Парадокс Кондорсе

редактировать

Парадокс Кондорсе (также известный как парадокс голосования или парадокс голосования ) в теории общественного выбора - это ситуация, отмеченная маркизом де Кондорсе в конце 18 века, в которой коллективные предпочтения могут быть циклическими, даже если предпочтения отдельных избирателей не цикличны. Это парадокс, потому что это означает, что желания большинства могут противоречить друг другу: большинство предпочитает, например, кандидата A, а не B, B, а не C, и тем не менее C, а не A. Когда это происходит, это потому что противоречащее большинство состоит из разных групп людей.

Таким образом, ожидание того, что транзитивность со стороны предпочтений всех индивидов должна приводить к транзитивности социальных предпочтений, является примером ошибки композиции.

Парадокс был независимо обнаружен Льюисом Кэрроллом и Эдвардом Дж. Нансоном, но его значение не было признано до тех пор, пока Дункан Блэк не популяризировал его в 1940-х годах.

Содержание

1 Пример
- 1.1 Основные рейтинги
2 Необходимое условие парадокса
3 Вероятность парадокса
- 3.1 Модель беспристрастной культуры
- 3.2 Модели групповой согласованности
- 3.3 Эмпирические исследования
4 Выводы
- 4.1 Двухэтапные процессы голосования
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Пример

Избиратели (синий) и кандидаты (красный) нанесены на двумерное пространство предпочтений. Каждый избиратель предпочитает более близкого кандидата более дальнему. Стрелки показывают порядок, в котором избиратели предпочитают кандидатов.

Предположим, что у нас есть три кандидата, A, B и C, и что есть три избирателя со следующими предпочтениями (кандидаты перечислены слева направо для каждого избирателя в в порядке убывания предпочтения):

Избиратель	Первое предпочтение	Второе предпочтение	Третье предпочтение
Голосующий 1	A	B	C
Голосующий 2	B	C	A
Голосующий 3	C	A	B

Если C выбран победителем, можно утверждать, что вместо этого B должен победить, поскольку два избирателя (1 и 2) предпочитают B, а не C, и только один избиратель (3) предпочитает C вместо B. A предпочтительнее B, а C предпочтительнее A, с разницей в два к одному в каждом случае. Таким образом, предпочтения общества демонстрируют цикличность: A предпочтительнее, чем B, который предпочтительнее, чем C, который предпочтительнее A. Парадоксальная особенность отношений между предпочтениями избирателей, описанная выше, заключается в том, что, хотя большинство избирателей согласны с тем, что A предпочтительнее B, B к C и от C к A, все три коэффициента ранговой корреляции между предпочтениями любых двух избирателей отрицательны (а именно, –,5), как рассчитано с помощью формулы коэффициента ранговой корреляции Спирмена, разработанной Чарльз Спирман намного позже.

Кардинальные рейтинги

Обратите внимание, что при подсчете очков сила избирателя снижается в некоторых парных матчах по сравнению с Кондорсе. Это гарантирует, что циклическое социальное предпочтение никогда не может произойти.

Обратите внимание, что в графическом примере избиратели и кандидаты не симметричны, но система ранжированного голосования «выравнивает» их предпочтения в симметричный цикл. Кардинальные системы голосования. предоставляет больше информации, чем рейтинги, позволяя найти победителя. Например, в разделе голосование с оценкой бюллетени могут быть:

	A	B	C
1	6	3	0
2	0	6	1
3	5	0	6
Всего:	11	9	7

Кандидат A получает наибольшее количество очков и является победителем, поскольку A является ближайшим ко всем избирателям. Тем не менее, у большинства избирателей есть стимул поставить А 0 и С 10, что позволяет С победить А, что они предпочитают, и в этот момент у большинства будет стимул дать С 0 и В 10, чтобы побудить B и т. д. (Однако в этом конкретном примере стимул слаб, так как те, кто предпочитает C вместо A, получают только C на 1 балл выше A; вполне возможно, что при ранжированном методе Кондорсе они просто одинаково оценили бы A и C из-за того, насколько слабы их предпочтения, и в этом случае цикл Кондорсе изначально не сформировался бы, и A был бы победителем Кондорсе). Таким образом, хотя этот цикл не происходит ни в одном заданном наборе голосов, он может проявляться в повторных выборах со стратегическими избирателями с кардинальными рейтингами.

Необходимое условие для парадокса

Предположим, что x - это доля избирателей, которые предпочитают A, а не B, а y - доля избирателей, которые предпочитают B, а не C. доля z избирателей, предпочитающих A, всегда не меньше (x + y - 1). Поскольку парадокс (большинство предпочитает C перед A) требует z < 1/2, a necessary condition for the paradox is that

x + y - 1 ≤ z < 1 2 and hence x + y < 3 2. {\displaystyle x+y-1\leq z<{\frac {1}{2}}\quad {\text{and hence}}\quad x+y<{\frac {3}{2}}.}

{\ displaystyle x + y-1 \ leq z <{\ frac {1} {2}} \ quad {\ text {и, следовательно,} } \ quad x + y <{\ frac {3} {2}}.}

Вероятность парадокса

Вероятность парадокса можно оценить путем экстраполяции реальных данные о выборах или использование математических моделей поведения избирателей, хотя результаты сильно зависят от того, какая модель используется.

