214B36429A7
- 27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55
- 35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207
- 37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765
- 45 (53) → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117
В базе 13: (последовательность A019341 в OEIS )
- 2 (2) → 6
- 5 (5) → 27A5
- B (11) → 12495BA837
- 16 (19) → 08B82976AC414A3562
- 25 (31) → 055B42692C21347C7718A63A0AB985
- 2B (37) → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7
- 173BC1 (4108178C1) последовательность A019342 в OEIS )
- 3 (3) → 49
- 13 (17) → 0B75A9C4D2683419
- 15 (19) → 0A45C7522D398168BB
- 19 (23) → 0874391B7CAD569A4C2613
- 21 (29) → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D
- 3B (53) → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5
- 43 (59) → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069
в основании 15: (последовательность A019343 в OEIS )
- 2 (2) → 7
- D (13) → 124936DCA5B8
- 14 (19) → 0BC9718A3E3257D64B
- 18 (23) → 09BB1487291E533DA67C5D
- 1E (29) → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421
- 27 (37) → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2
- 2B (41) → 0574B51C68BA922DD80286976CC>в шестнадцатеричной системе основание 17: (последовательность A019344 в OEIS )
- 2 (2) → 8
- 3 (3) → 5B
- 5 (5) → 36DA
- 7 (7) → 274E9C
- B (11) → 194ADF7C63
- 16 (23) → 0C9A5F8ED52G476B1823BE
- 1E (31) → 09583E469EDC11AG7B7234D2C 188>В базе 18: (последовательность A019345 в OEI S )
- 5 (5) → 3AE7
- B (11) → 1B834H69ED
- 1B (29) → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D
- 21 (37) → 08DB37565F184FA3G0H946DACE 128>27 (43) → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365
- 2H (53) → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931
- 35 (59) → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7
в базе 19: (последовательность A019346 в OEIS )
- 2 (2) → 9
- 7 (7) → 2DAG58
- B (11) → 1DFA6H538C
- D (13) → 18EBD2HA475G
- 14 (23) → 0FD4291C784I35EG9H6BAE
- 1A (29) → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H
- 1I (37) → 09E73B5C631A52AEGHI94BF188D6C1 <последовательность A019347 в OEIS )
- 3 (3) → 6D
- D (13) → 1AF7DGI94C63
- H (17) → 13ABF5HCIG984E27
- 13 (23) → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD
- 1H (37) → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7
- 23 (43) → 0960IC1H43E878GEHD9F3F6GAJ5DJ7D7C07C09F2F6GB2BB2C08D7B2C08B08B08B08B08B0B2 HH8IE974DC6G381E0H
В базе 21: (последовательность A019348 в OEIS )
- 2 (2) → A
- J (19) → 1248HE7F9JIGC36D5B
- 12 (23) → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A
- 18 (29) → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D
- 1A (31) → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62
- 2B (53) → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J
- 38 ( 71) → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D
В базе 22: (последовательность A019349 в OEIS )
- в OEIS )
- <753>HAFI )
- <771>HFGI → 5 (5>) →
- J (19) → 13A95H826KIBCG4DJF
- 19 (31) → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH
- 1F (37) → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ
- 1J (41) → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F
- 23 (47) → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7
В базе 23: (последовательность A019350 в OEIS )
- 2 (2) → B
- 3 (3) → 7F
- 5 (5) → 4DI9
- H (17) → 182G59AILEK6HDC4
- 21 (47) → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A687 7J1M
- 2D (59) → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7
- 3K (89) → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8
В базе 24: (последовательность A019351 в OEIS )
- 7 (7) → 3A6KDH
- B (11) → 248HALJF6D
- D (13) → 1L795CM3GEIB
- H (17) → 19L45FCGME2JI8B7
- 17 ( 31) → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH
- 1D (37) → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB
- 1H (41) основание → 0E14284G98L71GB2>(25) (других нет)
В троичном случае (b = 3) случай p = 2 дает 1 как циклическое число. Хотя однозначные числа можно рассматривать как тривиальные случаи, для полноты теории может быть полезно рассматривать их только тогда, когда они генерируются таким образом.
Можно показать, что никакие циклические числа (кроме тривиальных однозначных цифр, т. Е. P = 2) не существуют ни в одной числовой базе, которая является полным квадратом, то есть с основанием 4, 9, 16, 25 и т. Д.
См. Также
Ссылки
Дополнительная литература
- Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. стр. 111–122.
- Калман, Дэн; «Дроби с циклическими схемами цифр» The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (март, 1996), стр. 109–115.
- Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику....», Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун, 1820 г., ISBN 1- 4020-1546-1
- Уэллс, Дэвид; «Словарь любопытных и интересных чисел Penguin », Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5
Внешние ссылки