Модель беспристрастной культуры

Мы можем рассчитать вероятность увидеть парадокс для особого случая, когда предпочтения избирателей равномерно распределены между кандидатами. (Это модель «беспристрастной культуры », которая, как известно, нереалистична, поэтому на практике парадокс Кондорсе может быть более или менее вероятным, чем этот расчет.)

Для $n {\ displaystyle n}$ $n$ избиратели предоставляют список предпочтений из трех кандидатов A, B, C, мы пишем $X n {\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ ( соответственно $Y n {\ displaystyle Y_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {n}}$ , $Z n {\ displaystyle Z_ {n}}$ ${\ displaystyle Z_ {n}}$ ) случайная величина, равная количеству избирателей, поставивших A перед B (соответственно B перед C, C перед A). Искомая вероятность равна $pn = 2 P (X n>n / 2, Y n>n / 2, Z n>n / 2) {\ displaystyle p_ {n} = 2P (X_ {n}>n / 2, Y_ {n}>n / 2, Z_ {n}>n / 2)}$ $p_{n}=2P(X_{n}>n / 2, Y_ {n}>n / 2, Z_ {n}>n / 2)$ (мы удваиваем, потому что есть также симметричный случай A>C>B>A). Мы показываем, что для нечетного $n {\ displaystyle n}$ $n$ , $pn = 3 qn - 1/2 {\ displaystyle p_ {n} = 3q_ {n} -1 / 2}$ ${\ displaystyle p_ {n} = 3q_ {n} -1/2}$ где $qn = P (X n>n / 2, Y n>n / 2) {\ displaystyle q_ {n} = P (X_ {n}>n / 2, Y_ {n}>n / 2)}$ $q_{n}=P(X_{n}>n / 2, Y_ {n}>n / 2)$ , что заставляет человека знать только совместное распределение $X n {\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ и $Y n {\ displaystyle Y_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {n}}$ .

Если мы положим $pn, i, j = P (X n = i, Y n = j) {\ displaystyle p_ {n, i, j} = P (X_ {n} = i, Y_ {n} = j)}$ ${\ displaystyle p_ {n, i, j} = P (X_ {n} = i, Y_ {n} = j)}$ , мы показываем соотношение, которое позволяет вычислить это распределение повторением: $pn + 1, i, j = 1 6 pn, i, j + 1 3 pn, i - 1, j + 1 3 pn, i, j - 1 + 1 6 pn, i - 1, j - 1 {\ displaystyle p_ {n + 1, i, j} = {1 \ over 6} p_ {n, i, j} + {1 \ более 3} p_ {n, i-1, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i, j-1} + {1 \ over 6} p_ {n, i-1, j-1}}$ ${\ displaystyle p_ {n + 1, i, j} = {1 \ более 6} p_ {n, i, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i-1, j} + {1 \ over 3} p_ {n, i, j-1} + {1 \ более 6} p_ {n, i-1, j-1}}$ .

Затем получают следующие результаты:

$n {\ displaystyle n}$ $n$	3	101	201	301	401	501	601
$pn {\ displaystyle p_ {n}}$ $p_ {n}$	5,556%	8,690%	8,732%	8,746%	8.753%	8.757%	8.760%

Последовательность, кажется, стремится к конечному пределу.

Используя центральную предельную теорему, мы показываем, что $qn {\ displaystyle q_ {n}}$ $q_ {n}$ стремится к $q = 1 4 P (| T |>2 4) {\ displaystyle q = {1 \ over 4} P (| T |>{{\ sqrt {2}} \ over 4})}$ $q={1 \over 4}P(|T|>{{\ sqrt { 2}} \ over 4})$ где $T {\ displaystyle T}$ $T$ - переменная, соответствующая распределению Коши, что дает $q = 1 2 π ∫ 2/4 + ∞ dt 1 + t 2 знак равно arctan ⁡ 2 2 2 π = arccos ⁡ 1 3 2 π {\ displaystyle q = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{\ sqrt {2}} / 4} ^ {+ \ infty} {\ frac {dt} {1 + t ^ {2}}} = {\ dfrac {\ arctan 2 {\ sqrt {2}}} {2 \ pi}} = {\ dfrac {\ arccos {\ frac {1} {3}}} {2 \ pi}}}$ ${\ displaystyle q = {\ dfrac {1 } {2 \ pi}} \ int _ {{\ sqrt {2}} / 4} ^ {+ \ infty} {\ frac {dt} {1 + t ^ {2}}} = {\ dfrac {\ arctan 2 {\ sqrt {2}}} {2 \ pi}} = {\ dfrac {\ arccos {\ frac {1} {3}}} {2 \ pi}}}$ (константа , указанная в OEIS ).

Асимптотическая вероятность столкновения с парадоксом Кондорсе равна поэтому $3 arccos ⁡ 1 3 2 π - 1 2 = arcsin ⁡ 6 9 π {\ displaystyle {{3 \ arccos {1 \ over 3}} \ over {2 \ pi}} - {1 \ over 2} = {\ arcsin {{\ sq rt {6}} \ over 9} \ over \ pi}}$ ${\ displaystyle {{3 \ arccos {1 \ over 3}} \ over { 2 \ pi}} - {1 \ over 2} = {\ arcsin {{\ sqrt {6}} \ over 9} \ over \ pi}}$ , что дает значение 8,77%.

Были рассчитаны некоторые результаты для случая более чем трех объектов.

Модели групповой когерентности

При моделировании с более реалистичными предпочтениями избирателей парадоксы Кондорсе на выборах с небольшим количество кандидатов и большое количество избирателей становятся очень редкими.

Эмпирические исследования

Было предпринято много попыток найти эмпирические примеры парадокса.

Резюме 37 отдельные исследования, охватывающие в общей сложности 265 реальных выборов, больших и малых, обнаружили 25 случаев парадокса Кондорсе с общей вероятностью 9,4% (и это может быть высокой оценкой, поскольку случаи парадокса с большей вероятностью быть сообщенным, чем случаи без). С другой стороны, эмпирическая идентификация парадокса Кондорсе предполагает обширные данные о предпочтениях лиц, принимающих решения, по всем альтернативам - то, что очень редко доступно.

Хотя примеры парадокса, кажется, иногда возникают в небольших учреждениях (например, парламентах), очень мало примеров было обнаружено в более крупных группах (например, электорате), хотя некоторые из них были идентифицированы.

Последствия

Когда метод Кондорсе используется для определения выборов, парадокс голосования циклических социальных предпочтений подразумевает, что на выборах нет победителя Кондорсе : нет кандидата, который может победить индивидуальные выборы друг против друга. Тем не менее, группа кандидатов будет наименьшей, так что каждый кандидат в группе сможет выиграть выборы один на один против другого кандидата, что известно как набор Смита. Несколько вариантов метода Кондорсе отличаются тем, как они разрешают такие неоднозначности, когда они возникают, чтобы определить победителя. Методы Кондорсе, которые всегда выбирают кого-то из множества Смита, когда нет победителя Кондорсе, известны как эффективный по Смиту. Обратите внимание, что при использовании только рейтингов не существует справедливого и детерминированного решения тривиального примера, приведенного ранее, потому что каждый кандидат находится в строго симметричной ситуации.

Ситуации, имеющие парадокс голосования, могут привести к тому, что механизмы голосования нарушат аксиому независимости от нерелевантных альтернатив - выбор победителя механизмом голосования может зависеть от того, является ли проигравший кандидат доступны для голосования.

Вопреки широко распространенному мнению, продвигаемому, в частности, Элизабет Бадинтер и Робертом Бадинтером (в их биографии Кондорсе), этот парадокс ставит под сомнение только согласованность некоторых системы голосования, а не сама демократия.

Двухэтапный процесс голосования

Одним из важных следствий возможного существования парадокса голосования в практической ситуации является то, что в двухэтапном процессе голосования возможный победитель может зависеть от способа два этапа структурированы. Например, предположим, что победитель А против В в открытом первичном соревновании за лидерство одной партии затем встретится с лидером второй партии, С, на всеобщих выборах. В предыдущем примере A победит B при выдвижении первой партии, а затем проиграет C на всеобщих выборах. Но если бы B был во второй партии, а не в первой, B победил бы C при выдвижении этой партии, а затем проиграл бы A на всеобщих выборах. Таким образом, структура двух этапов имеет значение, будет ли A или C окончательным победителем.

Точно так же структура последовательности голосов в законодательном органе может быть изменена лицом, подготавливающим голоса, для обеспечения предпочтительного результата.

Структура парадокса Кондорсе может быть воспроизведена в механических устройствах, демонстрирующих непроницаемость таких отношений, как «вращать быстрее, чем», «поднимать и не подниматься», «быть сильнее, чем "в некоторых геометрических конструкциях.

См. также

Теорема невозможности Эрроу
- Кеннет Эрроу, раздел с примером распределительной трудности непереходности + правило большинства
Дискурсивная дилемма
Теорема Гиббарда – Саттертуэйта
Независимость нерелевантных альтернатив
Мгновенное голосование
Число Накамуры
Квадратичное голосование
Камень-ножницы-бумага
Парадокс Симпсона
Набор Смита

Ссылки

Дополнительная литература

Гарман, МБ; Камиен, М. И. (1968). «Парадокс голосования: вероятностные расчеты». Поведенческая наука. 13 (4): 306–316. doi : 10.1002 / bs.3830130405. PMID 5663897.
Niemi, R.G.; Вайсберг, Х. (1968). «Математическое решение вероятности парадокса голосования». Поведенческая наука. 13 (4): 317–323. doi : 10.1002 / bs.3830130406. PMID 5663898.
Niemi, R.G.; Райт, Дж. Р. (1987). «Циклы голосования и структура индивидуальных предпочтений». Социальный выбор и благосостояние. 4 (3): 173–183. DOI : 10.1007 / BF00433943. JSTOR 41105865.